Все числа которые делятся на 5. Признаки делимости, или что не поделили числа

Продолжаем цикл статей на тему признака делимости и здесь остановимся на признаке делимости на 5: сформулируем признак, приведем его доказательство, а также разберем характерные примеры, которые встречаются в различных заданиях на вступительных испытаниях.

Признак делимости на 5 , примеры

Формулируется признак делимости на пять очень просто: число делится на пять в том случае, если запись этого числа справа содержит ноль или пять. Если запись целого числа справа содержит любую другую цифру, то число на пять без остатка не делится.

Благодаря этому признаку мы можем определить возможность деления на 5 до начала вычислений, визуально.

Пример 1

По свойству делимости на 5 делится 0 , так как 0 делится на любое целое число и дает в результате 0 . Если говорить об однозначных натуральных числах, то из них на 5 без остатка делится только 5 . Остальные числа от 1 до 9 на 5 без остатка не делятся.

Пример 2

Какие из чисел 74 , − 900 , 10 000 , − 799 431 , 355 , − 5 делятся на 5 ?

Решение

Из всех приведенных выше чисел 0 или 5 в записи справа содержат только числа - 900 , 10000 , 355 и - 5 . Эти числа делятся на 5 . Остальные числа на 5 без остатка не делятся.

Ответ: − 900 , 10 000 , 355 и - 5 делятся на 5 .

Доказательство признака делимости на 5

Приведем теорему и проведем ее доказательства.

Теорема 1

Необходимым и достаточным основанием для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 5 , является наличие в записи числа a справа цифр 0 или 5 .

Доказательство 1

Для начала обратимся к доказательству вспомогательного утверждения, согласно которому произведение a 1 · 10 , где a 1 – целое число, делится на 5 .

Основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать следующее:
если целое число a делится на целое число b , то произведение m · a , где m – любое целое число, делится на b . Применив это свойство к описанной ситуации, получаем: так как число 10 делится на 5 , то и произведение a 1 · 10 тоже делится на 5 .

Теперь мы готовы перейти к доказательству теоремы.

Согласно правилу умножения на 10 мы можем представить любое целое число a , в записи которого справа находится 0 , представить как произведение a 1 · 10 . Если в записи числа а справа содержится любая другая цифра a 0 , то a можно записать равенством вида a = a 1 · 10 + a 0 .

Примером записи может быть: 54 327 = 5 432 · 10 + 7 .

Теперь вспомним свойства делимости. В частности, вот это: если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b . Это свойство понадобится нам для доказательства теоремы далее.

Мы уже установили, что произведение a 1 · 10 из равенства a = a 1 · 10 + a 0 делится на 5 . Согласно свойству делимости, число a делится на пять при условии, что a 0 делится на 5 . Это возможно при двух значениях a 0 = 0 и a 0 = 5 . В то же время, если a 0 делится на 5 , то и a делится на 5 . Так мы доказали достаточность и необходимость.

Другие случаи делимости на 5

Рассмотрим для начала примеры, решение которых проще всего получить с помощью признака делимости на 5 .

Пример 3

Делится ли на 5 значение выражения 10 2 · n − 5 при некотором натуральном n ?

Решение

Для того, чтобы дать ответ на поставленный вопрос, подставим разные значения n в исходное выражение. Получаем: n = 1 имеем 10 2 · 1 − 5 = 95 , при n = 2 – 10 2 · 2 − 5 = 9 995 , при n = 3 – 102 · 3 − 5 = 999 995 , … . Получается, что независимо от значения n мы получаем запись, которая справа содержит цифру 5 . Согласно признаку делимости на пять можно утверждать, что выражение 10 2 · n − 5 делится на 5 при любом натуральном n .

Ответ: Да.

Для того, чтобы доказать делимость на 5 , мы можем также использовать метод математической индукции. Сейчас мы продемонстрируем применение этого метода для того, чтобы доказать, что при любом натуральном n значение выражения 6 n + 10 n + 14 делится на 5 .

Пример 4

Докажите, что 6 n + 10 n + 14 делится на 5 при любом натуральном n .

Решение

Воспользуемся алгоритмом применения метода математической индукции. Начнем с проверки того, делится ли значение выражения 6 n + 10 n + 14 на 5 при n = 1 . Получаем: 6 1 + 10 · 1 + 14 = 30 . Число 30 содержит на конце записи цифру 0 , а это значит, что оно делится на 5 без остатка.

Теперь предположим, что значение выражения 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при значении n = k .

Фактически, нам нужно установить, что значение выражения 6 k + 10 k + 14 делится на 5 .

Докажем, что 6 n + 10 n + 14 при n = k + 1 делится на 5 .

Получаем:

6 k + 1 + 10 · (k + 1) + 14 = = 6 · 6 k + 10 k + 24 = = 6 · (6 k + 10 k + 14) - 50 k - 60 = = 6 · (6 k + 10 k + 14) - 5 · (10 k + 12)

Согласно свойству делимости, вся разность делится на 5 , так как выражение 6 · 6 k + 10 k + 14 делится на 5 и выражение, содержащее 5 в качестве множителя, 5 · 10 k + 12 также делится на 5 .

Ответ: 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при любом натуральном n методом математической индукции.

Здесь также применимо решение, основанное на использовании формулы бинома Ньютона. Благодаря биному Ньютона мы можем представить подобные выражения как произведение. А дальше, основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать, что если хотя бы один из множителей делится на 5 , то и все произведение делится на 5 .

Пример 5

Делится ли 6 n + 10 n + 14 ​​​​​​ на 5 при натуральных n ?

Решение

Мы можем представить 6 как сумму 5 + 1 . Далее мы применяем формулу бинома Ньютона и получаем:

6 n + 10 n + 14 = (5 + 1) n + 10 n + 14 = = (C n 0 · 5 n + C n 1 · 5 n - 1 · 1 + ⋯ + C n n - 2 · 5 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 5 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n - 1 · 1 + ⋯ + C n n - 2 · 5 2 + n · 5 + 1 + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n - 1 · 1 + ⋯ + C n n - 2 · 5 2 + 15 n + 15 = = 5 · 5 n - 1 + C n 1 · 5 n - 2 + … + C n n - 2 · 5 1 + 3 n + 3

Это дает нам право утверждать, что произведение, которое мы получили в ходе вычислений, делится на 5 при любом натуральном n , так как выражение в скобках является целым числом, а само произведение содержит множитель 5 .

Ответ: Да, делится.

Существует еще один подход к доказательству делимости значения выражения на 5 при некотором n: мы можем доказать, что данное выражение делится на 5 при при n = 5 · m , n = 5 · m + 1 , n = 5 · m + 2 , n = 5 · m + 3 и n = 5 · m + 4 , где m – целое число. Так мы можем обосновать вывод о том, что значение выражения делится на 5 при любом целом n .

Пример 6

Докажите, что n 5 − n делится на 5 при любом целом n .

Решение

Раскладываем данное выражение на множители: n 5 − n = n · (n 4 − 1) = n · (n 2 − 1) · (n 2 + 1) = .

Очевидно, что первый множитель n при n = 5 · m делится на 5 . Это значит, что все полученное произведение тоже делится на 5 .

Множитель n − 1 = 5 · m при n = 5 · m + 1 делится на 5 . Следовательно, все произведение n · (n − 1) · (n + 1) · (n 2 + 1) делится на 5 согласно свойству делимости.

Множитель n 2 + 1 при n = 5 · m + 2 будет равен 25 · m 2 + 20 · m + 5 = 5 · (5 · m 2 + 4 · m + 1) . Это значит, что произведение n · (n − 1) · (n + 1) · (n 2 + 1) делится на 5 .

Множитель n + 1 при n = 5 · m + 4 будет равен 5 · m + 5 .

Это значит, что произведение n · (n − 1) · (n + 1) · (n 2 + 1) делится на 5 .

Ответ: n 5 − n = n · (n − 1) · (n + 1) · (n 2 + 1) делится на 5 при любом целом n .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Признак делимости на 5 продолжает серию статей о признаках делимости . Здесь приведена формулировка признака делимости на 5, показано его доказательство и разобраны примеры, в которых устанавливается делимость на 5 заданных целых чисел с помощью указанного признака.

Навигация по странице.

Признак делимости на 5, примеры

Начнем с формулировки признака делимости на 5 : если в записи целого числа справа находится цифра 0 или 5 , то такое число делится на 5 , если же справа в записи числа стоит другая цифра, то такое число не делится на 5 .

Озвученный признак делимости позволяет очень легко устанавливать способность данного числа делиться на 5 . Следует отметить, что использование признака делимости на 5 приводит к результату быстрее, чем непосредственное деление.

Число 0 делится на 5 , так как нуль делится на любое целое число (смотрите свойства делимости). Из на 5 делится лишь число 5 , а числа 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 и 9 не делятся на 5 без остатка.

Рассмотрим примеры применения признака делимости на 5 .

Пример.

Какие из чисел 74 , −900 , 10 000 , −799 431 , 355 , −5 делятся на 5 ?

Решение.

Записи чисел 74 и −799 431 оканчиваются цифрами 4 и 1 , поэтому признак делимости на 5 позволяет утверждать, что эти числа не делятся на 5 нацело. А записи чисел −900 , 10 000 , 355 и −5 оканчиваются цифрами 0 и 5 , поэтому эти числа делятся на 5 .

Ответ:

−900 , 10 000 , 355 и −5 делятся на 5 .

Доказательство признака делимости на 5

Переформулируем признак делимости на 5 в виде необходимого и достаточного условия делимости на 5 , и докажем его.

Теорема.

Для делимости целого числа a на 5 необходимо и достаточно, чтобы запись числа a оканчивалась цифрой 0 или 5 .

Доказательство.

Сначала докажем вспомогательное утверждение: произведение a 1 ·10 , где a 1 – целое число, делится на 5 .

Число 10 делится на 5 , так как 10=5·2 , тогда произведение a 1 ·10 тоже делится на 5 в силу следующего свойства делимости: если целое число a делится на целое число b , то произведение m·a , где m – любое целое число, делится на b .

Теперь переходим к доказательству теоремы.

Позволяет любое целое число a , запись которого оканчивается нулем, представить в виде a=a 1 ·10 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи справа убрать цифру 0 . Если же в записи числа a справа находится произвольная цифра a 0 (a 0 – это 0 или 1 , или 2 , …, или 9 ), то a можно представить в виде a=a 1 ·10+a 0 . Для пояснения приведем пример такого представления: 54 327= 5 432·10+7 .

Дальнейшее доказательство основано на следующем свойстве делимости: если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

В равенстве a=a 1 ·10+a 0 произведение a 1 ·10 делится на 5 (что мы показали в начале теоремы). Если a 0 делится на 5 (что возможно, если a 0 =0 или a 0 =5 ), то по указанному свойству делимости на 5 делится и число a . Этим доказана достаточность. С другой стороны, если a делится на 5 , то по указанному свойству делимости и a 0 делится на 5 . Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 5

В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых требуется выяснить, делится ли значение некоторого выражения на 5 . Начнем с примера, в котором получить решение позволяет признак делимости на 5 .

Пример.

Делится ли на 5 значение выражения 10 2·n −5 при некотором натуральном n ?

Решение.

При n=1 имеем 10 2·1 −5=95 , при n=2 – 10 2·2 −5=9 995 , при n=3 – 10 2·3 −5=999 995 , … Очевидно, что при любом натуральном n значение выражения 10 2·n −5 представляет собой число, запись которого оканчивается цифрой 5 . Таким образом, в силу признака делимости на 5 можно говорить о делимости 10 2·n −5 на 5 при любом натуральном n .

Ответ:

Да.

Более строгое доказательство делимости на 5 позволяет проводить . Докажем с его помощью, что при любом натуральном n значение выражения делится на 5 .

Пример.

Докажите, что делится на 5 при любом натуральном n .

Решение.

Выполним все шаги метода математической индукции.

Проверим, что при n=1 значение выражения делится на 5 . Имеем , а 30 делится на 5 , так как 30=5·6 .

Предположим, что при n=k значение выражения делится на 5 , то есть, будем считать, что делится на 5 .

Докажем, что при n=k+1 делится на 5 .

Имеем

Мы пришли к разности, в которой выражение делится на 5 , так как на предыдущем шаге мы предположили, что делится на 5 , и выражение тоже делится на 5 , так как содержит множитель 5 . Следовательно, вся разность делится на 5 в силу свойств делимости.

Так методом математической индукции доказано, что делится на 5 при любом натуральном n .

Этот же пример можно было решить, воспользовавшись . Бином Ньютона позволяет представлять подобные выражения в виде произведения, и если при этом хотя бы один из множителей будет делиться на 5 , то и все произведение будет делиться на 5 в силу соответствующего свойства делимости.

Пример.

Делится ли на 5 при натуральных n ?

Решение.

Представим 6 как 5+1 и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение делится на 5 при любом натуральном n , так как содержит множитель 5 , а значение выражения в скобках представляет собой натуральное число. n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) .

Первый множитель n при n=5·m делится на 5 , следовательно, и все произведение делится на 5 .

При n=5·m+1 множитель n−1=5·m делится на 5 , откуда следует делимость на 5 всего произведения n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) .

При

При n=5·m+2 множитель n 2 +1 равен соответственно 25·m 2 +20·m+5=5·(5·m 2 +4·m+1) . Очевидно, он делится на 5 , следовательно, на 5 делится и все произведение n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) .

Наконец, при n=5·m+4 множитель n+1 равен 5·m+5 делится на 5 , поэтому, и все произведение n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) делится на 5 .

Таким образом, n 5 −n=n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) делится на 5 при любом целом n .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Рассмотрим основные признаки делимости чисел на 2, 5 и 10. Начнем с десятки

Признак делимости на десять

• Если натуральное число оканчивается цифрой нуль, то это число делится без остатка на 10.

Для того чтобы в таком случае получить частное от деления, необходимо просто отбросить один нуль.

• Например, 350 делится без остатка на 10. Результатом деления будет 35.

А теперь попробуем другое число, например, 357. При делении на 10 получим неполное частное 35 и остаток 7. То есть, в качестве остатка будет цифра, записанная на последнем месте в числе.

Если же в записи натурального числа, на последнем месте стоит другая цифра, то оно не делится без остатка на 10. Остатком от деления в таком случае будет последняя цифра.

Заметим, что число 10 является произведением чисел 2 и 5. Другими словами десятка делится на 2 и на 5 без остатка. А следовательно, любое число, которое делится без остатка на 10 делится и на 2, и на 5. А учитывая предыдущий признак, получаем, что любое число, в записи котоого на последнем месте стоит нуль, делится на 2 и на 5.

• Например, 70 = 7*10 = 7*(2*5) = (7*2)*5=14*5, то есть 70:5=14

Аналогично для двойки,

• 70=7*10 = 7*(2*5)=(7*5)*2=35*2, то есть 70:2=35.

Признаки делимости на 5

Заметим так же тот факт, что любое многозначное натуральное число можно представить в виде полных десятков и единиц. Например, 23=20+3, или 1253= 1250+3.

Так как число полных десятков всегда оканчивается нулем, то эта часть числа всегда делится на 5. Следовательно, делимость числа на 5 зависит от числа, которое записано на последнем месте. Т.е. от числа единиц. Там могут быть цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9, из этих чисел, только 5 делится на 5 без остатка. Следовательно, можем сформулировать признак делимости числа на 5.

• Если запись натурального числа оканчивается на 5 или на 0, то это число делится на 5 без остатка. Если же запись числа оканчивается на другую цифру, то это число не делится на 5 без остатка.

Например, число 355 делится на 5 без остатка, и число 350 тоже делится на 5 без остатка, а числа 654 и 348 не делятся без остатка на 5.

Признаки делимости на 2

Аналогичными рассуждениями можно получить признак делимости числа на 2.

• Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится на 2 без остатка. Если же запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится на 2 без остатка.

Четными называются числа, не имеют остатка при делении на 2. Из однозначных, цифры 0,2,4,6,8 являются четными. Цифры 1,3,5,7,9 – являются нечетными. Нечетные числа при делении на 2, дают остаток 1.