Он имеет точку опоры. Принцип рычага с точки зрения Ииссиидиологии

Каждый школьник знает, кому принадлежат эти знаменитые слова "Дайте мне точку опоры, и я переверну мир", но далеко не каждому известно, с каким выдающимся изобретением они связаны. Укоренилось мнение, что это изречение относится к закону рычага. Однако достоверность такого вывода сомнительна. Правило рычага было сформулировано еще до Архимеда. Его описание встречается в сочинении «Механические проблемы», авторство которого приписывается философу Стратону из Лампсака, умершему, когда Архимеду было всего 8 лет.

Что же тогда могло послужить великому ученому и инженеру древности поводом для восторга, вылившегося в крылатую, ставшую афоризмом, фразу? Первое напоминание о ней находят у Плутарха - знаменитого древнегреческого писателя, историка и философа. В составленной им биографии полководца Марка Марцелла говорится: «Архимед, между прочим, писал однажды своему родственнику и другу царю Гиерону, что данной силой можно поднять любую тяжесть. В юношески смелом доверии к силе своего доказательства он сказал, что, если бы у него была другая Земля, он перешел бы на нее и сдвинул с места нашу...

Удивленный Гиерон стал просить Архимеда доказать свои слова и привести в движение какое-либо большое тело малой силой. Архимед, один из известных философов и математиков (), приказал посадить на царскую грузовую триеру (так назывался античный корабль), с огромным трудом с помощью многих рук вытащенную на берег, большой экипаж, положить на нее обычный груз и, усевшись на некотором расстоянии, без всяких усилий, спокойно двигая рукой конец полиспаста, стал тянуть к себе триеру так тихо и ровно, как будто она плыла по морю».

По-видимому, определение описанного здесь устройства как полиспаст не следует понимать дословно, потому что между понятиями «винт» и «червяк» не существовало тогда терминологического различия, и установить действительный характер изобретения можно лишь путем тщательного сопоставления описаний различных авторов.

Чудо, сотворенное Архимедом, ошеломило современников - ведь для передвижения по суше этого груза мускульной силой без применения каких-либо-механизмов потребовалось бы 1600 человек. Это чудо стало возможным с изобретением редуктора, в основу работы которого был положен открытый Архимедом принцип последовательного соединения передач. При последовательном соединении передач их передаточные отношения не складываются (как у полиспастов), а перемножаются. Например, для редуктора с 7 передачами с соотношением 1:5 выигрыш в силе составит величину порядка 400 000, а для 12 ступеней - превосходит миллиард. Такой ошеломляющий результат не мог не привести ученого в величайший восторг: «Дай мне место, где я мог бы стоять, и я подниму Землю», - писал об этом Папп Александрийский. В своем 8-томном «Математическом собрании» со ссылкой на Герона Александрийского он подробно описывает устройство, с помощью которого можно поднимать 25-тонный груз силой, равной 1,25 кН.

Но вот, оказывается, каждый из нас может если уж не сдвинуть корабль, то, по крайней мере, удержать его на волнах, ничего не изобретая.

Вспомните, например, как с подошедшего к пристани прогулочного теплохода бросают канат с широкой петлей на его конце, петлю набрасывают на причальную тумбу, а на корабле быстро накладывают восьмерками швартовый канат на отполированные до блеска кнехты (спаренная тумба на палубе судна, служащая для закрепления троса). И хотя один конец каната на корабле может оставаться незакрепленным, сила фения между канатом и кнехтами удерживает раскачивающийся на волне корабль. Иногда свободный конец каната придерживают ногой. прижимая его к палубе. Как-то даже не верится, что натяжение каната, создаваемое многотонной подвижной громадой, может быть скомпенсировано простым нажатием ноги.

Да, задачка Стратона была не из легких. Тем не менее задачи на экзаменах на ЦТ, ГИА и ЕГЭ на сегодняшний день не легче. Посмотрите основные решения заданий ЕГЭ и ГИА по математике не только в справочнике но и на интересных математических порталах, например, такой как нашю

Известные, ставшие крылатыми слова выдающегося математика, физика и инженера Древней Греции Архимеда Сиракузского: «Дайте, мне точку опоры, и я сдвину (переверну) Землю!» – означают, что даже самое сложное дело можно сделать, если будет на то благоприятная ситуация или условия. Именно отсюда возникла фраза «архимедов рычаг», которую употребляют в смысле двигательной силы вообще. Придуманные человечеством различные простые механизмы: наклонная плоскость, рычаг, винт, клин, блоки и т.д. – позволяют решить множество сложных задач. Давайте попробуем разобраться, как можно применить «архимедов рычаг» для уменьшения прикладываемой силы.

Предположим, что Вы решить посадить цветы на дачном участке. Но Вам мешают большие камни, которые надо убрать. Для того, чтобы это сделать, применим «архимедов рычаг». Рассчитаем, какую силу нужно приложить, чтобы переместить камень массой 100 кг. Будем считать, что камень имеет высоту 30 см, а основание представляет собой круг радиусом 25 см. Для решения поставленной задачи необходимо организовать рычаг, изображенный на рисунке. В качестве точки опоры будем использовать маленький камень (точка А), а качестве рычага – длинный крепкий шест, который подкладывается под большой камень и опирается на маленький камень.

При подъеме большой камень будет вращаться относительно точки B , при этом на него будут действовать три силы: сила тяжести mg , сила реакции опоры N и сила со стороны рычага F 3 . В самом начале движения большого камня сумма моментов действующих на него сил равна нулю (второе условие равновесия). Следовательно:

Согласно третьему закону Ньютона:

где F 2 – сила, с которой большой камень действует на рычаг. Используя условие равновесия рычага, получаем:

После несложных математических преобразований находим:

Таким образом, если отношение плеч l 1 и l 2 равно 6 (l 1 =120 см, l 2 =20 см ), то для перемещения большого камня нужно приложить силу примерно 100 Н . Что равносильно поднятию камня с массой 10 кг .

По предложенному методу мы предлагаем вам решить задачу:

Необходимо поднять груз массой 1000 кг на высоту 2м. Придумайте способ (систему простых механизмов), которая позволила бы это сделать, прикладывая силу не более 100 Н.

Если прислушиваться к легенде, то эта фраза принадлежит великому древнему математику и инженеру Архимеду. Но откуда же взялась эта фраза и почему она стала столь популярной? А началась вся история с открытия Архимедом такого интересного закона и устройства как рычаг. Сегодня рычаги окружают нас повсюду, это колеса, шестерни, ножницы, да и вся скелетно-мышечная система человека – это система рычагов.

По-сути любой рычаг, это длинна палка, имеющая по центру точку опоры. Если один конец этой палки длиннее, чем другой конец на другой стороне опоры, то при воздействии на рычаг на другом конце образуется большая сила, чем возложенная. Это объясняет, почему ломом так легко можно поднимать плиты, ломать замки и так далее. В теории Архимед предположил, что если бы он мог на что-то опереться в космосе своим рычагом, то мог бы сдвинуть даже Землю, не смотря на ее огромный вес.

Вообще любой рычаг можно сравнить с редуктором, то есть он превращает более длинное но слабое движение в более короткое но сильное. Впоследствии, изучая принцип работы рычага, Архимед начал создавать на его основе все новые, полезные на то время устройства. Одним из таких устройств стала лебедка. В ее основе Архимед использовал зубчатое колесо и червячную передачу. Благодаря такой конструкции можно было поднимать грузы огромной массы с минимальным усилием, причем на любую высоту. Вероятно, именно благодаря этой лебедке Архимед самостоятельно сдвинул корабль массой 200 тонн, на что ранее требовалось 1600 человек.

Если сравнивать принцип работы рычага с другими явлениями, то лучше всего его описывает гидравлика. Например, если взять два разных по диаметру цилиндра с поршнями, налить в них жидкость и подключить шлангом друг к другу, мы получим своего рода рычаг.

Например, если один цилиндр в диаметре будет вдвое меньше другого, то мы сможем удваивать прилагаемую нагрузку. Предположим, что ход поршня в узком цилиндре у нас составляет 1 метр, и мы кладем на него груз весом в 1 кг. При опускании поршня в узком цилиндре жидкость будет переходить в другой цилиндр, и поршень будет двигаться вверх. Так вот, здесь поршень будет двигаться вверх с силой уже в 2 кг. Однако при этом поднять груз на в 2 кг метр не выйдет, так как здесь ход поршня у нас составит 0.5 м, то есть вполовину меньше.

Аналогичным образом рычаг может работать и в обратную сторону. Например, прилагая большую нагрузку но небольшого хода, можно получить более длинный ход, но более легкого груза на другой, длинной стороне рычага.

Каждый, прочитавший этот заголовок, знает, видимо, и окончание фразы - широко известно смелое заявление величайшего математика и инженера древности Архимеда, его знаменитое "Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю". Если бы это утверждение принадлежало любому другому, оно могло бы вызвать только улыбку современников, но авторитет сиракузского мудреца был так велик, и вера в его возможности настолько безусловна, что слова Архимеда стали крылатой фразой, прошли через тысячелетия. Но что же стоит за знаменитым высказыванием Архимеда, с какими событиями и научными достижениями оно связано? И что конкретно имел в виду Архимед, каким именно приспособлением он считал возможным выполнить свое обещание?

Лебедка с зубчатым редуктором и червячной
передачей по Паппу Александрийскому
(реконструкция Т. Бека).
Первое упоминание об этой фразе есть у известного греческого писателя I века Плутарха в биографии римского полководца Марка Марцелла, осаждавшего Сиракузы. Рассказ Плутарха звучит так: "Архимед, между прочим, писал однажды своему родственнику и другу царю Гиерону, что данной силой можно поднять любую тяжесть. В юношески смелом доверии к силе своего доказательства он сказал, что, если бы у него была другая Земля, он перешел бы на нее и сдвинул с места нашу".

Как мы видим, Плутарх связывает заявление Архимеда с доказательством какого-то научного открытия, суть которого состоит в возможности "данной силой поднять любую тяжесть". Обычно считают, что речь идет здесь об открытии закона рычага, но это мнение не может быть принято. Ведь фраза Архимеда относится не к умению что-то рассчитать, а именно к действию, к созданию, пусть в рамках мысленного эксперимента, какого-то устройства, способного сдвинуть любую массу. Рычаг применяется людьми с незапамятных времен, и не понятно, как он мог стать предметом особой гордости Архимеда. Сомнительно, чтобы речь шла и об открытии закона рычага, потому что закон этот был сформулирован до Архимеда, хотя и не с той строгостью, которую позже придал ему ученый. Правило рычага содержится в сочинении "Механические проблемы", вероятный автор которого, философ Стратон из Лампсака, умер, когда Архимеду было восемь лет.

Но если у Плутарха речь шла не о рычаге и не о законе рычага, то о чем же? Некоторый свет на это проливает продолжение рассказа писателя: "Удивленный Гиерон,- пишет Плутарх,- стал просить Архимеда доказать свои слова и привести в движение какое-либо большое тело малой силой. Архимед приказал посадить на царскую грузовую триеру, с огромным трудом с помощью многих рук вытащенную на берег, большой экипаж, положить на нее обычный груз и, усевшись на некотором расстоянии, без всяких усилий, спокойно двигая рукой конец полиспаста, стал тянуть к себе триеру так тихо и ровно, как будто она плыла по морю". Очень интересны технические подробности, сообщенные Плутархом: назван тип корабля, который Архимед сдвинул-триера, и указан применявшийся для этого механизм - полиспаст. О передвижении Архимедом корабля упоминает и римский писатель III века Атеней. Правда, в его сообщении говорится, что Архимед добился успеха "с помощью изобретенного, им винта".

Античные корабли, достаточно хорошо изучены археологами. Мы знаем, что нагруженная триера весила около 200 тонн. По нормам того времени, которые приводит Герои Александрийский, для перемещения по суше подобного груза требовались усилия 1600 человек. Можно не сомневаться, что выполнение этой работы одним человеком должно было показаться зрителям настоящим чудом, произвести на современников глубокое впечатление и создать ученому громкую славу. Передвижение корабля силой одного человека и стало, вероятно, тем событием, которое закрепило в памяти поколений знаменитую фразу-"Дайте мне точку опоры...".

Теперь нам известно, какую задачу мог решить Архимед с помощью открытия, о котором говорит Плутарх, но какими именно устройствами ученый сдвинул корабль, пока остается неясным. С уверенностью можно утверждать только, что с помощью одного лишь полиспаста он сделать этого не мог (хотя в литературе встречаются и обратные утверждения). Чтобы сдвинуть триеру массой в 200 тонн, нужно приложить к ней усилие порядка 25 тонн. Если мы примем, что Архимед вытягивал последний канат полиспаста даже с силой 25 килограмм, то передаточное отношение системы составит 1: 1000. Полиспаст с такой характеристикой должен представлять собой чудовищное сооружение с двумя тысячами блоков. Потери на трение в подобном механизме будут настолько велики, что нет никакой надежды не только что-нибудь переместить с его помощью, но и просто сдвинуть его с места.

Не мог Архимед сдвинуть корабль и с помощью одного лишь винта, упоминаемого Атенеем,- винтовую передачу с нужным выигрышем в силе при том уровне техники создать было невозможно. Кроме

того, здесь возникает противоречие с рассказом Плутарха- винтовой домкрат и полиспаст несовместимы. Это, пожалуй, все, что можно извлечь из рассказов Плутарха и Атенея.

Для раскрытия загадки исторического изречения требуется какая-то дополнительная "точка опоры" и, к счастью, она имеется. Вот что пишет в своей "Математической библиотеке" ученый ill века Папп Александрийский. "Как определенный груз привести в движение определенной силой" - это то механическое открытие Архимеда, которое заставило его радостно воскликнуть: "Дай мне место, где я мог бы стоять, и я подниму Землю!" Герон Александрийский очень ясно описал это в своей книге... Он описывает, как поднять определенный груз при помощи определенной силы, причем он принимает отношение диаметра зубчатого колеса к диаметру оси с зубьями равным 5:1, допустив, что подлежащий поднятию груз весит 1000 талантов (25 тонн), а движущая сила равна 5 талантам (125 кг). Дальше Папп подробно разъясняет устройство этого механизма, который оказывается ручной лебедкой с четырехступенчатым зубчатым редуктором и червячной передачей.

Поразительным здесь кажется не только почти полное совпадение описания сути "механического открытия" с тем, что сказано у Плутарха, но и приводимый в качестве примера механизм. Характеристики лебедки как раз подходят для перемещения с ее помощью корабля силой одного человека. Ее устройство включает в себя и элементы, названные Плутархом и Атенеем,- на выходе она имеет канатный барабан, который может связываться с полиспастом, на входе у нее винт (термины "червяк" и "винт" в литературе того времени не различаются). Тяговое усилие - 25 тонн, если учесть полиспаст, даже превышает нужное и говорит о прочности машины, передаточное отношение вполне подходящее. Папп называет силу на канатном барабане (1000 талантов) и на зубе o червячного колеса (5 талантов), кроме тоoго, из его описания можно узнать, что червячная передача имела отношение 1:24. То есть общее передаточное отношение редуктора равно 1:4800. Конечно, и эта система передач имеет потери на трение - расчет показывает, что ее коэффи- циент полезного действия составляет около 10%. Но это не так уже плохо. Вращая рукоятку такой лебедки, Архимед мог сдвинуть корабль на 10 сантиметров, то есть на расстояние, заметное для зрителей, за 15-20 минут.

Папп не упоминает, что описанная Героном лебедка применялась для передвижения корабля, не говорит он прямо и о том, что она изобретена Архимедом. Но есть все основания полагать, что в античной технике, не знавшей быстроходных двигателей, лебедки с очень большими передаточными отношениями не могли применяться,- слишком много времени заняло бы перемещение грузов с их помощью. В грузоподъемных машинах той эпохи обходились воротами, полиспастами и комбинациями канатных барабанов разной величины. Если же требовалось быстро поднять большой rpwi в канаты впрягались сотни людей. Таким образом, вероятнее всего описанная Паппом лебедка была сконструирована Архимедом специально для демонстрации своего "механического открытия".

Но что же это было за открытие? Ясно, что Архимед считал его важным, если не пожалел труда на создание машины, не имевшей прототипов, сложной, трудной в изготовлении. Может быть, под открытием подразумевается изобретение какого-либо механизма, входящего в лебедку? Сомнительно. Зубчатые колеса были известны до Архимеда. Честь изобретения червячной передачи, по всей вероятности, действительно принадлежит Архимеду, но сама по себе она не решает задачи, "как определенный груз привести в движение определенной силой". Открытие должно было быть более глубоким, касаться неких общих принципов. И такой для того времени новый принцип, заключенный в механизмах для передвижения корабля, можно указать. Это- последовательное соединение передач.

Архимед открыл, что при последовательном соединении передач их передаточные отношения не складываются (как у полиспастов), а перемножаются и это приводит к ошеломляющим результатам. Если взять зубчатые передачи с отношнием 1:5 (как у Герона) и соединить и*""пс>следова-тельно, то для двух передач "выигрыш" в силе составит 25, для трех -125, для пяти - 3125. Для редуктора с семью передачами отношение будет уже около 400 тысяч, а для двенадцати ступеней превысит миллиард! Такое открытие было способно, видимо, привести ученого в восторг и послужить поводом для восклицания о возможности сдвинуть Землю.

Структура современных грузоподъемных машин часто повторяет принципы устройства лебедки Архимеда, и это вызывает еще большее уважение к великому ученому, который в III веке до нашей эры сумел найти оптимальную комбинацию механизмов и провести опыт, поразивший современников.