Проверьте,пожалуйста,решения задач - образовательный студенческий форум.

2.44. Бросается 10 одинаковых игральных костей. Вычислить вероятности следующих событий: А = {ни на одной кости не выпадет 6 очков}, В = {хотя бы на одной кости выпадет 6 очков}, С = {ровно на 3 костях выпадет 6 очков}.

2.45. Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвращением одной из букв алфавита Е = {а, б, к, о, м } и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово мама ?

2.46. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если в определенной последовательности набрать три цифры из имеющихся десяти. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал наудачу пробовать различные комбинации из трех цифр. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова веро­ятность события А = {вошедшему удастся открыть дверь за один час}?

2.47. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий: А = {четыре последние цифры телефонного номера одинаковы}, В = {все цифры различны}.

2.48. (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {номер начинается с цифры 5}, D = {номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2}.

2.49. Шесть человек вошли в лифт на первом этаже семи­этажного дома. Считая, что любой пассажир может с равной веро­ятностью выйти на 2-м, 3-м, ..., 7-м этажах, найти вероятности следующих событий: А = {на втором, третьем и четвертом этажах не выйдет ни один из пассажиров}, В = {трое пассажиров вый­дут на седьмом этаже}, С = {на каждом этаже выйдет по одному пассажиру}, D = {все пассажиры выйдут на одном этаже}.

2.50. К четырехстороннему перекрестку с каждой стороны подъехало по одному автомобилю. Каждый автомобиль может с равной вероятностью совершить один из четырех маневров на пе­рекрестке: развернуться и поехать обратно, поехать прямо, налево или направо. Через некоторое время все автомобили покинули пе­рекресток. Найти вероятности следующих событий: А = {все автомобили поедут по одной и той же улице}, В = {по определен­ной улице поедут ровно три автомобиля}, С = {по крайней мере по одной из улиц не поедет ни один автомобиль}.

2.51. Тот же ящик, что и в предыдущей задаче, но каждое изделие после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с други­ми, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет за­ писана естественная последовательность номеров: 1, 2, ..., п.

Схема упорядоченных разбиений. Пусть множество Е состоит из n различных элементов. Рассмотрим опыт, состоящий в разбиении множества Е случайным образом на s подмножеств таким образом, что:

Множество E i содержит ровно n i элементов, i = 1, 2, …, s .

Множества E i упорядочены по количеству элементов n i .

3. Множества E i , содержащие одинаковое количество элементов, упорядочиваются произвольным образом. (Это значит, что, например, при n = 7, n 1 = 2, n 2 = 2, n 3 = 3 разбиения

и являются различными исходами данного опыта). Число всех элементарных исходов в данном опыте определяется формулой

Здравствуйте! В теории вероятностей я не сильна, поэтому обращаюсь за помощью.

1. Бросают 10 одинаковых игральных костей. Определить вероятности следующих событий:
а) ни на одной из костей не выпало 6 очков;
б) хотя бы на одной из костей выпало 6 очков;
в) 6 очков выпало ровно на трех костях
Решение.
а) вероятность того, что 6 очков выпало на всех костях: 1*1/6
вероятность того, что 6 не выпало ни на одной кости: 1- 1*1/6
б) P= 1/10 * 1/6
в) P= 3/10 * 1/6
2. Статистика, собранная среди студентов одного из вузов, обнаружила следующие факты: 60% всех студентов занимаются спортом, 40% участвуют в научной работе на кафедрах и 20% занимаются спортом и участвуют в научной работе на кафедрах. Корреспондент местной газеты подошел к наудачу выбранному студенту. Найти вероятность следующих событий:
а) студент занимается по крайней мере одним из двух указанных видов деятельности;
б) студент занимается одним только спортом;
в) студент занимается только одним видом деятельности.
Решение.
Из всех 100% студентов 20% занимаются научной работой, 60% спортом, из этих 60% 20% занимаются и спортом и научной работой, оставшиеся 20% ничем не занимаются.
а) 0,2 - вероятность того, что студент ничем не занимается
Р(а)= 1 - 0,2=0,8
б) Р= 0,6-0,2=0,4
в) Р=0,4+0,2=0,6

3. Футбольный матч в городе Н состоится с вероятностью 0,8. Команда А побеждает команду Б с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что команда Б победит А в предстоящем матче.
Решение.
Событие С1-матч состоится; С2- команда А победит Б; С3-команда Б победит А
Р(С1)=0,8
Р(С2)=0,6
Р(С3)= 1-0,6=0,4
Р(С3/С1)=0,4/0,8=0,5

4.Вероятность появления события А хотя бы один раз в пяти независимых опытах равна 0,9. Какова вероятность появления события А в одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?
Решаю по формуле Бернулли: Р5(1)= 5!/4! *0,9*0,1^4= 0,00045
какая-то совсем маленькая вероятность получилась....

5. В первой урне лежит 1 белый шар и 4 красных, а во второй 1 белый и 7 красных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар, почле чего из второй урны наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение.
событие В1 - из первой урны во вторую переложили белый шар.
Р(В1)= 1/5
событие В2 - из первой урны во вторую переложили красный шар
Р(В2)= 4/5
событие А - из второй урны вытянули белый шар
Р(А/В1)=2/9
Р(А/В2)=1/9
по формуле полной вероятности:
Р(А)= 1/5 * 2/9 + 4/5 * 1/9=0,133

6. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта Б 3,5%. Годная продукция завода составляет 95%. Найти вероятность того, что:
а)среди продукции не имеющей дефекта А, встретится дефект Б
б)среди забракованной по признаку А продукции встретится дефект Б
Решение.
Р(а)= (1-0,04)*0,035=0,0336
Р(б)=0,04*0,035=0,0014

7. Вероятность попадания в 1 мишень стрелка равна 0,666, если он попал, то получает право на второй выстрел во вторую мишень. вероятность поражения обоих мишеней при двух выстрелах 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.
Решаю по теореме сложения вероятностей:
Р=0,666+0,5-0,666*0,5=0,833

8. По каналу связи передано 4 сигнала. Вероятность искажения сообщение 0,2. Найти вероятность того, что:
а)число искажений меньше трех
б)число искажений не менее одного
в)все сообщения приняты без искажения

Р(а)=Р4(1)+Р4(2)+Р4(0)
Р4(1)= 4!/3! *0,2*0,8^3=0.4096
Р4(2)=4!/2!*2! *0,2^2 *0,8^2 = 0,1536
Р4(0)=0,8^4=0,4096
Р(а)=0,9728
Р(б)= 1-Р4(0)=1-0,4096=0,5904
Р(в)=1-0,2=0,8

Найдите какой-либо решебник.
Многое решено неверно.
2. Вводим события:
А1 - наугад выбр. студент заним. спортом, Р(А1)=0.6
А2 - заним. науч. работой, Р(А2)=0.4
По условию Р(А1*А2)=0.2
Тогда
а) Р(студент занимается по крайней мере одним из двух указанных видов деятельности)=Р(А1+А2)
б) Р(студент занимается одним только спортом)=Р(А1*(неА2))=Р(А1)*Р((неА2)/А1)=Р(А1)*
а P(A2/A1) найдете из Р(А1*А2)=...
в) Р(студент занимается только одним видом деятельности)=Р(А1*(неА2)+А2*(неА1))=...
Далее смотрите формулы вероятности суммы, произведения и тд

Вообще чувствуется, что Ваш уровен пока сильно ниже уровня предложенных задач. Поэтому либо надо за Вас просто решать (чего совсем не хочется), либо Вам повышать уровень. Тогда можно будет просто направлять Ваши усилия в нужную сторону. Найдите пособия по решению задач по ТВ и работайте с ним.

При классическом определении вероятность события определяется равенством

где m – число элементарных исходов испытаний, соответствующих появлению события А; n – общее число возможных элементарных исходов испытаний. Предполагается, что элементарные исходы единственно возможны и равновозможны.

Относительная частота события А определяется равенством

где m – число испытаний, в которых события А наступило; n – общее число произведенных испытаний. При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

Пример 1.1 . Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, при чем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Решение. На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка,…, шесть очков. Аналогично шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно 6∙6 = 36.

Благоприятствующими исходами интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков – четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым число очков, выпавших на «второй» кости; далее сумма их очков:

1.6, 2, 6 + 2 = 8,

2.6, 4, 6 + 4 = 10,

3.6, 6, 6 + 6 = 12.

4.2, 6, 2 + 6 = 8,

5.4, 6, 4 + 6 = 10.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов:

Задача 1.1 Брошено две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

Задача 1.2. Брошено две игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем, б) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем.

Задача 1.3. Брошено две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение - четырем.

Задача 1.4. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

Далее рассмотрим пример, когда количество объектов увеличивается и, следовательно, возрастает как общее число элементарных исходов, так и благоприятствующих исходов и их число будет уже определяться формулами сочетаний и размещений.

Пример 1.2 В ящике содержится 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, …, 10. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь №1; б) детали №1 и №2.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов (сочетаний), которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. С 6 10 .

а) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди отобранных шести деталей есть деталь №1 и, следовательно, остальные 5 деталей имеют другие номера. Число таких исходов, очевидно, равно числу способов, которыми можно отобрать 5 деталей из оставшихся 9, т.е. С 5 9 .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов:

б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди отобранных шести деталей есть деталь №1 и деталь №2, следовательно, остальные 4 деталей имеют другие номера), равно числу способов, которыми можно отобрать 4 деталей из оставшихся 8, т.е. С 4 8 .

Искомая вероятность

.

Пример 1.3 . Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Общее число возможных элементарных трехэлементных комбинаций из 10 цифр, которые отличаются как по составу, так и по порядку следования цифр, равно числу размещений из 10 цифр по 3, т.е. А 3 10 .

.

Благоприятствующий исход – один .

Искомая вероятность

Пример 1.4. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно k стандартных деталей.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь m деталей из N деталей, т.е. С m N – числу сочетаний из N по m .

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди m деталей ровно k стандартных): k стандартных деталей можно взять из n стандартных деталей С k n способами; при этом остальные m – k деталей должны быть нестандартными: взять же m – k нестандартных деталей из N – n нестандартных деталей можно взять С m - k N - n способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно С k n С m - k N - n .

Искомая вероятность равна

Задача 1.5. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

Геометрические вероятности

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L . На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L , то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G . На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от её расположения относительно G , ни от формы g , то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру v , которая составляет часть фигуры V :

Пример 1.5 На отрезок L длины 20 см. помещен меньший отрезок l длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок попадет также и на меньший отрезок.

Решение : Поскольку, вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна его длине и не зависит от его расположения, воспользуемся приведенным выше соотношением и найдем:

Пример 1.6 В круг радиуса R помещен малый круг радиуса r . Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг попадет также и в малый круг.

Решение: поскольку, вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения, воспользуемся приведенным выше соотношением и найдем:

.

Задача 1.6. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника. Предполагается, что вероятности попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от её расположения относительно круга.

Задача 1.7. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

С ложение вероятностей несовместных событий . Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А1 + А2 +…+ Ан) = Р(А1) + Р(А2) +…+ Р(Ан).

Сложение вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)*Р(В).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А1А2…Ан) = Р(А1)*Р(А2)…Р(Ан).

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

Р(АВ) = Р(А)*РА(В),

Р(АВ) = Р(В)*РВ(А).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, при чем вероятности каждого последующего вычисляется в предположении, что все предыдущие события вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р(А1А2…Ан) = Р(А1)*РА1(А2)*РА1А2(А3)…РА1А2…Ан-1(Ан),

где РА1А2…Ан-1(Ан) – вероятность события Ан, вычисленная в предположении, что события А1А2…Ан-1 наступили.

Пример 1.7. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А).

Решение . Требование хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В – один учебник в переплете, два без переплета, С – два учебника в переплете, один без переплета, Д – три учебника в переплете.

Интересующее нас событие А (хотя бы один из трех взятых учебников в переплете) можно представить в суммы трех событий:

А = В + С + Д.

По теореме сложения несовместных событий

р(А) = р(В) + р(С) + р(Д) (1).

Найдем вероятности событий В, С и Д (см. решение примера 1.4.):

Подставив эти вероятности в равенство (1), окончательно получим

р(А) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.

Пример 1.8. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной выпавшей грани не появится 6 очков?

Решение . Введем обозначения событий: А – ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков; Аi – на выпавшей грани i-ой кости (i = 1, 2, …n) не появится 6 очков.

Интересующие нас событие А состоит в совмещение событий

А1, А2, …, Аn

то есть А = А1А2…Аn.

Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число, не равное шести, равна

р(Аi) = 5/6.

События Аi независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:

р(А) = р(А1А2…Аn) = р(А1)*р(А2)*…р(Аn) = (5/6)n.

По условию (5/6)n < 0,3. Следовательно n*log(5/6) < log0,3, отсюда найдем n > 6,6. Таким образом искомое число игральных костей n ≥ 7.

Пример 1.9. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятности, из которых 3 в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность, того что оба учебника окажутся в переплете.

Решение . Введем обозначения событий: А – первый взятых учебник имеет переплет, В – второй учебник имеет переплет.

Вероятность того, что первый учебник имеет переплет,

р(А) = 3/6 = 1/2.

Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый взятых учебник был в переплете, то есть условная вероятность события В равна:

рА(В) = 2/5.

Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна

р(АВ) = р(А)*рА(В) = 1/2*2/5 = 0,2.

Задача 1.8 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого охотника равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из охотников.

Задача 1.9. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; с) во всех справочниках.

Задача 1.10 . В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.