Какое число делится 25. Основные признаки делимости

Любое натуральное число можно представить в виде суммы разнорядных слагаемых:

В данной записи ан, ан-1, ан-2, ..а0 - это цифры в записи данного числа, а 10н, 10н-1, …100 - разрядные числа (или разрядные единицы).

Признак делимости на 2 и 5. Если число, обозначаемое последней цифрой в записи данного числа делится на 2 или 5, то и все число разделится на 2 или5. Доказательство. Запишем данное число а в виде суммы разрядных слагаемых: а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100. . В данной сумме каждое слагаемое, кроме последнего, содержит степень числа 10, а значит каждое из этих слагаемых, будет делиться на 2 или 5. Последнее слагаемое а0*100=а0*1=а0 есть последняя цифра в записи данного числа. И если число, обозначаемое последней цифрой в записи данного числа, будет делиться на 2 или 5, то по достаточному признаку делимости и все число будет делиться на 2 или 5.

Признак делимости на 4 и 25. Если число, образованное двумя последними цифрами в записи данного числа а, делится на 4 или 25, то и все число будет делиться на 4 и 25. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых

а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.

В данной сумме каждое слагаемое кроме последних двух содержит степень числа 10, которая будет делиться на 4 или 25. Последние два слагаемых а1*101+а0 есть число записанное двумя последними цифрами в записи данного числа а, а значит, если сумма а1*101+а0 делится на 4 или 25, то и все число а будет делиться на 4 или 25.

Признак делимости на 3. Если сумма цифр в записи данного числа делится на 3, то и все число будет делиться на 3. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых:

а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.

Рассмотрим разрядные единицы или степени числа 10 и представим каждое из них по теореме делимости с остатком в виде равенств.

100=0·3+1
101=3·3+1
102=33·3+1
103=333·3+1
10н=33…3*3+1

Заменим в данном числе каждую степень числа 10 на полученные суммы:

а=ан·(333…н раз 3·3+1)+ан-1· (33…н-1 раз 3·3+1)+…+а2· (33·3+1)+а1· (3·3+1)+а0· (0·3+1)=(ан·333…н раз 3·3+ан-1·33…п-1 раз 3·3+а2·33·3+а1·3·3+а0·0·3)+(ан+ан-1+…+а2+а1+а0)

первое слагаемое в данной сумме, записанное в первой скобке, будет делиться на 3 по достаточному признаку делимости суммы, т.к. каждое из слагаемых, записанных в первой скобке, содержит множитель 3 и по достаточному признаку делимости произведения будет делиться на 3. Значит, для того чтобы все число а делилось на 3 достаточно, чтобы второе слагаемое, записанное во второй скобке, делилось на 3. Это второе слагаемое есть сумма цифр в записи данного числа.

Признак делимости на 9. Если сумма цифр в записи данного числа делится на 9, то и все число делится на 9. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых.

а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.

Рассмотрим разрядные единицы (степень числа 10). Каждая разрядная единица при делении на 9 дает в остатке 1, тогда по теореме о делимости с остатком, каждую степень числа 10 представим в виде равенства:

100=0·9+1
10=9+1
100=99+1
1000=999+1
10н=99…н раз 9+1

Заменим степень числа 10 полученными равенствами, тогда:

а=ан·(99…н раз 9+1)+ан-1·(99…н-1 раз 9+1)+…+а2·(99+1)+а1·(9+1)+а0·(0·9+1)=ан·99…н раз 9+ан-1·99…н-1 раз 9+а2·99+а1·9+а0·0·9)+(ан+ан-1+…+а2+а1+а0)

По достаточному признаку делимости произведения каждое слагаемое записанное в первой скобке делится на 9, следовательно по достаточному признаку делимости суммы все выражение записанное в первой скобке, будет делиться на 9. Значит, для того, чтобы все число делилось на 9 необходимо и достаточно, чтобы выражение, записанное во второй скобке, делилось на 9. Это выражение есть сумма цифр в записи данного числа.

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел :

Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
Признак делимости числа на «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
Признак делимости числа на «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
Признак делимости числа на «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
Признак делимости числа на «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители , признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на n

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Например:

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Например :

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Например :

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

Например:

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.

Например :

Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11 .

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Например:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.

Например:

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Признак делимости - это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:

Признак делимости на 2 n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5 n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.

Признак делимости на 10 n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядную единицу

Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел . Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?

Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Признак делимости чисел на 5

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б - четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Признак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Признак делимости чисел на 10

Признак делимости чисел на 11

На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 - 6 = 22; 22: 11 = 2).

Признак делимости чисел на 25

На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых - нули или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Признак делимости чисел на разрядную единицу

На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

Признаки делимости

Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра — ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными , не делящиеся на два – нечётными .

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр , стоящих на нечётных местах , либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах , либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.

П р и м е р. Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:

3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. Данное

число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец,

это число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр:

3 + 8 + 1 = 12 и чётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны.

Но это число не делится на 2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как …

А вот эти случаи вы проверите самостоятельно!

Свойства делимости чисел

Чётное число – это число, которое делится на 2 .

Нечётное число – не делится на 2 .

Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.

Число 52 738 делится на 2 , так как у него последняя цифра 8 которая является чётной.

Число 7691 не делится на 2 , так как цифра 1 находящаяся в конце нечетная.

Число 1250 делится на 2 , так как цифра, которая находится в конце нуль.

Число делится на 4 , при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4 . В остальных случаях – не делится.

Число 31 800 делится на 4 , так как в его окончании находятся два нуля.

Число 325 734 не делится на 4 , так как крайние две цифры дают число 34 , которое не делится на 4 .

Число 15 608 делится на 4 , так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8 , которое делится на 4 .

Число делится на 8 , в случае, когда три последние цифры его нули или формируют число, делящееся на 8 . В остальных случаях – не делится.

Число 225 000 делится на 8 , так как оканчивается тремя нулями.

Число 180 004 не делится на 8 , так как три крайние цифры дают число 4 , которое не делится на 8 .

Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120 , которое делится на 8 .

Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16 , 32 , 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.

На число 3 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 3 .

На число 9 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 9 .

Число 17 835 делится на 3 и не может быть разделено на 9 , так как сумма его цифровых значений 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 может быть разделено на 3 и не делится на 9 .

Число 106 499 не может быть разделено ни на 3 , ни на 9 , так как составляющие его цифры в сумме даёт число 29 которое не делится как на 3 , так и на 9 .

Число 52 632 может быть разделено на 9 , так как сумма цифр входящих его состав 18 которое делится на 9 .

Число делится на 6 , когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3 . В противном случае – не делится.

Число 126 может быть разделено на 6 , в виду того, что оно делится и на 2 и на 3 .

На 5 делятся те числа, у которых последняя цифра 0 или 5 . Другие – не делятся.

Число 240 может быть разделено на 5 , так как последняя цифра 0 .

Число 554 не делится на 5 , так как последняя цифра 4 .

На 25 можно разделит только те числа, у которых две крайние цифры нули либо формируют число, которое может быть разделено на 25 , например числа оканчивающиеся на 00 , 25 , 50 или 75 . Другие — не делятся.

Число 7150 можно разделить на 25 , так как оканчивается на 50 .

Число 4855 не получится разделить на 25 .

Числа делятся на 10 , когда последняя цифра является нулём.

Числа делятся на 100 , если две последние цифры этих чисел нули.

Числа делятся на 1000 , если три конечные цифры у них нули.

8200 можно разделить на 10 и на 100 .

542 000 можно разделить на 10 , 100 и 1000 .

На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11 .

103 785 можно разделить на 11 , так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12

9 163 627 можно разделить на 11 , так как при вычитании из 28 числа 6 получается 22 , которое делится на 11 . (9 + 6 + 6 + 7 = 28) (1 + 3 + 2 = 6)

461 025 не может разделено на 11 , в виду того что числа 7 и 11 взаимно не ровны, а их разность 4 на 11 не разделить. (11 – 7 = 4),(4 + 1 + 2 = 7), (6 + 0 + 5 = 11).

Существуют признаки делимости так же и на другие числа, но эти признаки гораздо сложнее.

Урок математики «Признаки делимости чисел»

Разделы: Математика

Если для двух целых чисел a и b существует такое целое число q , что b q = a , то говорят, что число a делится на число b , или число а кратно числу b .

Признак делимости это алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Признак делимости на 2.
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является четной.

1) 28
8 – четное число, значит, 28 делится на 2 без остатка.

2) 1346
6 – четное число, значит, 1346 делится на 2 без остатка.

Признак делимости на 3.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

7 + 2 + 3 = 12
12 делится на 3 без остатка,
Значит, 723 делится на 3.

2 + 3 + 6 + 4 = 15
15 делиться на 3 без остатка, значит, 2364 делится на 3.

Признак делимости на 4.
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

1) 716
16 делится на 4, значит, число 716 делится на 4 без остатка.

2) 35636
36 делится на 4, значит, число 35636 делится на 4 без остатка.

Признаки делимости на 4.
Чтобы узнать делится ли двухзначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам, если сумма делится на 2, значит, число делится на 4.

1) 92
9 + 1 = 10 – четное число, значит, 92 делится на 4 без остатка

2) 68
6 + 4 = 10 – четно число, значит, 68 делится на 4 без остатка.

Признак делимости на 5.
Число делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра 5 или 0.

1) 1380
Число 1380 оканчивается нулем, значит, число 1380 делится на 5 без остатка.

2) 24715
Число 24715 оканчивается пятеркой, значит, число 24715 делится на 5 без остатка.

Признак делимости на 6.
Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

948
Число 948 является чётным и сума его цифр, 9 + 4 + 8 = 21 делится на 3, значит, число 948 делится на 6 без остатка.

Признаки делимости на 7.
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

364
36 – (4 2) = 28
28: 7 = 4
Значит, число 364 делится на 7 без остатка.

Признак делимости на 8.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

24816
816: 8 = 102.
Значит, число 24816 делится на 8 без остатка.

Признак делимости на 8.
Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8.

952
95 + 1 = 96
9 + 3 = 12
12: 2 = 6(делится на 2).
Значит, 952 делится на 8.

Признак делимости на 9.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

27891
2 + 7 + 8 + 9 + 1 = 27
27: 9 = 3
Сумма делится на 9, значит, число 27891 делится на 9 без остатка.

Признак делимости на 10.
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

1) 17310
Число 17310 оканчивается на ноль, значит, число 17310 делится на десять без остатка.

2) 236810
Число 236810 оканчивается на ноль, значит, число 236810 делится на десять без остатка.

Признак делимости на 11.
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

1) 103785
1 + 3 + 8 = 12
0 + 7 + 5 = 12
Значит, 103785 делится на 11 без остатка.

2) 9163627
9 + 6 + 6 + 7 = 28
1 + 3 + 2 = 6
28 – 6 = 22
22: 11 = 2
Значит, 9163627 делится на 11 без остатка.

Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры и учетверенной последней цифры, делится на 13.

845
84 + (4 5) = 104: 13
10 + (4 4) = 26: 13 = 2
Число 845 делится на 13 без остатка.

Признак делимости на 17.
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратко 17.

Слайд 33. Пример:

29053
2905 + 36 = 2941
294 + 12 = 306
30 + 72 = 102
10 + 24 = 34
Так как 34: 17 = 2, то 29053 делится на 17 без остатка.

Признак делимости на 19.
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

646
Так как 64 + (6 2) = 64 + 12 = 76
7 + (6 2) = 7 + 12 = 19
19 делится на 19, значит, 646 делится на 19 без остатка.

Признак делимости на 20.
Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.

2740.
Число делится на 20, так как оканчивается на 0 и 4 – четное число.

Признак делимости на 23.
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23.

28842
Число делится на 23, так как
288 + (3 42) = 414
4 + (3 14) = 46
46 делится на 23.

Признак делимости на 99.
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двухзначными числами. Если эта сумма делится на 99, то и само число делится на 99.

122166
12 + 21 + 66 = 99
Число 99 делится на 99, значит, 122166 делится на 99 без остатка.

Признак делимости на 101.
Разобьем числа на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем алгебраическую сумму этих групп, с переменными знаками, считая их двухзначными числами.
Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101.

При выезде с севера пенсия сохраняется Поменяется ли размер северной пенсии при переезде в другой регион? Поменяется ли размер пенсии человека, который проработал на крайнем севере более 20 лет, и оформил её там же, при переезде в другой регион, в частности республика […]

Кировский районный суд г. Омска Омской области На основании постановления Омского городского Совета рабочих, крестьянских и красноармейских депутатов от 3 марта 1935 года был образован Кировский район г. Омска. С 1947 года в […]

Федеральный закон от 21 ноября 1995 г. N 170-ФЗ "Об использовании атомной энергии" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 21 ноября 1995 г. N 170-ФЗ"Об использовании атомной энергии" С изменениями и дополнениями от: 10 […]

Статья 7. Размер пособия по временной нетрудоспособности Статья 7. Размер пособия по временной нетрудоспособности См. комментарии к статье 7 настоящего Федерального закона Информация об изменениях: Федеральным законом от 25 ноября […]

ОРГАНИЗАЦИЯ СУДЕБНО-МЕДИЦИНСКОЙ СЛУЖБЫ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Порядок производства судебно-медицинской экспертизы утверждается приказами МЗ РФ после согласования с Генеральной прокуратурой РФ, Верховным судом РФ и Министерством […]

Презентация к уроку (информатика и икт)