Радикал знак. Знак квадратного корня и способы его набора

Призма –многогранник, полученный от пересечения призматической поверхности двумя параллельными плоскостями. Равные многоугольники (грани), полученные в сечении призматической поверхности с параллельными плоскостями, называются ее основаниями , а другие грани (параллелограммы) – боковыми гранями (рис. 2.14).

Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Призма называется правильной , если она прямая и основание ее – правильный многоугольник. Призма называется наклонной , если ее боковые ребра (грани) не перпендикулярны основаниям. Призма называется треугольной , если ее основание – треугольник, четырехугольной , если ее основание – четырехугольник, и вообще n -угольной , если основание ее – n -угольник. Призматическая поверхность – поверхность, образованная движением прямой в пространстве так, что эта прямая остается параллельной самой себе и пересекает данную ломаную линию. Рис. 2.14. Призма

Подвижная прямая называется образующей призматической поверхности, а данная ломаная линия – ее направляющей .

2.6.5. Сила тяжести и вес тела

1. Если бы Земля не вращалась , то на тело массой т , лежащее неподвижно на опоре в вакууме, действовала бы гравитационная сила
, направленная к центру Земли, а также сила реакции опоры, направленная от центра Земли. В условиях равновесия

. (2.37)

Принимая для простоты, что Земля обладает сферической симметрией (по форме и плотности), можно записать гравитационную силу законом всемирного тяготения Ньютона:

, (2.38)

где – гравитационная постоянная;

М = 5,96·10 24 кг – масса Земли;

R = 6,37·10 6 м – средний радиус Земли.

Притягиваясь к Земле, тело действует на подставку силой веса . По третьему закону Ньютона

. (2.39)

Из уравнений (2.37)(2.39) следует, что сила веса , действующая в вакууме со стороны покоящегося тела на опору или подвес на гипотетической невращающейся Земле, равнялась бы гравитационной силе

(2.40)

и была бы направлена к центру Земли.

При отсутствии опоры нет силы реакции , нет и силы веса. Тогда тело свободно падало бы в поле одной гравитационной силы с ускорением

, (2.41)

не зависящим от массы тела

(2.42)

и совпадающим по величине и направлению с вектором напряженности гравитационного поля в любой точке траектории.

2. Однако Земля вращается в системе неподвижных звезд и является поэтому неинерциальной системой отсчета.

В неинерциальной системе отсчета на каждую материальную точку (тело) действует сила инерции
, котораяявляется не результатом взаимодействия тел, а результатом ускоренного движения системы отсчета . Сила инерции равна произведению массы т материальной точки (тела) на ускорение системы отсчета:

. (2.43)

Знак «минус» показывает, что сила инерции направлена в сторону, противоположную вектору ускорения системы отсчета.Сила инерции во вращающейся системе отсчета направлена по радиусу r от оси вращения (рис. 2.15, а ).

Величина силы инерции зависит от расстояния r до оси вращения. Это расстояние зависит от географической широты

(2.44)

и на различных широтах разное – на экваторе оно наибольшее ( = 0), а на полюсе равно нулю (
).

На широте сила инерции равна

где
– угловая скорость вращения Земли.

Рис. 2.15. Сила инерции во вращающейся системе отсчета «Земля»

Рассмотрим более детально силы, действующие на тело, которое покоится на поверхности вращающейся Земли на некоторой широте при отсутствии среды. На тело действует гравитационная сила
, направленная к центру Земли, и сила инерции
, направленная от оси ее вращения. Сила реакции опорыудерживает тело в неподвижном относительно Земли состоянии. Поскольку тело покоится в системе отсчета, то действующие на тело силы скомпенсированы

. (2.46)

Из равенства (2.46) следует, что сила реакции уравновешивает сумму сил тяготения
и инерции
. Линия действия силы реакциисовпадает с линией действия результирующей двух сил
+
и направлена от поверхности Земли, образуя с осью Ох , проведенной из центра вращения (точка О), некоторый угол α , отличающийся от угла географической широты (α ≠ φ ).

Геометрическая сумма гравитационной силы
и силы инерции
,учитывающей суточное вращение Земли, называется силой тяжести
, действующей на неподвижное тело (рис. 2.15, б ):

. (2.47)

Тогда условие (2.46) равновесия тела имеет вид:

+ = 0. (2.48)

Вес тела – это сила, с которой любое тело, находящееся в поле силы тяжести, действует на опору или подвес, препятствующие свободному падению тела (рис. 2.16). Силыи– это силы взаимодействия тела и опоры. По третьему закону Ньютона:

= – . (2.49)

Рис. 2.16. Силы, действующие на тело и опору (а ); на тело и подвес (б )

Таким образом, на вращающейся Земле в отсутствие среды вес неподвижного тела по величине и направлению совпадает с силой тяжести
(2.47):

=
, (2.50)

т.е. вес равен геометрической сумме гравитационной силы
и силы инерции
. Вес и сила тяжести приложены к разным объектам (вес – к опоре или подвесу, сила тяжести – к телу) и имеют различную физическую природу (вес – упругую, т.е. по существу электромагнитную, а сила тяжести – в основном гравитационную). Вес тела на вращающейся планете – это статическое проявление силы тяжести, в результате которого опора или подвес деформируются.

Определим величину силы тяжести и вес тела , находящегося в произвольной точке земной поверхности на широте φ . Из треугольника сил (рис. 2.17) следует

. (2.51)

Рис. 2.17. Силы, действующие на тело и опору,

покоящиеся во вращающейся системе отсчета «Земля»

С учетом выражений (2.38) и (2.45), получим

Таким образом, вес тела и сила тяжести зависят от массы тела т , от параметров, характеризующих Землю (М,ω ), и от положения тела на Земле (R ,φ ). На полюсах вес тела и сила тяжести оказываются наибольшими и равными гравитационной силе

(2.53)

На экваторе (
,
) вес тела и сила тяжести принимают наименьшее значение

Если учесть, что полярный и экваториальный радиусы Земли не одинаковы (R пол = 6356, 9 км, R экв = 6378,1 км), то

. (2.55)

После подстановки в формулу (2.55) значений R пол , R экв , М , γ , а также получим

Таким образом, с учетом различия полярного и экваториального радиусов и вращения Земли вес тела и сила тяжести на экваторе уменьшаются примерно на 1,0 % от величины на полюсе!

Определим теперь направление силы тяжести и веса тела. Сила тяжести и вес тела направлены к центру Земли только на полюсах и на экваторе. В остальных точках земной поверхности такого совпадения нет. Угол отклонения ∆α от направления на центр Земли зависит от географической широты φ . Поскольку угол ∆α мал, то из рис. 2.17 следует, что для сферической Земли

(2.56)

и для φ = 45° ∆α ≈ 0,1° .

Таким образом, если не требуется высокая точность , то приближенно можно считать, что сила тяжести и вес тела направлены к центру Земли и равны по модулю гравитационной силе.

3. В связи с актуальностью взвешивания объектов в движении необходимо рассмотреть влияние силы Кориолиса . Сила Кориолиса обусловлена движением тел относительно вращающейся системы отсчета. Сила Кориолиса зависит от скорости движения тела относительно системы отсчета и угловой скоростисистемы отсчета.

Выражение для кориолисовой силы имеет вид:

где
– векторное произведение.

Величина силы Кориолиса равна

, (2.58)

где β – угол между векторами и. Вектор
перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и.

Сила Кориолиса равна нулю, если скорость движения тела равна нулю или угол между векторами иравен нулю либоπ (например, при движении по поверхности Земли вблизи экватора вдоль географического меридиана). Максимальное значение кориолисова сила принимает, если скорость движения тела перпендикулярна оси вращения Земли (например,
при движении по поверхности Земли вдоль параллели; на рис. 2.18 а, б представлен случай движения тела на восток).

Рис. 2.18. Сила Кориолиса, действующая на тело,

движущееся во вращающейся системе отсчета «Земля»

Если тело покоится относительно Земли, то
= 0 и действующие на него силы
,
,скомпенсированы. Если тело освободить от опоры или подвеса, то оно начнет падать с ускорением свободного падения– динамическое проявление силы тяжести на вращающейся Земле. Уравнение движения тела имеет вид:

. (2.59)

Таким образом, силе тяжести можно дать другое толкование, отказавшись от выражения (2.47)
, и заменив его более общим

, (2.60)

. (2.61)

Полученное выражение совпадает с выражением (2.47) для статического проявления силы тяжести при условии
, т.е. для момента, когда тело начинает движение или падение из состояния покоя.

Ускорение свободного падения тела можно выразить из формулы (2.59):

. (2.62)

Таким образом, ускорение свободного падения тела и сила тяжести
,действующая на тело, движущееся относительно вращающейся Земли, есть величины неоднозначные, зависящие от скорости движения тела.

Однако поскольку относительная ошибка

(2.63)

при скорости тела ≈ 67 м/с (≈ 240 км/ч) и
не превосходит 0,1 %, тообычно пользуются выражениями для статического проявления силы тяжести и веса тела :

, (2.65)

где – ускорение в начале свободного падения тела из состояния покоя, когда скорость движения еще очень мала
.

4. Вес тела зависит от окружающей среды. Вес тела в воздухе (или в жидкости) меньше, чем в безвоздушном пространстве, так как этих средах на тело действует выталкивающая сила. Возникновение выталкивающей силы можно объяснить тем, что соприкасающиеся поверхности тела и опоры не являются идеально гладкими – они имеют шероховатости (выступы), форма и величина которых различны. Фактически касание, т.е. реальный контакт поверхностей двух тел, происходит лишь в отдельных «пятнах» (рис. 2.19).

Суммарная фактическая площадь касания составляет 0,0010,01 номинальной площади поверхности и зависит от природы тел и характера обработки их поверхности. Таким образом, тело, находящееся в среде, фактически окружено этой средой.

Рис. 2.19. Выталкивающая сила
, действующая на тело, находящееся в воздухе

На тело, находящееся в газовой среде, действует выталкивающая сила, равная произведению его объема на плотность среды и на ускорение свободного падения:

, (2.66)

(2.67)

 плотность газовой среды, которая зависит от давления газа и его температурыТ ;  молярная масса газа; R = 8,31 Дж/(моль К)  универсальная газовая постоянная.

Сила реакции опоры является результирующей всех сил
, действующих на тело в областях фактического касания.

В условиях равновесия

. (2.68)

Откуда вес тела равен

, (2.69)

. (2.70)

Таким образом, вес тела в воздухе меньше силы тяжести. Вес тела является переменной величиной  зависит от температуры, давления и состава окружающей его газовой среды, а также от объема тела и ускорения свободного падения в месте нахождения тела.

Расчет показывает, что уменьшение веса латунной гири массой т и плотностью
в воздухе при температуреt = 20 0 С = 293 К и давлении р атм = 10 5 Па составляет

от силы тяжести. Если не требуется такая высокая точность, то можно полагать, что вес тела в воздухе равен силе тяжести :

. (2.71)

Пусть - плоский -угольник, а многоугольник получается из параллельным переносом на вектор , не параллельный плоскости . Многогранник, ограниченный многоугольниками и и параллелограммами , , … (рис. 1), называется -угольной призмой (от греческого слова prisma - «отпиленный кусок») с основаниями и , боковыми гранями , , … и боковыми ребрами , , … . Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется прямой, а в противном случае - наклонной. Наконец, призма называется правильной, если она прямая и в основаниях имеет правильные многоугольники.

Правильная -угольная призма совмещается сама с собой при поворотах около своей оси - прямой, проходящей через центры оснований и (рис. 2). Через ось проходят плоскостей симметрии призмы, а еще одна плоскость симметрии проходит через середину отрезка перпендикулярно ему. Точно такие же плоскости симметрии имеет двойственный к правильной -угольной призме диэдр, или бипирамида, - многогранник, ограниченный треугольниками с вершинами в центрах оснований и боковых граней призмы (рис. 3). Встречающиеся в природе монокристаллы часто имеют форму правильных, возможно усеченных, призм и диэдров (в силу кристаллографических ограничений число для кристаллических форм может равняться лишь 3, 4 или 6).

Еще один частный случай симметричных призм - параллелепипед, т.е. призма с параллелограммами в основаниях. Параллелепипед имеет 4 диагонали, которые пересекаются в одной точке - центре симметрии параллелепипеда. В этой точке диагонали делятся пополам (рис. 4). Прямые параллелепипеды имеют еще и ось симметрии, проходящую через центры оснований (рис. 5). Если основаниями прямого параллелепипеда являются прямоугольники, то он называется прямоугольным. Прямоугольные параллелепипеды преобладают среди окружающих нас многогранных форм: это всевозможные коробки, комнаты, здания и т.д. Эти параллелепипеды имеют по три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, пересекающиеся по трем осям симметрии (рис. 6). Среди прямоугольных параллелепипедов еще более симметричными являются правильные четырехугольные призмы (5 плоскостей симметрии) и куб (9 плоскостей симметрии - на рис. 7 показано, как они разрезают поверхность куба).

Существует интересная связь между параллелепипедами и тетраэдрами: если через каждые два скрещивающихся ребра тетраэдра провести пару параллельных плоскостей, то получающиеся шесть плоскостей будут ограничивать описанный около тетраэдра параллелепипед (рис. 8). При этом правильному тетраэдру отвечает куб, равногранным тетраэдрам - прямоугольные параллелепипеды.

Объем произвольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т.е. на расстояние между плоскостями оснований. Есть еще одна формула для объема призмы , где - длина бокового ребра, a - площадь перпендикулярного боковым ребрам сечения призмы.

Инструкция

Если в условиях задачи приведен объем (V) пространства, ограниченного гранями призмы , и площадь ее основания (s), для вычисления высоты (H) используйте формулу, общую для с основанием любой геометрической формы. Разделите объем на площадь основания: H=V/s. Например, при в 1200 см³ основания, равной 150 см², высота призмы должна быть равна 1200/150=8 см.

Если четырехугольник, лежащий в основании призмы , имеет форму какой-либо правильной фигуры, вместо площади в вычислениях можно использовать длины ребер призмы . Например, при квадратном основании площадь в формуле предыдущего шага замените второй степенью длины его ребра (a):H=V/a². А в случае в ту же формулу подставьте произведение длин двух смежных ребер основания (a и b):H=V/(a*b).

Для вычисления высоты (H) призмы может оказаться достаточным знания полной площади поверхности (S) и длины одного ребра основания (a). Так как общая площадь складывается из площадей двух оснований и четырех боковых граней, а в таком многограннике основанием , площадь одной боковой поверхности должна быть равна (S-a²)/4. Эта грань имеет два общих ребра с квадратными известного размера, значит, для вычисления длины другого ребра разделите полученную площадь на сторону квадрата: (S-a²)/(4*a). Так как рассматриваемая призма является прямоугольной, то ребро вычисленной вами длины примыкает к основаниям под углом 90°, т.е. совпадает с высотой многогранника: H=(S-a²)/(4*a).

В правильной для вычисления высоты (H) достаточно знания длины диагонали (L) и одного ребра основания (a). Рассмотрите треугольник, образуемый этой диагональю, диагональю квадратного основания и одним из боковых ребер. Ребро здесь - неизвестная величина, совпадающая с искомой высотой, а диагональ квадрата, основываясь на теореме Пифагора, равна произведению длины стороны на корень из двойки. В соответствии с той же теоремой выразите искомую величину (катет) через длины диагонали призмы (гипотенузы) основания (второй катет): H=√(L²-(a*V2)²)=√(L²-2*a²).

Источники:

• четырехугольная призма

Призма – это прибор, который разделяет нормальный свет на отдельные цвета: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Это светопроницаемый объект, с плоской поверхностью, которая преломляет световые волны в зависимости от их длин и благодаря этому позволяет увидеть свет в разных цветах. Сделать призму самостоятельно довольно легко.

Вам понадобится

• Два листа бумаги
• Фольга
• Стакан
• Компакт Диск
• Кофейный столик
• Фонарик
• Булавка

Инструкция

Регулируйте положение фонарика и бумаги до тех пор пока не увидите на листах радугу – так ваш луч света раскладывается на спектры.

Видео по теме

Четырехугольная пирамида - это пятигранник с четырехугольным основанием и боковой поверхностью из четырех треугольных граней. Боковые ребра многогранника пересекаются в одной точке - вершине пирамиды.

Инструкция

Четырехугольная пирамида может быть правильной, прямоугольной или произвольной. Правильная пирамида имеет в основании правильный четырехугольник, а ее вершина проецируется в центр основания. Расстояние от вершины пирамиды до ее основания называется высотой пирамиды. Боковые грани являются равнобедренными треугольниками, а все ребра равны.

В основании правильной может лежать квадрат или прямоугольник. Высота H такой пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания. В квадрате и прямоугольнике диагонали d одинаковы. Все боковые ребра L пирамиды с квадратным или прямоугольным основанием равны между собой.

Для нахождения ребра пирамиды рассмотрите прямоугольный треугольник со сторонами: гипотенуза - искомое ребро L, катеты - высота пирамиды H и половина диагонали основания d. Вычислите ребро по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: L²=H²+(d/2)². В пирамиде с ромбом или параллелограммом в основании противоположные ребра попарно равны и определяются по формулам: L₁²=H²+(d₁/2)² и L₂²=H²+(d₂/2)², где d₁ и d₂ - диагонали основания.

Четвертое ребро L₃ прямоугольной пирамиды найдите по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами Н и d, где d - диагональ основания, проведенная от основания ребра, совпадающего с высотой пирамиды Н к основанию искомого ребра L₃: L₃²= H²+d².

В произвольной пирамиде ее вершина проецируется в случайную точку на основании. Для нахождения ребер такой пирамиды рассмотрите последовательно каждый из прямоугольных треугольников, в которых гипотенуза - искомое ребро, один из катетов - высота пирамиды, а второй катет - отрезок, соединяющий соответствующую вершину основания с основанием высоты. Для нахождения величин этих отрезков необходимо рассмотреть треугольники, образованные в основании при соединении точки проекции вершины пирамиды и углов четырехугольника.

Иногда работа с документами Microsoft Word выходит за пределы обычного набора текста, благо, возможности программы это позволяют. Мы уже писали о создании таблиц, графиков, диаграмм, добавлении графических объектов и тому подобном. Также, мы рассказывали о вставке символов и математических формул. В этой статье мы рассмотрим смежную тему, а именно, как в Ворде поставить корень квадратный, то есть, обычный знак корня.

Вставка знака корня происходит по той же схеме, что и вставка любой математической формулы или уравнения. Однако, пара нюансов все же присутствует, поэтому данная тема заслуживает детального рассмотрения.

1. В документе, в котором нужно поставить корень, перейдите во вкладку “Вставка” и кликните в том месте, где должен находиться этот знак.

2. Кликните по кнопке “Объект” , расположенной в группе “Текст” .

3. В окне, которое появится перед вами, выберите пункт “Microsoft Equation 3.0” .

4. В окне программы будет открыт редактор математических формул, внешний вид программы полностью изменится.

5. В окне “Формула” нажмите на кнопку “Шаблоны дробей и радикалов” .

6. В выпадающем меню выберите знак корня, который нужно добавить. Первый — квадратный корень, второй — любой другой выше по степени (вместо значка “x” можно будет вписать степень).

7. Добавив знак корня, введите под него необходимо числовое значение.

8. Закройте окно “Формула” и кликните по пустому месту документа, чтобы перейти в обычный режим работы.

Знак корня с цифрой или числом под ним будет находиться в поле, похожем на текстовое поле или поле объекта “WordArt” , которое можно перемещать по документу и изменять в размерах. Для этого достаточно потянуть за один из маркеров, обрамляющих это поле.

Чтобы выйти из режима работы с объектами, просто кликните в пустом месте документа.

Совет: Чтобы вернутся в режим работы с объектом и повторно открыть окно “Формула” , дважды кликните левой кнопкой мышки в поле, в котором находится добавленный вами объект

На этом все, теперь вы знаете, как в Word поставить знак корня. Осваивайте новые возможности этой программы, а наши уроки вам в этом помогут.

Школьники или студенты в наше время часто работают в текстовом редакторе "Ворд". Однако ввиду недостаточной осведомленности некоторые задачи в нем они не способны выполнить. Особенно сложно работать с математическими символами, ведь на клавиатуре их недостаточно. В этой статье пойдет речь о знаке корня. Будет рассказано, как вставить его в документ. Продемонстрировано будет четыре разных способа, а по итогу прочтения статьи пользователь решит для себя сам, каким из них пользоваться.

При помощи Microsoft Equation 3.0

Стоит сразу сказать, что данный способ для вставки знака корня в документ отлично подходит как для соответствия всем нормам, так и для применения его во всех версиях программы. А пользоваться мы будем инструментом под названием 3.0.

Для начала необходимо открыть интерфейс самой утилиты, для этого:

1. Перейдите во вкладку "Вставка".
2. В группе инструментов "Текст" нажмите по кнопке "Объекты".
3. В появившемся окне выберите "Microsoft Equation 3.0", который находится в списке "Тип объекта".
4. Нажмите кнопку "ОК".

После этого в месте где был установлен курсор, появится форма для заполнения. Обратите внимание также на то, что внешний вид "Ворда" довольно сильно поменяется.

Для вставки знака корня вам необходимо в окне инструментов "Формула" нажать на кнопку "Шаблоны дробей и радикалов". Ее расположение вы можете наблюдать на изображении ниже.

Теперь в нужно выбрать соответствующий шаблон. После этого в поле для набора формул появится знак корня, а рядом с ним пустая ячейка, в которую можно вводить число. После того как число было введено, переключится на стандартный интерфейс программы можно, нажав левую кнопку мыши (ЛКМ) за пределами формы для ввода формул.

При помощи инструмента "Формула"

В более новых версиях программы есть второй вариант ввода формул. Он понятен рядовому пользователю, однако документ может не корректно отображать формулы в более ранних версиях программы.

Для ввода знака квадратного корня вам необходимо:

1. Нажать по кнопке "Формула", что находится в группе инструментов "Символы".
2. В специальном конструкторе формул найти и нажать по символу корня.

После этого в специальной форме для ввода формул появится знак корня. Вы также можете вписать туда значение. Однако таким методом корень не будет растягиваться, подстраиваясь под длину введенных данных. Чтобы этого добиться, необходимо в том же конструкторе нажать по кнопке "Радикал" и в выпадающем списке выбрать необходимый шаблон. Все остальные действия сопоставимы с предыдущим способом.

При помощи таблицы с символами

Вы уже узнали, как поставить знак корня в "Ворде" двумя разными способами, но на очереди еще два. Однако знаки, которые будут вставлены, не будут растягивать верхнюю планку, подстраиваясь под длину вводимых данных.

Для вставки знака корня с помощью таблицы символов необходимо:

1. Перейти во вкладку "Вставить".
2. Нажать на кнопку "Символы".
3. В списке выбрать "Другие символы".
4. В появившемся окне найти нужный символ, выделив его.
5. Нажать кнопку "Вставить".

После этого знак корня появится в виде обычного символа, а вы сможете дописать нужное выражение далее.

При помощи кода символа

Если вы попытались вставить знак корня, следуя вышеизложенной инструкции, то скорее всего обратили внимание на то, что поиски длятся довольно долго. Конечно, после одного применения этого символа он будет выведен в категорию "Недавно используемые", но все же есть другой вариант, менее затратный по времени, о котором сейчас и пойдет речь.

Для вставки символа с помощью кода символа, во-первых, нужно знать его код, а во-вторых, знать горячие клавиши для его преобразования. Итак, код символа "квадратный корень" следующий: 221A. А горячие клавиши для его преобразования - ALT+X. Теперь вам остается лишь ввести код и нажать на горячие клавиши.