С. Бесконечность Бесконечное в своем простом понятии может прежде всего считаться новым определением абсолютного; оно положено, как неопределенное отношение к себе, как бытию и становлению. Формы существования выпадают из ряда определений, которые могут считаться

с. Утвердительная бесконечность В вышеуказанном переходящем туда и сюда взаимном определении конечного и бесконечного истина их в себе уже дана, и требуется лишь признание того, что дано. Это колебание туда и сюда образует собою внешнюю реализацию понятия; в нем - но

С. Количественная бесконечность а. Ее понятие Определенное количество изменяется и становится другим определенным количеством; дальнейшее определение этого изменения, а именно, что оно продолжается в бесконечность, заключается в том, что определенное количество

с. Бесконечность определенного количества 1. Бесконечное определенное количество, как бесконечно большое или бесконечно малое, есть само по себе бесконечный прогресс; оно есть определенное количество, как большое или малое, и вместе небытие определенного количества.

Ж. Бесконечность времени Пребывать в бесконечности означает существовать без ограничений и. следовательно, в виде истока, начала, то есть это означает также быть сущим. Абсолютная недетерминированность И у а - существования без существующих - является непрерывным

Глава 20 Бесконечность Сложные философские вопросы – это вопросы, на которые невозможно ответить, исходя из общего опыта или на основе здравого смысла. Ответ на них требует постоянных размышлений и рассуждений.Как возникают такие вопросы? Для Аристотеля они появлялись

Глава 20. Действительная и потенциальная бесконечность (Бесконечность) Критика теории атомистов.Физика, книга I, глава 2.О небе, книга III, глава 4; книга IV, глава 2.Учение Аристотеля о бесконечной делимости непрерывных величин и материи.Физика, книга III, главы 1, 6, 7; книга V, глава

филос. понятие, отражающее безграничность и беспредельность развития материи, неисчерпаемость ее познания. Место, занимаемое понятием Б. в системе категорий диалектич. материализма, определяется связью Б. с такими осн. категориями, как материя, движение, пространство и время. Б. является наиболее общей количеств. характеристикой движущейся материи. Рассматриваемый с этой наиболее общей количеств. стороны, материальный мир выступает как бесконечный в пространстве, бесконечный во времени и безгранично разнообразный по своим свойствам, по тем конкретным формам, в к-рых движется материя. При этом, если Б. в пространстве и времени описывает мир как целое, то Б. свойств характеризует не только мир в целом, но и каждый отд. материальный объект. Логически Б. материального мира (во всех ее трех аспектах) может рассматриваться как следствие субстанциального характера материи. Поскольку материя признается единств. субстанцией, к-рая есть causa sui (сама себе причина), постольку ее развитие и движение не может быть ничем ограничено. Если материя "противостоит нам как нечто данное, как нечто несотворимое и неуничтожимое, то отсюда следует, что и движение несотворимо и неуничтожимо" (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1955, с. 45). Естеств. условием такого движения материи является Б. ее существования во времени. С другой стороны, будучи единств. субстанцией мира, материя может быть ограничена в своем протяжении лишь сама собой, что служит выражением ее Б. в пространстве. Очевидно, что движение и развитие материи, бесконечно существующей в бесконечном пространстве, осуществляется как неогранич. взаимодействие материальных тел между собой. Это бесконечное разнообразие и количество связей между объектами определяет и неисчерпаемость, Б. свойств как всего мира, так и любого материального объекта. Т.о., Б. материального мира включает в себя три аспекта и не может рассматриваться в отрыве от них, ибо сами эти три аспекта, три стороны Б. Вселенной, тесно связаны друг с другом. Понятие "Б. мира" играет большую роль в космологии. Вокруг проблемы Б. всегда велась и ведется борьба между идеализмом и материализмом. Уже Архит Тарентский (5 в. до н.э.) доказывал Б. мира в пространстве, трактуя Б. мира как возможность непрерывного до Б. отсчитывания расстояний в нем. Однако подобное представление о Б. мира приводит к неразрешимым противоречиям, получившим название космологических парадоксов. Так, из представления о бесконечной Вселенной, равномерно заполненной светящимися звездами, с необходимостью следует вывод, что небосвод должен быть ослепительно ярок (парадокс Ольберса). Притяжение бесконечно большой массы бесконечной Вселенной должно привести к бесконечно большим скоростям и ускорениям масс (парадокс Зелигера). И то, и другое резко противоречит наблюдениям. Попытки распространения на бесконечную Вселенную второго начала термодинамики приводили к выводу о начале истории Вселенной. К этому же выводу приходили при распространении на всю Вселенную объяснения явления красного смещения в спектрах далеких галактик их реальным "разбеганием". Эти космологич. парадоксы приводили ряд ученых к отказу от представления о Б. Вселенной в пространстве и времени, к попыткам "научного" обоснования конечности мира, что являлось по существу прямой поддержкой фидеизма. Космологич. парадоксы, по-видимому, являются результатом распространения на всю Вселенную закономерностей, установленных лишь для ее конечных областей. Специфичностью такого объекта исследования, как "Вселенная в целом", объясняется то, что мы не можем распространять на нее не только закономерности, установленные для конечных областей Вселенной, но даже установленные для сколь угодно больших (но ограниченных) областей ее. Однако Б. мира, как и его материальность, должна подтверждаться всем ходом истории философии и науки. Положительным вкладом в решение космологич. проблемы, а тем самым и в раскрытие конкретной природы физич. Б. мира, являются различные космологич. модели. По сути дела, космологич. модели представляют собой экстраполяцию закономерностей, справедливость к-рых подтверждена для известной нам области Вселенной, на предельно большие области Вселенной (в пределе – на всю бесконечную Вселенную). Возможность такой экстраполяции находит нек-рое обоснование в том, что такие физич. законы, как законы сохранения массы, заряда, энергии, импульса и т.п., к-рые по существу являются естественно-науч. выражением законов сохранения материи и движения, по-видимому, допустимо распространять без ограничений на Вселенную в целом. Тем не менее, необходимо постоянно иметь в виду ограниченность метода космологич. моделей, поскольку в этом случае рассматривается переход к Б. одной или нескольких характеристик космологич. модели, к-рые являются лишь приближенными отражениями бесконечного многообразия свойств реальной Вселенной. Первую космологич. модель рассмотрел Ньютон. Считая пространство бесконечным, он пришел к выводу, что для того, чтобы тяготеющая материя в бесконечном пространстве не собралась в одну гигантскую массу, она должна быть равномерно распределена в бесконечном пространстве. Однако эта модель приводит к фотометрич. и гравитационному парадоксам, устранить к-рые классич. космология оказалась не в состоянии. Существенным шагом вперед было создание Эйнштейном общей теории относительности (1918), связавшей геометрич. свойства пространства и времени (их метрику) с распределением тяготеющих масс. Попытки Эйнштейна получить решение ур-ний общей теории относительности для бесконечной Вселенной и тем самым изучить ее пространственно-временную структуру не увенчались успехом (Эйнштейн предполагал, что метрика не меняется со временем). На этом основании Эйнштейн и позднее Де Ситтер пришли к выводу о пространственной замкнутости мира: луч света, испущенный каким-нибудь источником, за конечное время вернется в достаточно близкую окрестность источника. Так родилось "доказательство конечности мира" общей теорией относительности. Сов. ученый А. А. Фридман (1922) показал, что из ур-ний Эйнштейна можно получить принципиально иные решения, а именно – решения, соответствующие бесконечному миру, если только отказаться от предположения Эйнштейна о неизменности метрики со временем. Модель мира, полученная Фридманом, должна расширяться. Это получило подтверждение в открытии (1927) красного смещения в спектрах далеких галактик. Последующие исследования показали, что геометрия известной нам части Вселенной в основном определяется средней плотностью вещества в ней. При плотности 10-28, 10-29 г/см 3 пространство мира бесконечно, а геометрия мира – евклидова. Большей плотности соответствует замкнутость пространства (геометрия Римана в узком смысле слова), а меньшей – разомкнутость (геометрия Лобачевского). В первом случае мир оказывается пространственно ограниченным, во втором – бесконечным. Однако точность определений средней плотности настолько низка, что возможны огромные ошибки. Поэтому вопрос о метрике известной нам области Вселенной остается открытым. Но даже если дальнейшие исследования приведут к представлению о замкнутости (в указанном выше смысле) нашей области мира (если значение средней плотности окажется достаточно высоким), это ни в какой мере не даст права судить о геометрии за пределами известной нам области Вселенной. Вывод о пространственной замкнутости известной нам области мира по существу будет означать подход к таким областям и масштабам, к-рые характеризуются иными свойствами и мерами, чем известные нам до сих пор виды материи и формы ее движения. Таким образом, совр. модели являются отражением важнейших черт известной нам области Вселенной – Метагалактики. Но их никак нельзя считать моделями Вселенной в целом. Другим полюсом вопроса о Б. материального мира в пространстве и времени является проблема "бесконечно" малых расстояний и промежутков времени. Указывая на Б. материи "вглубь", на неисчерпаемость свойств элементарных частиц, изучаемых совр. микрофизикой, диалектич. материализм связывает с этим и изменение пространственно-временных отношений в микромире, поскольку эти отношения определяются свойствами материальных объектов. В этой связи большой интерес представляет гипотеза о прерывности пространства и времени в микромире, о т.н. "квантовании" пространства и времени. В совр. квантовой теории поля, где частицы рассматриваются как точечные образования, целый ряд характеристик (энергия, масса, заряд) частиц получает бесконечные значения, что лишено физич. смысла и указывает на органич. порок теории. В наст. время путем ряда математич. операций удалось изолировать бесконечные выражения, но это лишь формальное решение трудностей, к-рые продолжают существовать в скрытом виде. Анализ трудностей с бесконечностями показывает, что они являются следствием предположения о существовании сколь угодно малых длин волн и сколь угодно малых расстояний. Вследствие этого наметилась тенденция к преодолению трудностей путем ввода в теорию нек-рой минимальной длины и нек-рого минимального промежутка времени, что должно отразить прерывный характер пространственно-временных свойств материи в микромире. Сам термин "квантование" пространства и времени не точен. Он вызывает представление о неких элементарных, весьма малых частях, "кирпичиках", из к-рых складываются пространство и время. На самом же деле реальный смысл гипотезы прерывности пространства и времени заключается в том, что в микромире существует определ. граница, за к-рой пространственно-временные свойства материальных объектов меняются коренным образом. Указанное изменение, по-видимому, состоит в том, что в микрообластях, лежащих ниже определ. предела, появляются новые мировые константы: минимальная протяженность материальных объектов и минимальная длительность процессов изменения этих объектов. Т.о., данные физики, как и данные космологии, подтверждают и обосновывают правильность диалектико-материалистич. понимания Б. материального мира в пространстве и времени, к-рое опирается на признание не только непрерывности, но и прерывности, структурности, качеств. многообразия пространственно-временных свойств движущейся материи. Выше вопрос о Б. рассматривался с онтологич. т. зр. Но можно подойти к этому вопросу с гносеологич. т. зр. и рассмотреть проблему познаваемости Б. Очевидно, что Б. не является объектом чувств. познания, она не дана непосредственно в опыте. Практически чувств. деятельность людей всецело протекает в мире конечных вещей и процессов. Человек непосредственно воспринимает и изучает лишь конечное. Знание бесконечного приходит как результат познания, поднявшегося на ступень абстракции. Возможность познания Б. обусловливается тем, что Б. находится не рядом с конечным, а в единстве с ним. Единство конечного и бесконечного есть основа для познания Б. Поэтому диалектич. материализм отрицает непознаваемость Б.: "Всякое истинное познание природы есть познание вечного, бесконечного, и поэтому оно по существу абсолютно" (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1955, с. 186). В поступат. движении мыслящего человечества разрешается противоречие между абс. характером человеч. мышления и осуществлением его в отдельных ограниченно мыслящих людях, между всегда огранич. объектом человеч. знания и Б. познаваемой природы. "Поэтому познание бесконечного окружено двоякого рода трудностями и может, по самой своей природе, совершаться только в виде некоторого бесконечного асимптотического прогресса. И этого для нас вполне достаточно, чтобы мы имели право сказать: бесконечное столь же познаваемо, сколь и непознаваемо, а это все, что нам нужно" (там же). Энгельс утверждал, что каждый шаг познания углубляет наше знание материальной действительности, но что никакое количество этих шагов не исчерпывает Б. Вопрос о познании Б. имеет еще и формально-логич. сторону. Сущность логики состоит в том, что она позволяет (во всяком случае формально) распространить действие закономерностей, найденных в конечном числе наблюдений над конечным числом объектов, на бесконечное число случаев данного типа, на бесконечные области. Распространение полученных результатов на Б. придает установленным закономерностям форму всеобщности и, тем самым, необходимости. Но здесь встает вопрос о допустимости экстраполяции на Б., о неформальном обосновании всеобщности и необходимости суждений, выведенных из опыта. Вопрос этот тем более важен, что именно такие суждения составляют осн. содержание науки. Впервые эта проблема была поставлена Кантом. Но решить ее Кант не смог. Его строго формалистич. установки в конце концов привели к отрицанию всеобщности и необходимости суждений, полученных из опыта; экстраполяция на Б. была объявлена незаконной. Совр. бурж. философия позитивистского направления отказывается вообще от признания всеобщности и необходимости каких бы то ни было суждений, полагая, что распространение их действия на бесконечное число случаев не может быть логически оправдано и является произвольным актом. И действительно, вопрос не может быть разрешен в рамках любой формально-логич. структуры. Диалектич. материализм утверждает, что проблема обоснования всеобщности и необходимости суждений не является формально-логич. проблемой. Всеобщность и необходимость этих суждений обосновывается практикой человечества. Философы, логики, математики, физики, астрономы на протяжении тысячелетий постоянно обращались к исследованию Б. Материализм и идеализм, диалектика и метафизика, уверенность в познаваемости бесконечного мира и агностицизм постоянно сталкивались и вели борьбу по поводу различного понимания Б. В античной философии в соответствии с общим, слабо дифференцированным характером науки представления о Б. сплетались в один сложный узел, из к-рого трудно выделить собственно филос. нить рассуждений. В апейроне Анаксимандра Б. – осн. характеристика первоматерии – выступает как нечто в высшей степени неопределенное, бескачественное и поэтому безграничное и беспредельное. Эта нечеткость, расплывчатость в понимании Б. постепенно преодолевалась наукой; уже Платон и Аристотель осуществили логич. исследование Б. Истоки платоновской концепции бесконечного ведут к пифагорейцам. По Платону, "сросшиеся воедино" предел и беспредельность являются началами, заключенными в "вечно сущем" ("Филеб"). Бесконечное есть то, что может неограниченно увеличиваться или уменьшаться. Природа бесконечного заключается в том, что оно есть "непрестанное движение вперед". В этом качестве беспредельное не может быть познано, ибо бесконечное множество вещей и их признаков делает неопределенным наше мышление о них. Задача познания заключается не в том, чтобы фиксировать мысль на пределе или беспредельном, а в том, чтобы найти "промежуточные члены", "количественную определенность" свойств и отношений. В рассуждениях Платона Б. выступает как возможность неогранич. увеличения или уменьшения. Однако признание непостижимости такого бесконечного ведет к поискам определ. соотношений, к-рые могли бы связать предел и беспредельное. Если у Платона анализ Б. был вспомогат. средством в его этич. исследованиях и опирался на идеалистич. характер всей системы, то у Аристотеля проблема Б. находилась в тесной связи с рассмотрением причинности, пространства, времени, движения ("Метафизика", XI 10; "Физика", III 4–8). Не бесконечное как символ вечного царства идей интересовало Аристотеля, а бесконечное в реальном мире. В таком подходе к проблеме сказывались материалистич. тенденции в философии Аристотеля. Аристотель так формулировал предмет исследования: "Существует ли бесконечное и что оно такое?". И отвечал: "В известном отношении бесконечное существует, а в другом отношении – нет. Бесконечное не существует актуально, как бесконечное тело или величина, воспринимаемые чувствами; бесконечное не является самостоят. началом бытия, как утверждали пифагорейцы и Платон; бесконечное не может существовать отдельно от чувств. предметов. Бесконечное существует потенциально; бесконечное есть движение – оно "становится всегда иным и иным". Аристотель отвергал существование бесконечного ряда причин, целей, источников движения. Аристотель сделал попытку классификации видов бесконечного, к-рая состояла в указании на семь различных случаев употребления слова "Б." в греч. языке. Аристотель и Платон видели характерную и осн. черту Б. в возможности неогранич. количеств. изменений (потенциальная бесконечность) и отрицали наличность бесконечного (актуальная Б.). В средневековой философии можно выделить две линии. С одной стороны, чисто теологич. работы, ограничивающиеся рассмотрением Б. как атрибута бога; с другой – схоластич. споры вокруг вопроса о бесконечной делимости. И в том и в другом случае искусное жонглирование понятиями и утонченный логич. формализм по существу поглощали самое содержание вопроса. Но уже в 15 в. начался процесс ломки схоластики. На первых порах этот процесс выражался в переходе на позиции пантеизма. Слияние бесконечного божеств. существа с бесконечной природой – гл. черта в философии Николая Кузанского, к-рый считал своей осн. задачей выяснение природы "максимальности" ("Об ученом незнании", 1410, изд. , см. рус. пер. 1937). Максимум есть нечто такое, больше чего ничего не может быть; максимум тождествен единству и бытию. Максимум есть бесконечная истина, к-рая нами "постигается непостигаемо". Бесконечное не может быть познано, ибо всякое познание заключается в установлении отношений, пропорций, а бесконечное ускользает от всяких пропорций: finito od infinitum nulla est proportia. Хотя все изложение у Николая Кузанского в основе своей теологично, но бог играет роль фона, а не осн. стержня умозаключений. Обращает на себя внимание диалектика бесконечного, развиваемая Николаем Кузанским. В Б. совпадают максимум и минимум, сливаются противоположности; бесконечная прямая линия совпадает с бесконечной окружностью, бесконечным треугольником и т.д. Эти диалектич. идеи были восприняты и развиты Джордано Бруно уже на более далекой от теологии основе. Характерно, что Бруно, как это вообще было свойственно материалистам, исследовал не просто понятие Б., а бесконечную Вселенную ("О причине, начале и едином", 1584, см. рус. пер. 1934). Это придало его работе антицерк. направленность. Приняв Б. Вселенной за исходный пункт, Бруно анализировал свойства такой Вселенной и считал ее единой (т.к. бесконечное не имеет частей), неподвижной (т.к. бесконечному некуда двигаться), вечной (т.к. бесконечное не рождается и не умирает). Бытие бесконечной Вселенной заключает в себе все противоречия "в единстве и согласии". В Б. нет различия части и целого, поэтому в вечности час равен дню, день – году и, следовательно, бесконечных часов не больше, чем бесконечных веков. Наконец, в Б. возможность не отличается от действительности. Диалектика бесконечного у Бруно (как и у Николая Кузанского) зачастую носит печать схоластики. Бруно особенно подчеркивал единство, простоту, неподвижность Вселенной, не отмечая того, что в такой же степени бесконечной Вселенной присущи многообразие, сложность, движение. В истории философии нового времени анализ понятия Б. начинается отказом Декарта вступать в споры по поводу бесконечного. Мотивируется это тем ("Начала философии", 1644, см. рус. пер. 1950), что конечный разум человека не в состоянии постичь бесконечное могущество бога. Поэтому там, где мы не видим границ, следует говорить о неопределенном (indefini), а не о бесконечном (infini), к-рое присуще только богу. Формально сохранив лояльность по отношению к теологии, Декарт, тем не менее, определенно высказал мысль о Б. протяженной материальной субстанции, т. е. о Б. материального мира. Это мнение было поддержано и аргументировано Спинозой. Б. субстанции Спиноза основывал на абс. характере ее существования. Бесконечное есть атрибут абсолютного. Ни время, ни число, ни мера не могут быть бесконечными, т.к. они лишь вспомогат. средства воображения; бесконечны протяженность и длительность. В своей классификации бесконечного (Письмо к Мейеру 20 апреля 1663) Спиноза дал определение понятия Б., близкое к развиваемому впоследствии Гегелем. Однако Спиноза не выделял это понимание Б. как истинное. Для него не менее истинной являлась и Б. незавершенного ряда. Осн. мысль Спинозы заключалась в том, что проблема Б. может быть решена лишь тогда, когда станут проводить четкую грань между различными видами бесконечного, ибо свойства этих видов различны. Большое внимание проблеме Б. было уделено в англ. материалистич. философии 17–18 вв. Гоббс отрицал существование бесконечных чисел. Опираясь на свое понимание пространства как "мнимого пространства", он отверг картезианское представление о бесконечной протяженности материальной субстанции ("Основы философии", ч. 1–3, 1642–58, см. рус. пер. 1926). Такую же позицию занял и Локк. Материальность не тождественна протяжению. Вселенная как совокупность материальных тел конечна и погружена в бесконечное пустое пространство (vacuum). Понятия конечного и бесконечного рассматривались Локком как модусы количества ("Опыт о человеческом разуме", 1690, см. рус. пер. 1898). Б. может быть приписана лишь пространству, длительности и числу. Человек воспринимает только конечные вещи, а идея Б. создается в душе из способности неограниченного повторения к.-н. количества. Бесконечное означает движение за любые границы. Крайние границы пространства, длительности и числа находятся за "пределами понимания души". С резкой критикой Локка выступил Толанд. Основываясь на признании самодвижения, внутр. активности материи, он отрицал существование пустого пространства и сводил вопрос о Б. пространства к вопросу о Б. материи. Материя же бесконечна, т.к. "невозможно вообразить" ее границы ("Письма к Серене", 1704, см. рус. пер. 1927). Рассматривая свойства бесконечной материи, Толанд во многом повторял идеи Бруно, но делал упор не на неподвижность бесконечного, а на бесконечное многообразие и вечность развития и движения материи. Как и все его предшественники, Толанд отрицал существование актуальных бесконечно больших чисел. Он указывал на необходимость различать реально бесконечное от того, что может быть лишь продолжаемо без конца. С идеалистич. позиций локковская концепция Б. была подвергнута критике Лейбницем, к-рый утверждал ("Новые опыты о человеческом разуме", 1700–05, изд. 1756, см. рус. пер. 1936), что источник идеи Б. лежит внутри человека и имеет божеств. природу. Истинная Б. заключается в абсолютном и выражается в необходимости бытия божия. Франц. материалисты 18 в. считали бесспорным положение о Б. природы в пространстве и времени, но понимали ее метафизически – как бесконечное повторение одних и тех же объектов в "пустом", повсюду одинаковом пространстве и времени. Не вышел за пределы метафизики и Кант. Для него всякая Б. трансцендентальна, т.е. она никогда не может рассматриваться как данная; она означает только то, что последоват. синтез единиц при измерении величины никогда не может быть завершен ("Критика чистого разума", 1781, см. рус. пер. 1915). То, что безусловное, бесконечное берется как данное, как предмет и ставится в ряд обусловленных и конечных явлений, и является, по Канту, причиной антиномий. То обстоятельство, что линия может быть продолжена до Б. или что ряд изменений может продолжаться вечно, предполагает, что время и пространство зависят только от созерцания, поскольку оно само по себе ничем не ограничено. Так, Б. ряда основывается на априорности пространственно-временных форм. Гегель справедливо упрекал Канта в субъективизме за такое понимание бесконечного прогресса. Но Кант только логически завершил взгляды своих предшественников, к-рые видели основание Б. в способности рассудка к неогранич. повторению любых величин. Кант сделал следующий шаг, "спрятав в человеческую голову" не только Б., но и самые пространство и время. Гегелевское понимание Б. (с его положит. и отрицат. сторонами) представляет закономерное следствие предшествующих филос. идей. Осн. содержание этих идей сводилось к следующему: Б. есть отрицание конечного, абс. противоположность конечному; бесконечное не дано актуально, оно есть процесс, движение, непрерывное возрастание или убывание к.-л. величины; бесконечное есть простое повторение одних и тех же вещей и процессов, оно непознаваемо и не может быть схвачено конечным рассудком. Заслугой Гегеля является то, что он, убежденный в могуществе человеч. разума, обрушился на эти метафизич. и агностич. взгляды. Гегель показал, что Б. может быть понята только в единстве с конечным, что любое конечное содержит в себе бесконечное, что бесконечное осуществляется в конечном. Диалектич. единство конечного и Б. служит тем мостом, по к-рому человечество идет от познания конечного к познанию Б. Гегель высмеивал романтич. преклонение и метафизич. ужас перед Б. С точки зрения Гегеля, конечное не является истинно сущим. Хотя со стороны своего бытия конечное реально, но истина конечного – идеальность (в этом Гегель видел осн. положение своей философии). Поэтому конечное есть лишь отблеск бесконечной идеи, преходящий момент в абсолюте. Бесконечное, абсолютное (бог) превалирует над конечным. Не может быть признана правильной и гегелевская конструкция "истинной" Б. Цель построения "истинной" Б. – получить наличную, данную, посюстороннюю Б. и тем самым опровергнуть мнение о непостижимости Б. Но эта цель была реализована ценой отказа от бесконечного количественного (или качественного) прогресса, рассматриваемого Гегелем как "дурная" Б. Гегель не жалел красок, чтобы обрисовать все убожество такого понимания Б.: "скучная, поверхностная смена", "бессмысленное повторение", "скучное чередование", "повторяющаяся одинаковость" и т.п. Такая Б. не может быть объектом филос. анализа, она непостижима, ее нет в наличии, она не выходит за пределы долженствования и остается в сфере конечного. Иной характер у Гегеля носит "истинная" Б. – категория, лежащая в "основании философии". Прежде всего "истинная" Б. есть отрицание бесконечного прогресса. Она конкретна и всецело налична. Эта конкретность и наличность дается уже в определении, т.к. "истинно" бесконечное состоит в том, что"... оно в своем другом пребывает у самого себя или, выражая то же самое как процесс, состоит в том, что оно в своем другом приходит к самому себе" (Гегель, Соч., т. 1, М.–Л., 1929, с. 161). Замкнутость в самом себе, целостность, завершенность, самодовлеющий характер – таковы осн. черты "истинной" Б. Образом "дурной" Б. является прямая линия, неограниченно продолжающаяся в обе стороны, "...истинная же бесконечность, обратно в себя загибающаяся, имеет своим образом к р у г, достигшую себя линию, которая замкнута и всецело налична..." (Гегель, Соч., т. 5, М., 1937, с. 151–52). Отбрасывая как метафизич. понятие "бесконечный прогресс", "Б. ряда", Гегель не видел, что именно к этим формам сводится в конце концов (но не исчерпывается ими) реальная Б. Энгельс подчеркивал, что бесконечный прогресс не есть просто повторение, а есть развитие, движение вперед или назад, т. е. "необходимая форма движения" ("Диалектика природы", 1955, с. 189). Во всех примерах, к-рыми Гегель и его последователи иллюстрировали понятие "истинной" Б., содержится неявно "дурная" Б. И это понятно, т.к. в противном случае "истинная" Б. потеряла бы свой бесконечный характер. Любой закон природы рассматривался Гегелем как форма выражения "истинной" (качественной) Б., ибо закон есть форма всеобщности, внутр. завершенности, т. е. форма Б. (см. и у Энгельса в "Диалектике природы", 1955, с. 185–86). Однако существо вопроса заключается в том, что закон выступает как форма всеобщности и, следовательно, Б. именно потому, что за ним стоит бесконечный, незавершенный ряд явлений и процессов, протекающих по этому закону. Рациональное содержание учения Гегеля об "истинной" Б. состоит в подчеркивании того, что бесконечный прогресс, бесконечный ряд может быть (правда, не всегда) описан, резюмирован или задан вполне конечным выражением. За пределами этого содержания "истинная" Б. вовсе не является бесконечной. Введением "истинной" Б. Гегель пытался преодолеть противоречивый характер бесконечного и избавиться от затруднений, связанных с анализом Б. Такая попытка не могла увенчаться успехом. Реальная Б. материального мира не может быть правильно понята и отражена в понятиях, если отказаться от бесконечного процесса непрекращающихся изменений и стать на т. зр. "истинной" Б. в ее гегелевской интерпретации. Понятие Б. в диалектич. материализме отличается от "дурной" Б. тем, что оно подразумевает не простое (не имеющее границ) повторение одного и того же, а, напротив, неограниченное многообразие объектов, форм, связей, характеризуемых как бесконечные. От гегелевской "истинной" Б. оно отличается тем, что не отрицает реальности бесконечных процессов, не пытается избавиться от своей внутр. противоречивости. Несмотря на свои отрицат. стороны, гегелевский анализ Б. – лучшее, что дала домарксистская и немарксистская философия по этому вопросу. В буржуазной философии 19 и 20 вв. понятие Б. все более утрачивает свое объективное содержание. Проблема Б. переносится в психологическую плоскость, в сферу сознания, понимаемого в субъективно-идеалистическом смысле. Диалектич. материализм исходит прежде всего из объективного реального характера Б., поскольку в ней объединяются нек-рые общие свойства материального мира, причем различные логически выделяемые виды Б. отражают отд. стороны Б. материального мира. Б. материи во времени может быть охарактеризована как потенциальная Б., т.к. это незавершенный, протекающий ряд изменений. Напротив, Б. мира в пространстве может рассматриваться как актуальная Б., т.к. она наличествует как данная. С другой стороны, количеств. Б., Б. числа материальных объектов, тесно связана с их качеств. Б., с неограниченностью различных форм и свойств материи. Важнейшей чертой Б. является ее противоречивость. Энгельс указывал: "Бесконечность е с т ь противоречие, и она полна противоречий. Противоречием является уже то, что бесконечность слагается из одних только конечных величин, а между тем это именно так... Именно п о т о м у, что бесконечность есть противоречие, она представляет собой бесконечный, без конца развертывающийся во времени и пространстве процесс. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности" ("Анти-Дюринг", 1957, с. 49). Противоречивый характер Б., отражающий единство и борьбу противоположных начал – конечного и бесконечного, – лежит в основе диалектико-материалистич. понимания Б. Бесконечное отрицает конечное, но и сохраняет его как свой базис, как основу своего развертывания. Бесконечное абсолютно, т.к. оно по природе своей всеобще и неисчерпаемо; но оно и относительно, т.к. обусловлено конечным. Конечное относительно, ибо оно неустойчиво, преходяще, временно; но оно и абсолютно, ибо все состоит из конечных явлений и процессов. Б. не есть только сумма своих конечных частей. Б. – это совершенно новое качество, не сводимое к конечным характеристикам. Любая вещь, любой процесс конечны, поскольку они качественно отделены от др. вещей и процессов и поскольку они локализованы во времени и пространстве, но они и бесконечны, поскольку бесконечны их свойства и поскольку бесконечны их связи с окружающим миром. Понятие Б. тесно связано и с др. категориями материалистич. диалектики, что является следствием единства материального мира. Лит.: Энгельс Ф., Диалектика природы, М., 1955; его же, Анти-Дюринг, М., 1957; Мелюхин С. Т., Проблема конечного и бесконечного, М., 1958; Кармин А. С., О диалектико-материалистичесиом понимании бесконечности, "Вестн. Ленингр. ун-та". Сер. экон., филос. и права, вып. 1, 1959, No 5; Свидерский В. И., О диалектико-материалистическом понимании противоречивости бесконечности, там же, 1956, No 5, вып. 1; его же, Пространство и время, М., 1958; Hаан Г. И., О современном состоянии космологической науки, в сб.: Вопросы космогонии, т. 6, М., 1958; Lemaitre G., L´hypoth?se de l´atome primitif, Neuch?tel, 1946; Whittaker E. T., The beginning and the end of the world, L., ; Schatzman E., Sur la dialectique du fini et de l´infini et la cosmologie, "Pens?e", 1954, No 57. А. Бовин. Москва.

«То, что мы знаем, – ограниченно, а то, чего мы не знаем, – бесконечно»

Пьер-Симон Лаплас (1749-1827), французский ученый

Безграничная любовь, безмерное счастье, необъятный космос, вечная мерзлота, безбрежный океан и даже нескончаемый урок. В повседневной жизни мы часто называем вещи и явления бесконечными, но часто даже не задумываемся об истинном значении этого понятия. Между тем, с самых древних времён теологи, философы и другие величайшие умы человечества пытались понять её смысл. И только математики дальше всего продвинулись в знаниях о том, что называют бесконечностью.

Что такое бесконечность?

Многое из того, что мы видим вокруг себя, воспринимается нами как бесконечность, но на поверку оказываются вполне конечными вещами. Вот как иногда объясняют детям, насколько велика бесконечность: «Если на огромном пляже собирать по одной песчинке каждые сто лет, то чтобы собрать весь песок на пляже, понадобится вечность». Но на самом деле, количество песчинок не бесконечно. Физически их пересчитать невозможно, зато с уверенностью можно сказать, что их количество не превышает величины, равной отношению массы Земли к массе одной песчинки.

Или другой пример. Многие думают, если встать между двух зеркал, то отражение будет повторяться в обоих зеркалах, уходя вдаль, становясь все меньше и меньше, так что определить, где оно заканчивается, невозможно. Увы, это не бесконечность. Что происходит на самом деле? Ни одно зеркало не отражает 100% падающего на него света. Очень качественное зеркало способно отразить 99% света, но после 70 отражений из них останется только 50%, после 140 отражений – только 25% света и т. д., пока света не станет слишком мало. Вдобавок, большинство зеркал имеет искривления, поэтому многочисленные отражения, которые вы видите, в конце концов «скрываются за поворотом».

Давайте посмотрим, как математика трактует бесконечность. Это очень не похоже на те представления о бесконечности, с которыми вы сталкивались раньше и требует немного воображения.

Бесконечность в математике

В математике различают потенциальную и актуальную бесконечность.

Когда говорят о том, что некоторая величина бесконечнапотенциально, то имеют в виду, что она может быть неограниченно увеличена, то есть всегда имеется потенциальная возможность её наращивания.

Понятие актуальнойбесконечности означает бесконечную величину, которая уже реально существует «здесь и сейчас». Поясним это на примере обычной ПРЯМОЙ.

Пример 1.

Потенциальная бесконечность означает, что есть прямая и её можно непрерывно продолжать (например, прикладывая к ней отрезки). Обратите внимание, здесь делается акцент не на то, что прямая бесконечна, а на то, что её можно бесконечно продолжать.

Актуальная бесконечность означает, что в настоящем времени уже существует вся бесконечная прямая. Но беда в том, что ни один живой человек не видел бесконечной прямой и физически не в состоянии это сделать! Одно дело – иметь возможность бесконечно продлевать прямую, и совсем другое – в реальности создать бесконечную прямую. Это очень тонкое различие и отличает потенциальную бесконечность от актуальной. Уф! Чтобы разобраться с этими бесконечностями, требуется большое воображение! Давайте рассмотрим ещё один пример.

Пример 2.

Предположим, вы решили построить ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

В какой-то момент вы дошли до очень большого числа n и считаете, что это самое большое число. В этот момент ваш друг говорит, что ему ничего не стоит к вашему числу n добавить 1 (единицу) и получить еще бóльшее число k = n + 1. Тогда вы, слегка уязвлённый, понимаете, что и вам ничего не может помешать добавить к числу k единицу и получить число k+1. Ограничено ли заранее число таких шагов? Нет. Конечно, у вас с другом может не хватить сил, времени на каком-то шаге m для того, чтобы сделать следующий шаг m + 1, но потенциально вы или кто-то другой может дальше строить этот ряд. В этом случае мы получаем понятие потенциальной бесконечности.

Если же вам с другом удастся построить бесконечный ряд натуральных чисел, элементы которого присутствуют все сразу, одновременно, это будет актуальной бесконечностью. Но дело в том, что никто не может записать все числа, – это неоспоримый факт!

Согласитесь, что потенциальная бесконечность для нас более понятна, потому что её легче вообразить. Поэтому античные философы и математики признавали только потенциальную бесконечность, решительно отвергая возможность оперировать с актуальной бесконечностью.

Парадокс Галилея

В 1638 году великий Галилей задался вопросом: «Бесконечно много – это всегда одинаково бесконечно много? Или могут быть бóльшие и мéньшие бесконечности?»

Он сформулировал постулат, который впоследствии получил название «Парадокс Галилея»: Натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…

Суть парадокса заключается в следующем.

Некоторые числа являются точными квадратами(то есть квадратами других чисел), например: 1, 4, 9… Другие же числа не являются точными квадратами, например 2, 3, 5... Значит, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов. Верно? Верно.

Но с другой стороны: для каждого числа найдётся его точный квадрат, и наоборот – для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество. Верно? Верно.

Рассуждения Галилея вступили в противоречие с неоспоримой аксиомой, утверждающей, что целое больше любой из своих собственных частей. Он не смог ответить, какая бесконечность больше – первая или вторая. Галилей полагал, что, либо он в чём-то ошибался, либо такие сравнения не применимы для бесконечностей. В последнем он был прав, поскольку три столетия спустя, Георг Кантор доказал, что «арифметика бесконечного отлична от арифметики конечного».

Счётные бесконечности: часть равна целому

Георг Кантор (1845-1918), основоположник теории множеств, стал использовать в математике актуальную бесконечность. Он допускал, что бесконечность существует сразу вся. А раз бесконечные множества есть, и сразу целиком, то с ними можно производить математические манипуляции и даже сравнивать. Поскольку слова «число» и «количество» в случае с бесконечностями неуместны, он ввел термин «мощность». За эталон Кантор взял бесконечные натуральные числа, которых хватит для пересчёта чего угодно, назвал это множество счётным, а его мощность – мощностью счётного множества и стал сравнивать её с мощностями других множеств.

Он доказал, что множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество чётных чисел! Действительно, запишем друг под другом:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

На первый взгляд кажется очевидным, что в первом множестве чисел в два раза больше, чем во втором. Но, с другой стороны, ясно, что вторая последовательность тоже счётна, так как любому её числу ВСЕГДА соответствует строго одно число первой последовательности. И наоборот! Так что вторая последовательность не может исчерпаться раньше первой. Следовательно, эти множества равномощны! Аналогично доказывается, что множество квадратов натуральных чисел (из парадокса Галилея) – счётно и равномощно множеству натуральных чисел. Отсюда следует, что все счётные бесконечности равномощны.

Получается очень интересно: Множество чётных чисел и множество квадратов натуральных чисел (из парадокса Галилея) – являются частью множества натуральных чисел. Но при этом они равномощны. Следовательно, ЧАСТЬ РАВНА ЦЕЛОМУ!

Несчётные бесконечности

Но не всякую бесконечность можно пересчитать так, как это сделали мы с чётными числами и квадратами натуральных чисел. Оказывается, нельзя пересчитать точки на отрезке, действительные числа (выражающиеся всеми конечными и бесконечными десятичными дробями), даже все действительные числа от 0 до 1. В математике говорят, что их количество несчётно.

Рассмотрим это на примере последовательности дробных чисел. Дробные числа обладают свойством, которое отсутствует у целых чисел. Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел. Например, между 8 и 9 «не поместится» никакое другое целое число. Но если мы добавим к множеству целых чисел дробные числа, это правило перестанет выполняться. Так, число

будет находиться между 8 и 9. Аналогичным образом можно найти число, расположенное между любыми двумя числами А и В:

Поскольку это действие можно повторять бесконечно, можно утверждать, что между двумя любыми действительными числами всегда будет располагаться бесконечно много других действительных чисел.

Таким образом, бесконечность действительных чисел является несчётной, а бесконечность натуральных чисел – счётной. Эти бесконечности неэквивалентны, но из несчётного множества действительных чисел всегда можно выделить счётную часть, например, натуральные или чётные числа. Поэтому несчётная бесконечность мощнее счётной бесконечности.

Бесконечност ь недостижима, следовательно, ее невозможно измерить. У нее отсутствует то, что древние греки именовали метрон , поэтому она принадлежит к категории хаоса. По этой причине Платон и Пифагор называли бесконечность апейрон . Позднее Анаксимандр придал этому слову смысл, схожий с тем, что подразумеваем под этим понятием мы, - «беспредельный».

Однако наиболее смело и систематично с проблемой работал Аристотель, определив в своем труде « Физика» два разных типа бесконечности: потенциальную бесконечность - неостановимый процесс роста, и актуальную бесконечность - реально существующую величину, не имеющую конечной меры. Математики долго спорили об этих определениях, пока Кантор не доказал математически существование бесконечного числа актуальных бесконечностей с помощью инструмента, который создал сам - теории множеств.

Слова, обозначающие два различных типа бесконечности, не совсем удачны или по меньшей мере неинтуитивны.
Возможно, более уместно (но тоже не совсем удобно) было бы называть актуальную бесконечность теоретической , а потенциальную бесконечность - истинной бесконечностью .

Рассмотрим разницу между этими понятиями на примере. Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4,… бесконечна. Изначально никто не подвергает это сомнению, поскольку для любого сколь угодно большого числа n мы всегда можем получить следующее число, n+1. Но одно дело - иметь возможность выполнить подобное действие, и совсем другое - сделать это в реальности и получить результат. Это очень тонкое различие. «Иметь возможность выполнить действие» определяет потенциальную бесконечность, полученный результат такого действия - актуальную бесконечность.

Покинем на время мир математики, чтобы в более свободной форме объяснить разницу между этими понятиями. Предположим, что я нарисовал перед собой на полу прямую. Если я сделаю шаг вперед, то перешагну ее. Это потенциально возможное действие . Когда я выполнил это действие и оказался по другую сторону прямой, я актуализировал этот потенциал. Существует четкая разница между потенциально возможным действием и совершенным в действительности. Например, может случиться так, что я соберусь начать действие, но произойдет землетрясение и в полу образуется огромный разлом, который не даст мне перешагнуть прямую.

То, что никто не может записать все целые числа, - неоспоримый факт. Также верно, что никто никогда не видел двух параллельных прямых, поскольку прямые бесконечны и мы можем видеть лишь отрезки этих прямых. Значит ли это, что параллельные прямые не существуют? Они существуют настолько же, насколько существуют прямые вообще, но есть ли на самом деле бесконечная прямая? Евклид в своей знаменитой книге «Начала» пытался рассматривать эту тему: упоминая прямые, он говорил об «отрезках, длина которых может быть произвольно большой». Это весьма явная параллель с потенциальной бесконечностью.

Что такое бесконечность? Казалось бы, такое простое слово, но сколько оно имеет значений и какой смысл несет в себе? А как насчет знака бесконечности?

Все мы неоднократно сталкивались с этим понятием. Но правильно ли мы понимаем, что значит бесконечность? Как употребить это слово в речи, где оно используется еще, чем его можно заменить? В этой статье выясним, что такое бесконечность. В этом на первый взгляд сложном вопросе разобраться достаточно просто.

Значение слова "бесконечность" и его применение в речи

Это слово может иметь несколько значений, в зависимости от вида словаря. Термин "бесконечность" присутствует в математике и физике, философских рассуждениях и астрономических понятиях. Также данное слово имеет и свое особое лексическое значение. В устной и письменной речи оно употребляется не слишком активно, поскольку имеет весьма обширное понимание.

Наиболее часто данное слово, точнее его определение, можно встретить в такой обширной и свободной науке, как философия. Основным значением слова "бесконечность" является отсутствие начала и конца чего-либо.

В устной речи это понятие можно применить в таких предложениях:

• Кругом была бесконечная мгла.
• Он устал от бесконечной городской суеты.
• Пустыня казалась бесконечной.
• Время тянулось для неё бесконечно.

То есть оно употребляется в тех предложениях, где не могут быть определены точные рамки, границы и пределы чего-либо.

Основной смысл понятия

Если заглянуть в любой из толковых словарей, не суть важно, будет ли это словарь Даля или Ушакова, то можно легко определить лексическое значение слова "бесконечность". В большинстве случаев оно будет иметь одно и то же толкование.

Под этим словом понимается отсутствие пределов измерения каких-либо границ или пространства. К примеру, бесконечность времени. Для определения этого термина в пространстве данное слово можно употребить следующим образом: «Вокруг была снежная бесконечность». В устной речи значение бесконечности употребляется для определения количества (чрезвычайно много) или же времени (очень-очень долго). К примеру, бесконечно стоять в очереди, спорить до бесконечности.

Бесконечность в математике

С этим понятием сталкивались все. Даже если не в устной речи или философских размышлениях, то на уроках математики точно. Любой старшеклассник знает, как выглядит математический знак бесконечности. Но не каждый может его объяснить.

Значение знака бесконечности в математике используется для определения условной величины, которая во множество раз больше любого из взятых наперед чисел. Как в положительном, так и отрицательных значениях. Так, числовой ряд может начинаться от нуля и идти до бесконечности или до минус бесконечности.

Одним словом, в математике можно создать любое число в любом пространстве и значении. Это и будет математическая бесконечность. Обозначается она в данной науке знаком, похожим на лежащую восьмерку.

Существуют также бесконечные десятичные дроби (число Пи является одним из самых известных) и множества.

Бесконечность как философское понятие

Что такое бесконечность в философии? В этой науке данное понятие, как и все прочие философские рассуждения, имеет наиболее глубокий смысл.

Бесконечностью в философии является категория человеческого мышления, которая не может иметь определенных границ, не может контролироваться пространством и временем. Используется данное понятие и для того, чтобы дать характеристику беспредельным, безграничным предметам и явлениям, чему-то неисчерпаемому и неиссякаемому. Значение бесконечности в целом просто и понятно - отсутствие пределов и границ.

Проблемы о вопросах конечности и бесконечности пространства и времени с исторических времен волновали и будоражили философов, заставляя их много рассуждать на данную тему. А в что же в настоящее время? Постановка статуса теории множественных построений, попытка их обобщить и дать им альтернативное понятие - вот что является основным из направлений в исследовании бесконечности у большинства современных философов.

Понятие бесконечности в астрономии

Для многих понятие отсутствия ограничений в пространстве дает моментальную ассоциацию всей бескрайности и безграничности космоса. И это понятно. Ведь если посмотреть на картинки с космическими сюжетами, то будет невозможно определить, где начинается наша Вселенная, а где её конец, и есть ли он вообще.

Именно по этой причине (отсутствия пространственных границ) в астрономии понятие космоса граничит со значением бесконечности. Наверное, сложно будет подобрать другую ассоциацию к понятию Вселенной. Она настолько неизведанная и неопределенная, что еще никто не смог узнать, где её начало, а где конец. Что, собственно, и является бесконечностью.

Еще немного о данном понятии

Что такое бесконечность было выяснено выше. Но что еще можно сказать об этом слове? Где и как правильно его употребить в устной и письменной речи?

Следует иметь в виду, что термин имеет ряд синонимов. Более часто применяются такие как безграничность, беспредельность и необъятность. Также к синонимам данного понятия относят неиссякаемость, вечность, нескончаемость и так далее.

Бесконечность не является физическим объектом. До неё нельзя дотронуться, её невозможно услышать или понюхать. Бесконечность - это не место и не предмет. Это понятие того, что невозможно определить и измерить.

Главное - знать точное определение и значение конкретных слов, и тогда ваша устная и письменная речь всегда будет красивой и понятной.