Простые и составные числа — Гипермаркет знаний. Разбор примера

>>Математика:Простые и составные числа

4. Простые и составные числа

Число 7 делится только на 1 и само на себя. Другими словами, число 7 имеет только два делителя: 1 и 7. У числа 9 три делителя: 1, 3 и 9. Число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Такие числа, как 9 и 18, называют составными числами, а такие, как 7, - простыми числами.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.

Первыми десятью простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29. На форзаце учебника приведена таблица простых чисел от 2 до 997.

Число 78 составное, потому что, кроме 1 и 78, оно делится, например, еще на 2. Так как 78:2 = 39, то 78=2*39. Говорят, что число 78 разложено на множители 2 и 39. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя.

? Какие натуральные числа называют простыми? Какие натуральные числа называют составными? Почему число 1 не является ни простым, ни составным?

К 88. Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31,26,100?

89. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника , определите, какие из чисел 101, 121, 253, 409, 561, 563, 863, 997 являются простыми, а какие составными.

90. Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 являются составными.

91. Может ли произведение двух простых чисел быть:

а) простым числом;

б) составным числом?

92. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?

93. Известно, что число m делится на 9. Простым или составным является число m?

94. Разложите на два множителя числа: 38; 77; 145; 159.

95. Сколькими способами можно разложить на два множителя числа 18; 42; 55? Способы, при которых произведения отличаются только порядком

множителей, считайте за один способ.

96. Верно ли, что все четные числа являются составными?

97. Может ли выражаться простым числом объем куба, длина ребра которого выражается натуральным числом?

П 98. Вычислите устно:
а) 0,014-1,1+0,09; 8,1 + 2,99 + 1,01; 1,88+3,7+0,12; 2,8 + 1,85 + 2,15; 1,07 + 0,88+1,93;

б) 15 - 2,3; 0,3-0,29; 7-0,2; 6-2,75; 16,4-4;

в) 2,5-2,7-4; 3,9-0,5-2; 1,25-1,9-8; 4-5,6-0,25; 0,5-30-0,1;

г) 1:10; 8,08:8; 9:100; 6,73:10; 0,7:0,01.

99. Найдите пропущенные числа, если а = 33; 42; 75:

100. Выразите в процентах числа: 0,01; 0,29; 0,8; 1.

101. Выразите в виде десятичных дробей: 2%, 5%, 10%, 20%, 50%, 68%, 100%, 130%.

102. Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральным числом сантиметров, а высота равна 15 см. Можно ли утверждать, что объем (в кубических сантиметрах) этого параллелепипеда выражается числом:

а) кратным 2; б) кратным 3; в) кратным 5?

103. Какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа, чтобы получилось четырехзначное число , делящееся: а) на 9; б) на 3; в) на 6?

104. Выпишите из чисел 215 783, 3 289 775, 21 112 221, 44 856, 555 444, 757 575, 835 743 те, которые:
а) кратны 3; в) делятся без остатка на 3 и на 5;
б) кратны 9; г) кратны 9 и 2.

105. Верно ли, что если число оканчивается цифрой 6, то оно делится на 6? Верно ли, что если число делится на 6, то его запись оканчивается цифрой 6?

106. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы число делилось без остатка на 3 и на 5:

а) 241*; б) 1734*; в) 43*5?

107. Стакан вмещает 210 г крупы. Крупой наполнили стакана. Сколько граммов крупы насыпали в стакан?

М 108. Дочь пообещала: «Я схожу в булочную и вымою посуду». Можно ли обещание считать выполненным, если дочь:

а) вымыла посуду, но не сходила в булочную;

б) сходила в булочную и не вымыла посуду;

в) и вымыла посуду, и сходила в булочную;

в) не вымыла посуду и не была в булочной?

Подумайте, в чем сходство этой задачи с задачей нахождения решений неравенства 2<х<6 среди чисел 1; 3; 5; 7.

Д 109. Докажите, что числа 575, 10 053, 3627, 565 656 являются составными.

110. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника, выберете из чисел 122, 132, 153, 157, 187, 499, 550, 621, 881, 865 и 909 простые числа.

111. Запишите все делители числа 90. Выпишите из них те, которые являются простыми числами.

112. Разложите на два множителя всеми возможными способами числа 30, 33, 42, 99. Способы, при которых произведения отличаются только порядком множителей, считайте за один способ.

113. Периметр прямоугольника 66 дм. Длина его одной стороны составляет периметра. Найдите площадь прямоугольника.

114. Найдите значение выражения (15,964:5,2 -1,2) 0,1.

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Рефераты, домашняя работа по математике скачать , учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а . Действительно, а:1 = а, а:а = 1.

Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми.

Натуральное число называют простым , если оно имеет только два натуральных делителя : единицу и само это число.

Для комфорта была сформирована таблица простых чисел . Число два - минимальное простое число. Заметим, что это единственное чётное простое число. Фактически, все другие чётные числа имеют минимально три делителя: число 1, число 2 и само число.

Простых чисел бесчисленное множество . Максимального простого числа не бывает.

У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей.

Например: 10=2 .5;

80 = 2 . 2 . 2 . 2 . 5;

81= 3 . 3 . 3 . 3;

200 = 2 .2 .2 .5 .5.

Заметим, что любые два разложения числа на простые множители состоят из одних и тех же множителей и могут отличаться только их последовательностью. Как правило, произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью .

Например :

18 = 2 . 3 2 ; 80 = 2 4 . 5; 81 = 3 4 ; 200 = 2 3 - 5 2 .

При разложении числа на простые множители целесообразно использовать схему, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2940:

1) 2940 поделится на 2, 2940: 2 = 1470 ;

2) 1470 поделится на 2, 1470: 2 = 735 ;

3) 735 не поделится на 2, но поделится на 3, 735: 3 = 245 ;

4) 245 не поделится на 3, но поделится на 5, 245: 5 = 49 ;

5) 49 не поделится на 5, но поделится на 7, 49: 7 = 7 ;

6) 7 поделится на 7, 7: 7 = 1 .

Таким образом , 2940 = 2 . 1470 = 2 . 2 . 735 = 2 . 2 . 3 . 245 = = 2 . 2 . 3 . 5 . 49 = 2 . 2 . 3 . 5 . 7 . 7 = 2 2 . 3 . 5 . 7 2 .

Если простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…….

Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, ученые Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких разность которых равна двум, например: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19 и т.д. Подобные пары чисел именуют простыми числами близнецами. Уже более 25 веков ученные стараются найти существуют ли максимальное число близнец, но до сих пор ответ на этот вопрос не найден.

«Простые и составные числа» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)

Краткое описание:

В данном разделе Вы узнаете, какие числа называют простыми, а какие составными, научитесь быстро определять какое перед Вами число.
Повторим: все натуральные числа больше 1 можно поделить на две части: простые и составные. Простое число – это натуральное число, у которого есть только два делителя, оно делится на единицу и на самого себя (11, 9, 5). Наименьшее простое число – это ужас отличника — число 2.
Составные числа имеют больше двух делителей (6 делится на 6, на 1, на 2, на 3).
Число 1 делится только на 1, оно никакое — ни простое, ни составное.
Как быстро узнать, что двухзначное или трехзначное число является простым или составным? Нужно найти еще хотя бы один делитель, кроме 1 и его самого. Для этого используем уже выученные признаки деления. Какое число 368? Оно делится на 2, значит, имеет больше двух делителей (делится на 1, на 368 и на 2).
Иногда встречается такое число, по которому тяжело сразу же сказать какое оно. Тогда, на помощь придет таблица простых чисел. Смотрим, есть ли в таблице 121? Нет, значит, это число составное. Но какие у него делители? Число 121 делиться на 121, 1, а еще на число 11. Давайте проверим 11*11=121. Еще такие же числа 169 (13*13=169), 289 (17*17=289), 361 (19*19). Попробуйте для начала запомнить их.

Простые и составные числа. Примеры. Определение. Следствия.

Вве-де-ние

Любое число можно пред-ста-вить в виде про-из-ве-де-ния еди-ни-цы на само это число.

На-при-мер,

В общем виде

Вывод: вся-кое число де-лит-ся на само себя и на еди-ни-цу.

Рас-смот-рим таб-ли-цу

В за-ви-си-мо-сти от ко-ли-че-ства де-ли-те-лей среди на-ту-раль-ных чисел вы-де-ля-ют про-стые и со-став-ные.

Опре-де-ле-ния:

Число, ко-то-рое имеет толь-ко два раз-лич-ных де-ли-те-ля - еди-ни-цу и само это число - на-зы-ва-ют про-стым.

Число, ко-то-рое имеет более двух де-ли-те-лей, на-зы-ва-ют со-став-ным.

Число 1 имеет един-ствен-ный де-ли-тель. По-это-му еди-ни-цу не от-но-сят ни к со-став-ным, ни к про-стым чис-лам.

След-ствие 1

Все на-ту-раль-ные числа можно раз-бить на 3 груп-пы:

Число 1. Оно имеет един-ствен-ный де-ли-тель.
Про-стые числа. Они имеют в точ-но-сти два де-ли-те-ля.
Со-став-ные числа. У этих чисел более двух де-ли-те-лей.

Чтобы узнать, про-стым или со-став-ным яв-ля-ет-ся число, можно вос-поль-зо-вать-ся таб-ли-ца-ми.

Таб-ли-ца про-стых чисел от 2 до 997 при-ве-де-на на фор-за-це учеб-ни-ка. Пер-вые де-сять про-стых чисел - это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. По-лез-но вы-учить их на-и-зусть.

След-ствие 2

Разбор примера. Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 676 являются составными.

До-ка-жи-те, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 яв-ля-ют-ся со-став-ны-ми.

Разбор примера. Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

Может ли про-из-ве-де-ние двух про-стых чисел быть про-стым чис-лом?

	Пусть a и b - это неко-то-рые про-стые числа. Число a де-лит-ся на 1 и на само себя. Число b де-лит-ся на 1 и на само себя.
	Рас-смот-рим про-из-ве-де-ние . Мы знаем, что если одно из двух чисел де-лит-ся на неко-то-рое число, то их про-из-ве-де-ние де-лит-ся на это число.
	Кроме того, про-из-ве-де-ние де-лит-ся на еди-ни-цу и на само себя.
Вывод: Про-из-ве-де-ние имеет, как ми-ни-мум, че-ты-ре де-ли-те-ля. Зна-чит, это со-став-ное число. Оно не может быть про-стым.