Разложение на множители дружественного числа 1184. Разложение на простые множители

Разложим число 120 на простые множители

120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Решение
Разложим число 120

120: 2 = 60
60: 2 = 30 - делится на простое число 2
30: 2 = 15 - делится на простое число 2
15: 3 = 5
Завершаем деление, так как 5 простое число

Ответ: 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Разложим число 246 на простые множители

246 = 2 ∙ 3 ∙ 41

Решение
Разложим число 246 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

246: 2 = 123 - делится на простое число 2
123: 3 = 41 - делится на простое число 3.
Завершаем деление, так как 41 простое число

Ответ: 246 = 2 ∙ 3 ∙ 41

Разложим число 1463 на простые множители

1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Решение
Разложим число 1463 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

1463: 7 = 209 - делится на простое число 7
209: 11 = 19
Завершаем деление, так как 19 простое число

Ответ: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Разложим число 1268 на простые множители

1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Решение
Разложим число 1268 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

1268: 2 = 634 - делится на простое число 2
634: 2 = 317 - делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 317 простое число

Ответ: 1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Разложим число 442464 на простые множители

442464

Решение
Разложим число 442464 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

442464: 2 = 221232 - делится на простое число 2
221232: 2 = 110616 - делится на простое число 2
110616: 2 = 55308 - делится на простое число 2
55308: 2 = 27654 - делится на простое число 2
27654: 2 = 13827 - делится на простое число 2
13827: 3 = 4609 - делится на простое число 3
4609: 11 = 419 - делится на простое число 11.
Завершаем деление, так как 419 простое число

Ответ: 442464 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 419

Урок в 6-м классе по теме

«Разложение на простые множители»

Цели урока:

Образовательные:

Сформировать представление о разложении чисел на простые множители, способность к практическому использованию соответствующего алгоритма.

Формировать умения и навыки использования признаков делимости при разложении чисел на простые множители.

Развивающие:

Развивать вычислительные навыки, умения обобщать, анализировать, выявлять закономерности, сопоставлять.

Воспитательные:

Воспитывать внимание, культуру математического мышления, серьезное отношение к учебному труду.

Содержание урока:

1. Устный счет.

2. Повторение пройденного материала.

3. Объяснение нового материала.

4. Закрепление материала.

5. Рефлексия.

6. Подведение итогов урока.

Ход урока

Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.

Вступительное слово:

Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока « Разложение чисел на простые множители». Частично вы с ней уже знакомы. А чтобы лучше поставить цель урока, мы с вам немного поработаем устно.

Выполните действия (устно) .

Вычислите:

1. 15 х(325 -325) + 236х1 – 30:1 206

2. 207 – (0 х4376 -0:585) + 315: 315 208

3. (60 – 0:60) + (150:1 -48х0) 210

4. (707:707 +211х1):1 -0:123 212

Повторение изученного материала

Продолжите полученный ряд на 3 числа

(206; 208;210; 212;214;216;218)

Выберите из них числа делящиеся

на: 2 (206; 208;210; 212;214;216;218)

на 3: (210;216)

на 9: (216)

на 5: (210)

на 4: (208; 212; 216)

Сформулируйте признаки делимости

Вопросы: 1. Какие числа называются простыми?

2. Какие числа называются составными?

3. Что за число 1?

4. Назовите все простые числа первых двух десятков.

5. Сколько всего простых чисел?

6.Является ли число 32 простым?

7.Является ли число 73 простым?

Объяснение нового материала.

Решим очень интересную задачу.

Жили -были бед да бабка. Была у них курочка Ряба. Курочка несет каждое седьмое яичко золотое, а каждое третье – серебряное. Может ли быть такое?

(Ответ: нет, т.к. 21 яичко может быть золотым и серебряным) Почему?

Чему же мы должны научиться сегодня на уроке? (Разлагать любые числа на простые множители)

А как вы считаете, для чего этого нам нужно? (чтобы решать более сложные примеры, а также сокращать дроби)

Сегодня тема нашего урока поможет нам лучше понимать и решать подобные задачи.

Решите задачу: Нужно выделить участок земли прямоугольной формы площадью 18 кв. м., Какими и могут быть размеры этого участка, если они должны выражаться натуральными числами?

Решение: 1. 18=1 х 18 = 2 х3 х3

2. 18= 2 х 9 = 2х3х3

3. 18=3 х 6 = 3 х2х 3

Работа в парах.

Что мы сделали? (Представили в виде произведения или разложили на множители). А можно ли продолжить разложение? А как? Что получили?

Вопрос: что можно сказать об этих множителях?

Все множители простые числа.

Откройте учебник Что нужно сделать? Кто мне сможет объяснить, как это сделано? (Обсуждение в парах)

На разобранном примере разложим число 84 на простые множители (алгоритм разложения):

84 2 756 2 - учитель показывает на доске.

42 2 378 2

21 3 189 3 84 = 2х2∙3∙7 = 2 2 ∙3∙7

7 7 63 3

1 21 3 756= 2х2х3х3х3х3

Разложите число 756 на простые множители. Сравните с моим решением. Что заметили?

На стр.194 найдите ответ на следующий вопрос?

Любое число раскладывается в произведение простых множителей

единственным образом.

Закрепление изученного материала .

1. Разложить на простые множители числа:20; 188; 254.

сделаем проверку Слайд 12

20 2 188 2 254 2

10 2 94 2 127 127

5 5 47 47 1 1

1 1 1

№ 1. 20 = 2 2 ∙5; 188 = 2²∙47; 254 = 2∙127.

Каждому предлагаются карточки. Учащиеся решают и проверяют с оригиналом, который находиться на столе учителя. Если правильно выполнили ставят себе плюсик в сводной таблице. (Решить по 3)

Карточка №2. Разложить на простые множители числа:30; 136; 438.

Карточка №3. Разложить на простые множители числа:40; 125; 326.

Карточка №4. Разложить на простые множители числа:50; 78; 285.

Карточка №5. Разложить на простые множители числа:60; 654; 99.

Карточка №6. Разложить на простые множители числа:70; 65; 136.

После выполнения работы сделаем проверку.

№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.

№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163

№4. 50 = 2∙5²; 78 = 2∙3∙13; 285 = 3∙5∙9.

№ 5. 60 = 2²∙3∙5; 654 = 2∙3∙109; 99 = 3²∙11

№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.

Итог.

Что значит разложить число на простые множители?

(Разложить натуральное число на простые множители- это значит представить число в виде произведения простых чисел.)

2) Единственно ли разложение натурального числа на простые множители?

(Каким бы способом ни выполнялось разложение натурального числа на простые множители, мы получаем его единственное разложение, порядок множителей при этом не учитывается.)

Домашнее задание.

любые 4 числа разложить на простые множители.

(кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами . Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными ) числами . Простых чисел - бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В арифметике под умножением понимают краткую запись сложения указанного количества одинаковых слагаемых.

Например , запись 5*3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть 5+5+5. Результат умножения называется произведением , а умножаемые числа — множителями или сомножителями . Первый множитель иногда называется «множимое ».

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Разложение числа на множители (Факторизация).

Разложение на множители (факторизация) - перебор делителей — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.

Т.е., простым языком, факторизация - это название процесса разложения чисел на множители, выраженное научным языком.

Последовательность действий при разложении на простые множители:

1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.

2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, из простых чисел начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).

3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется простым числом.

Встречали такой термин, как «простые числа» или «простые множители», но не знаете, что это такое? Также простые числа очень популярны в киноиндустрии, поэтому не редко их можно встретить в фильмах и сериалах. Давайте разберёмся, что такое простые числа в данной статье!

Простые числа – это целое положительное (натуральное) число, которое может быть разделено лишь на единицу и самого себя. Числа, которые имеют более двух натуральных делителей являются составными.

• Пример 1: простое число 7 может быть разделено лишь на 1 и на 7.
• Пример 2: составное число 6 может быть разделено на 1, 2, 3, 6.

Простые числа до 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Простые числа – очень популярная тема в математике, с ней связано огромное множество задач, теорем и т.д.

Простые множители – это множители (элементы произведения), являющиеся простыми числами. С простыми множителями связано несколько школьных заданий, которые могут вызвать проблемы даже у старшего поколения.

Разложите на простые множители числа…

Довольно популярная в математике задача. Наиболее распространённые примеры:

Разложите не простые множители числа 27, 54, 56, 65, 99, 162, 625, 1000. В первую очередь следует сказать, что самая распространённая ошибка при решении данной задачи – количество множителей не указано, их не обязательно именно 2! Если Вы совершили данную ошибку – можете попробовать решить задание самостоятельно.

Ответы:

• 27 = 3 х 3 х 3
• 54 = 2 х 3 х 3 х 3
• 56 = 2 х 2 х 2 х7
• 65 = 5 х 13
• 99 = 3 х 3 х 11
• 162 = 2 х 3 х 3 х 3 х 3
• 625 = 5 х 5 х 5 х 5
• 1000 = 2 х 2 х 2 х 5 х 5 х 5

Разложить на множители большое число – нелегкая задача. Большинство людей затрудняются раскладывать четырех- или пятизначные числа. Для упрощения процесса запишите число над двумя колонками.

• Разложим на множители число 6552.

Разделите данное число на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления. Как отмечалось выше, четные числа легко раскладывать на множители, так как их наименьшим простым множителем всегда будет число 2 (у нечетных чисел наименьшие простые множители различны).

• В нашем примере число 6552 – четное, поэтому 2 является его наименьшим простым множителем. 6552 ÷ 2 = 3276. В левой колонке запишите 2, а в правой - 3276.

Далее разделите число в правой колонке на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления (продолжите этот процесс до тех пор, пока в правой колонке не останется 1).

• В нашем примере: 3276 ÷ 2 = 1638. В левой колонке запишите 2, а в правой - 1638. Далее: 1638 ÷ 2 = 819. В левой колонке запишите 2, а в правой - 819.

Вы получили нечетное число; для таких чисел найти наименьший простой делитель сложнее. Если вы получили нечетное число, попробуйте разделить его на наименьшие простые нечетные числа: 3, 5, 7, 11.

• В нашем примере вы получили нечетное число 819. Разделите его на 3: 819 ÷ 3 = 273. В левой колонке запишите 3, а в правой - 273.
• При подборе делителей опробуйте все простые числа вплоть до квадратного корня из наибольшего делителя, который вы нашли. Если ни один делитель не делит число нацело, то вы, скорее всего, получили простое число и можете прекратить вычисления.

Продолжите процесс деления чисел на простые делители до тех пор, пока в правой колонке не останется 1 (если в правой колонке вы получили простое число, разделите его само на себя, чтобы получить 1).

• Продолжим вычисления в нашем примере:
  • Разделите на 3: 273 ÷ 3 = 91. Остатка нет. В левой колонке запишите 3, а в правой - 91.
  • Разделите на 3. 91 делится на 3 с остатком, поэтому разделите на 5. 91 делится на 5 с остатком, поэтому разделите на 7: 91 ÷ 7 = 13. Остатка нет. В левой колонке запишите 7, а в правой - 13.
  • Разделите на 7. 13 делится на 7 с остатком, поэтому разделите на 11. 13 делится на 11 с остатком, поэтому разделите на 13: 13 ÷ 13 = 1. Остатка нет. В левой колонке запишите 13, а в правой - 1. Ваши вычисления закончены.

В левой колонке представлены простые множители исходного числа. Другими словами, при перемножении всех чисел из левой колонки вы получите число, записанное над колонками. Если один множитель появляется в списке множителей несколько раз, используйте показатели степени для его обозначения. В нашем примере в списке множителей 2 появляется 4 раза; запишите эти множители как 2 4 , а не как 2*2*2*2.

• В нашем примере 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Вы разложили число 6552 на простые множители (порядок множителей в этой записи не имеет значения).