Арифметические основы цифровой техники.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Представление чисел в различных системах счисления.

Для преставления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации в процессе программирования наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы. Рассмотрим наиболее употребительные позиционные системы счисления. Числа в таких системах счисления представляются последовательностью цифр (цифр разрядов), разделенных запятой на две группы: группу разрядов, изображающую целую часть числа, и группу разрядов, изображающую дробную часть числа:

Здесь , , …обозначают цифры нулевого, первого и т.д. разрядов целой части числа, , … - цифры первого, второго и т.д. разрядов дробной части числа.

Цифре разряда приписан вес , где – основание системы счисления; – номер разряда, равный индексу при обозначениях цифр разрядов. Так, приведенная выше запись означает следующее количество:

Для представления цифр разрядов используется набор из различных символов. Так, при (т.е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2, …, 9. При этом запись (здесь и далее индекс и при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее количество:

,

Используя такой принцип представления чисел, но выбирая различные значения основания р, можно строить разнообразные системы счисления.

В двоичной системе счисления основание системы счисления р = 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1. Следовательно, в двоичной системе счисления представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 11011,1012 соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:

Весовые коэффициенты разрядов

В восьмеричной системе счисления основание системы счисления р = 8. Следовательно, для представления цифр разрядов должно использоваться восемь разных символов, в качестве которых выбраны 0, 1, 2, …, 7 (заметим, что символы 8 и 9 здесь не используются и в записи чисел встречаться не должны). Например, записи в десятичной системе счисления соответствует следующее число:

,

Весовые коэффициенты

разрядов

т.е. запись означает число, содержащее семь раз по , три раза по , пять раз по , четыре раза по , шесть раз по .

В шестнадцатеричной системе счисления основание системы счисления р = 16 и для записи цифр разрядов должен использоваться набор из 16 символов: 0, 1, 2, …, 9, А, B, C, D, E, F. В нем используются 10 арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу А в десятичной системе счисления соответствуют 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14, F – 15.

Запись соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:

Весовые коэффициенты разрядов

Для хранения n -разрядных чисел в цифровой аппаратуре можно использовать устройства, содержащие n элементов, каждый из которых запоминает цифру соответствующего разряда числа. Наиболее просто осуществляется хранение чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для запоминания цифры каждого разряда двоичного числа могут использовать устройства с двумя устойчивыми состояниями (например, триггеры). Одному из этих устойчивых состояний ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1.

При хранении десятичных чисел каждая цифра десятичного числа представляется в двоичной форме. Такая форма представления чисел называется двоично-кодированной десятичной системой . Например, число в двоично-кодированной десятичной системе представляется в следующем виде:

Следует заметить, что несмотря на внешнее сходство двоично-кодированного десятичного числа, содержащего в разрядах лишь цифры 0 и 1, с двоичным числом, первое не является двоичным. В этом легко убедиться. Например, если целую часть приведенной выше записи рассматривать как двоичное число, то оно при переводе в десятичную форму означало бы , что не совпадает с целой частью исходного числа 765.

Рассмотренный способ двоичного представления (кодирования) десятичных цифр использует так называемый код 8421 (название кода составлено из весовых коэффициентов разрядов двоичного числа). Наряду с этим кодом при двоичном кодировании десятичных цифр используются различные другие коды, наиболее употребительные из которых приведены в табл. 2.1.

Восьмеричная система счисления

Позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры 0 до 7.

Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Шестнадцатеричная система счисления

(шестнадцатеричные числа) -- позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 10 до 15 10 , то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Правила переводов десятичных чисел в них и обратно

·

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47.

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:

• 19 /2 = 9 с остатком 1
• 9 /2 = 4 c остатком 1
• 4 /2 = 2 с остатком 0
• 2 /2 = 1 с остатком 0
• 1 /2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в делимом не будет 0. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010.101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

• · Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
• · Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
• · В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
• · Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206 10 =11001110 2 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

• 116 * 2 = 0.232
• 232 * 2 = 0.464
• 464 * 2 = 0.928
• 928 * 2 = 1.856
• 856 * 2 = 1.712
• 712 * 2 = 1.424
• 424 * 2 = 0.848
• 848 * 2 = 1.696
• 696 * 2 = 1.392
• 392 * 2 = 0.784

Получим: 206,116 10 =11001110,0001110110 2

· Преобразование восьмеричных чисел в десятичные.

Алгоритм перевода чисел из восьмеричной в десятичную систему счисления аналогичен уже рассматривавшему мною в разделе: Преобразование двоичных чисел в десятичные.

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на триплет двоичных цифр.

Пример: 2541 8 = 010 101 100 001 = 010101100001 2

Существует таблица перевода восьмеричных чисел в двоичные

· Преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 5A3 в десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

5A3 16 = 3·16 0 +10·16 1 +5·16І= 3·1+10·16+5·256= 3+160+1280= 1443 10

Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Например:

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16

Таблица перевода чисел

Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления .
При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=a n a n-1 ..a 1 a 0 ,a -1 a -2 …a -m запишется в двоичной системе счисления как

x = a n ·2 n +a n-1 ·2 n-1 +…+a 1 ·2 1 +a 0 ·2 0 +a -1 ·2 -1 +a -2 ·2 -2 +…+a -m ·2 -m

где a i — двоичные цифры (0 или 1).

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:

10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16
11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16 .

Например, число 175 10 в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF 16 . Действительно,

10·16 1 +15·16 0 =160+15=175

В таблице представлены числа от 0 до 16 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования

Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.

Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111). Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от него тоже можно добавить незначащие нули до заполнения всех триад. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110,01 2 в восьмеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем

001 101 110,010 2 = 156,2 8 .

Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, нужно каждую восьмеричную цифру записать ее двоичным кодом:

156,2 8 = 001 101 110,010 2 .

Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111). Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от нее тоже нужно добавить незначащие нули до заполнения всех тетрад. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110,11 2 в шестнадцатеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем

0110 1110,1100 2 = 6E,C 16 .

Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать ее двоичным кодом.

Позиционная система счисления с основанием 8, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. См. также: Позиционные системы счисления Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

- (octal notation) Система чисел, использующая для выражения чисел восемь цифр от 0 до 7. Так, десятичное число 26 в восьмеричной системе будет записано как 32. Не будучи столь популярной, как шестнадцатиричная система счисления (hexadecimal… … Словарь бизнес-терминов

- — Тематики электросвязь, основные понятия EN octal notation … Справочник технического переводчика

восьмеричная система счисления

восьмеричная система - aštuonetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. octal notation; octal number system; octal system; octonary notation vok. Achtersystem, n; oktales Zahlsystem, n; Oktalschreibweise, f; Oktalsystem, n rus. восьмеричная система … Automatikos terminų žodynas

Двенадцатеричная система счисления позиционная система счисления с целочисленным основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Существует другая система обозначения, где для недостающих цифр используют не A и B, а t от… … Википедия

- (hexadecimal notation) Числовая система, использующая десять цифр от 0 до 9 и буквы от A до F для выражения чисел. Например, десятичное число 26 записывается в этой системе как 1А. Числа шестидесятеричной системы широко используются в… … Словарь бизнес-терминов

Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

Системы счисления. Восьмеричные и шестнадцатеричные числа

На прошлых уроках мы с Вами изучили двоичные числа: научились складывать и вычитать, умножать и делить их, а также переводить числа из двоичной в десятичную систему счисления и наоборот.

Сейчас мы рассмотрим еще две системы счисления, которые, как и двоичная, часто используются в информатике – это восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Вы уже знаете, что компьютер «знает» только двоичную систему счисления. Тогда зачем же нужны системы, отличные от двоичной?

Дело в том, что в двоичной системе счисления числа записываются с большим количеством разрядов, т. е. число получается очень длинным. И записывать такие числа на бумаге или читать их на экране монитора довольно неудобно.

Поэтому кроме двоичной в информатике используют еще две вспомогательные системы счисления – восьмеричную и шестнадцатеричную. Они позволяют более компактно записывать числа.

Выбор систем счисления с основаниями 8 и 16 обусловлен тем, что числа 8 и 16 являются степенями числа 2: 8 = 2 3 , 16 = 2 4 . Поэтому мы с легкостью сможем преобразовывать числа из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления и наоборот.

Но для начала давайте рассмотрим алфавиты восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления, т. е. цифры, с помощью которых мы будем записывать числа в этих системах счисления.

Восьмеричные числа записываются с помощью восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. А вот алфавит шестнадцатеричной системы счисления состоит из десяти цифр и шести букв латинского алфавита: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Давайте составим таблицу соответствия первых двадцати чисел трех систем счисления: десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной.

Десятичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

Десятичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

Как видно из нее, чем больше основание системы счисления, тем меньше код числа. Например, число 14 в десятичной и восьмеричной системе счисления записывается с помощью двух знаков, а в шестнадцатеричной – с помощью одного.

А сейчас мы с Вами научимся переводить двоичные числа в восьмеричные и шестнадцатеричные. Например, переведем число (1101011) 2 в восьмеричное.

Для того чтобы перевести двоичное число в восьмеричное, нужно разбить его справа налево на группы по три цифры в каждой, а затем каждой группе в соответствие поставить восьмеричное число.

Разобьем число (1101011) 2 на группы по три цифры: 1, 101, 011. И поставим в соответствие восьмеричные числа, получим: 1, 5, 3. Т. е. получили число (153) 8 .

Чтобы выполнить обратное преобразование, надо в соответствие каждой цифре восьмеричного числа записать группу из трех двоичных цифр.

Итак, чтобы перевести число (153) 8 в двоичную систему счисления, записываем 001, 101, 011. Опускаем первые ведущие нули и получаем число (1101011) 2 .

Для шестнадцатеричной системы преобразование выполняется аналогично, только число разбивается справа налево на группы не по три, а по четыре двоичные цифры.

Переведем число (1101011) 2 в шестнадцатеричную систему счисления: 110, 1011. Теперь в соответствие каждой четверке цифр записываем шестнадцатеричную цифру: 6, В. Т. е. получили число (6B) 16 .

А теперь переведем полученное нами число (6В) 16 в двоичную систему счисления. Вместо каждой цифры шестнадцатеричного числа записываем четверку цифр соответствующего двоичного числа: 0110, 1011. Опускаем ведущие нули и получаем (1101011) 2 .

Теперь, если Вы хорошо усвоили материал, можете закрепить его, выполнив несложные задания. Для этого перейдите в режим тренажера. Если хотите позаниматься позже – закройте текущее окно.

Упражнение №1. Переведите в восьмеричную систему счисления число (101101) 2 .

А) (55) 8; (+)

Б) (56) 8;

В) (215) 8 ;

Г) (216) 8.

Упражнение №2. Переведите в двоичную систему счисления число (162) 8 .

А) (110011) 2;

Б) (1110010) 2; (+)

В) (110111) 2;

Г) (110101) 2.

Упражнение №3. Переведите в шестнадцатеричную систему счисления число (1010111001001101) 2 .

А) (AE4D) 16; (+)

Б) (AED) 16;

В) (A4ED) 16;

Г) (DEA) 16.

Упражнение №4. Переведите в двоичную систему счисления число (5АВ) 16 .

А) (101101011) 2 ;

Б) (1011101011) 2;

В) (10110101011) 2; (+)

Г) (10110101001) 2.

Упражнение №5. Найдите значение выражения (15) 8 + (А2) 16 , записав результат в виде двоичного числа.

А) (11101111) 2;

Б) (10111111) 2;

В) (10101111) 2; (+)

Г) (10101001) 2.