Понятие логики

Логика - это нормативная наука о законах, принципах и методах идеализированных рассуждений , выражающих результаты рациональной и познавательной мыслительной деятельности человека (см. ), а также о языке (см. ) как средстве такой деятельности. Основная цель логики - формализация, схематизация и систематизация правильных (корректных) способов рассуждений и высказываний, то есть общезначимых (истинных) рациональных форм языкового выражения результатов мыслительной деятельности, и выявление законов и правил, которым подчиняются такие рассуждения.

Согласно основному принципу логики, правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой (структурой), и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Различие между формой и содержанием может быть сделано явным с помощью особого (формализованного) языка, или знаковой системы, оно относительно и зависит от выбора языка. Отличительная особенность правильного вывода состоит в том, что от истинных посылок он всегда ведёт к истинному заключению. Такой вывод позволяет из имеющихся истин получать новые истины с помощью чистого рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и тому подобному. Неправильные выводы могут от истинных посылок вести как к истинным, так и к ложным заключениям.

Логика занимается не только связями высказываний в правильных выводах, но и многими другими проблемами: смыслом и значением выражений языка, различными отношениями между понятиями, операциями определения и логического деления понятий, вероятностными и статистическими рассуждениями, парадоксами и ошибками и так далее. Но главные темы логических исследований - анализ правильности рассуждения и высказывания, формулировка законов и принципов, соблюдение которых является необходимым условием получения истинных заключений в процессе вывода. Так как мыслительная деятельность всегда осуществляется в языковой форме, языковое «оформление» составляет необходимое условие материализации и последующего существования рассуждений. Это предполагает обязательный логический анализ языка как средства выражения мысли, осуществляемого с целью выявления элементов логической формы мысли. Поэтому исследования в области логики напрямую связаны с исследованием различного рода языковых конструкций с точки зрения выполнения ими тех или иных мыслительных функций. Язык в этом смысле рассматривается как средство познания человеком действительности.

Логика в широком смысле трактуется как разумность (рациональность), внутренняя закономерность, последовательность, эксплицитно (явно) или имплицитно (неявно) присущая материальным и идеальным предметам и явлениям (например, логика вещей, логика событий, логика развития и тому подобные). Необходимые взаимосвязи между эмпирическими объектами находят своё отражение в «логике вещей». В этом смысле речь идёт о метафорическом употреблении термина «логика», так как явления и процессы, детерминированные природой, нельзя рассматривать как логичные или нелогичные, поэтому данная характеристика может быть приписана лишь рассуждениям о них.

В настоящее время логика как область исследований и методов представляет собой разветвлённую и многоплановую научную дисциплину, которая содержит в своём составе следующие основные разделы: теорию рассуждений (в двух вариантах: теорию дедуктивных рассуждений и теорию правдоподобных рассуждений ), металогику и логическую методологию . В составе науки логики выделяются её теоретические и прикладные разделы, а также различные методологические концепции её предмета, предметов и взаимоотношений её разделов. Исследования во всех этих областях на нынешнем этапе развития логики главным образом и по преимуществу осуществляются в рамках логической семиотики (см. ). В ней языковые выражения рассматриваются как объекты, находящиеся в так называемой знаковой ситуации, включающей в себя три типа предметов:

1. собственно языковое выражение - знак (см. );
2. предмет, обозначаемый языковым выражением - значение знака (см. );
3. интерпретатор знаков.

В соответствии с этим логический анализ языка может вестись с трёх относительно самостоятельных точек зрения:

1. исследования логического синтаксиса языка, то есть отношения знака к знаку (см. );
2. исследования логической семантики языка, то есть отношения знака к обозначаемому им объекту (см. );
3. исследования логической прагматики , то есть отношения интерпретатора к знаку(см. ).

В логическом синтаксисе язык и строящиеся на его основе логические теории изучаются с формальной (структурной) их стороны. Здесь определяются алфавиты языков логических теорий, задаются правила построения из знаков алфавита различных сложных языковых конструкций - термов, формул, выводов, теорий и так далее. Осуществляется синтаксическое членение множества языковых выражений на функторы и аргументы, постоянные и переменные, определяется понятие логической формы выражения, определяются понятия логического подлежащего и логического сказуемого, осуществляется построение различных логических теорий и анализ способов оперирования в них.

В логической семантике язык и логические теории изучаются с содержательной их стороны. Так как языковые конструкции не только нечто обозначают, но и нечто описывают (имеют смысл), в логической семантике различают теорию значения и теорию смысла . В первой решается вопрос, какие объекты обозначают знаки и как именно они это делают. Аналогично в теории смысла решается вопрос о том, что является смысловым содержанием языковых выражений и каким образом они описывают это содержание.

В семантике все выражения языка, в зависимости от их значений, распределяют по классам, называемым семантическими категориями . Таковыми являются следующие категории - предложения и термины . Предложения делятся на повествовательные - утверждающие наличие или отсутствие в мире некоторой ситуации (такие предложения называют высказываниями), вопросительные - выражающие вопрос и побудительные - выражающие императивы. Термины в свою очередь делятся на дескриптивные (имена, предикаторы, предметные функторы) и логические. Для логики как науки особое значение имеют как раз логические термины, так как вся процедурная сторона интеллектуальной работы с информацией в конечном счёте определяется смыслом (значением) данных терминов. К числу логических терминов относятся связки и операторы. Среди первых выделяются предицирующие связки «есть» и «не есть» и пропозициональные (логические связки): союзы - «и» («а», «но»), «или» («либо»), «если, то», словосочетания - «неверно, что», «если и только если» («тогда и только тогда», «необходимо и достаточно») и другие. Среди вторых выделяют высказывание образующие - «все» («каждый», «любой»), «некоторый» («существует», «какой-либо»), «необходимо», «возможно», «случайно» и так далее, и имяобразующие операторы - «множество предметов таких, что», «тот предмет, который» и прочие.

Центральным понятием логической семантики является понятие истины . В логике оно подвергается тщательному анализу, так как без него невозможно в чёткой форме проинтерпретировать логическую теорию, а следовательно, и её детально исследовать и понять. Сейчас очевидно, что мощное развитие современной логики во многом было определено детальной разработкой понятия истины.

С понятием истины тесно связано и другое важное семантическое понятие - понятие интерпретации , то есть процедуры приписывания с помощью особой интерпретирующей функции языковым выражениям значений, ассоциированных с некоторым классом предметов, называемым универсумом рассуждения. Возможной реализацией языка называется строго фиксированная пара , где U - универсум рассуждения, а I - интерпретирующая функция, ставящая в соответствие именам элементы универсума, n -местным предикаторам - множества упорядоченных n -ок элементов универсума, n -местным предметным функторам - n -местные функции, отображающие n -ки элементов универсума в элементы универсума. Выражениям, относящимся к формулам, ставятся в соответствие два значения - «истина» или «ложь» - в соответствии с условиями их истинности. С одним и тем же классом предложений могут связываться различные их возможные реализации. Те реализации, на которых каждое предложение, входящее в множество предложений Г , принимает значение «истина», называется моделью для Г . Понятие модели особо исследуется в специальной семантической теории - теории моделей . При этом различают модели разного типа - алгебраические, теоретико-множественные, теоретико-игровые, теоретико-вероятностные и другие. Понятие интерпретации имеет для логики наиболее важное значение, так как посредством него определяются два центральных понятия этой науки - понятия логического закона и логического следования .

Логическая семантика является содержательной частью логики, а её понятийный аппарат широко используется для теоретического оправдания тех или иных синтаксических, чисто формальных построений. Причина этого состоит в том, что совокупное содержание мысли делится на логическое (выражаемое логическими терминами) и конкретное (выражаемое дескриптивными терминами), а потому, выделяя логическую форму выражений, мы отвлекаемся, вообще говоря, не от любого содержания. Такое отвлечение, то есть рассмотрение формальной стороны мыслей, представляет собой лишь способ вычленения в чистом виде логического их содержания, которое и исследуется в логике. Это обстоятельство делает неприемлемым идущее от И. Канта понимание логики как сугубо формальной дисциплины. Напротив, логика является глубоко содержательной наукой, в которой каждая логическая процедура получает своё теоретическое оправдание посредством содержательных соображений. В этой связи термин «формальная логика» в его применении к современной логике является неточным. В подлинном смысле слова можно говорить лишь о формальном аспекте исследования, но не о формальной логике как таковой.

При рассмотрении тех или иных логических проблем во многих случаях необходимо учитывать также и намерения интерпретатора, который использует языковые выражения. Например, рассмотрение такой логической теории, как теория аргументации, спора, дискуссии, невозможно без учёта целей и намерений участников диспута. Во многих ситуациях применяемые здесь приёмы полемики зависят от желания одной из спорящих сторон поставить своего противника в неудобное положение, сбить его с толку, навязать ему определённое видение обсуждаемой проблемы. Рассмотрение всех этих вопросов составляет содержание особого подхода к анализу языка - «логической прагматики».

Наиболее фундаментальным разделом логики является теория дедуктивных рассуждений. В настоящее время этот раздел в своей аппаратной (синтаксической, формальной) части представлен в виде разнообразных дедуктивных теорий - исчислений . Построение такого аппарата имеет двоякое значение: во-первых, теоретическое, так как позволяет выделить некоторый минимум законов логики и форм правильных рассуждений, исходя из которых можно обосновать все другие возможные законы и формы правильных рассуждений в данной логической теории; во-вторых, чисто практическое (прагматическое), так как разработанный аппарат может быть использован и используется в современной практике научного познания для точного построения конкретных теорий, а также для анализа философских и общенаучных понятий, приёмов познания и так далее.

В зависимости от глубины анализа высказываний выделяют исчисления высказываний и кванторные теории - исчисления предикатов . В первых анализ рассуждений ведётся с точностью до выделения простых предложений. Иначе говоря, в исчислениях высказываний мы не интересуемся внутренней структурой простых предложений. В исчислениях предикатов анализ рассуждений осуществляется с учётом внутренней структуры простых предложений. В зависимости от типов квантифицируемых переменных различают исчисления предикатов различного порядка. Так, в исчислении предикатов первого порядка единственными квантифицируемыми переменных являются индивидные переменные. В исчислении предикатов второго порядка вводятся и начинают квантифицироваться переменные для свойств, отношений и предметных функций разной местности. Соответственно строятся исчисления предикатов третьего и более высокого порядка.

ещё одно важное членение логических теорий связано с использованием для представления логического знания языков с различной категориальной сеткой. В этой связи можно говорить о теориях, построенных на языках фреге-расселовского типа (многочисленные варианты исчисления предикатов), силлогистического (разнообразные силлогистики, а также онтология Лесневского, являющаяся современной формой сингулярной силлогистики) или алгебраического (различные алгебры логики и алгебры классов - Булева алгебра, алгебра Жегалкина, алгебра де Моргана, алгебра Хао Вана и другие). Для многих теорий, построенных на языках с различной категориальной сеткой, показана их взаимная переводимость. В последнее время в логических исследованиях начинает активно использоваться теоретико-категорный язык, основанный на новом математическом аппарате - теории категорий .

В зависимости от способа построения выводов и доказательств, применяемых в логических теориях, последние делятся на аксиоматические исчисления, исчисления натурального вывода и секвенциальные исчисления. В аксиоматических системах принципы дедукции (см. ) задаются списком аксиом и правил вывода, позволяющих переходить от одних доказанных утверждений (теорем) к другим доказанным утверждениям. В системах натурального (естественного) вывода принципы дедукции задаются списком правил, позволяющих переходить от одних гипотетически принятых утверждений к другим утверждениям. Наконец, в секвенциальных исчислениях принципы дедукции задаются правилами, позволяющими переходить от одних утверждений о выводимости (они называются секвенциями) к другим утверждениям о выводимости.

Построение в логике того или иного исчисления составляет формальную строну логических исследований, которую всегда бывает желательно дополнить содержательными соображениями, то есть построением соответствующей ей семантики (интерпретации). Для многих логических исчислений такие семантики имеются. Они представлены семантиками различного типа. Это могут быть таблицы истинности, так называемые аналитические таблицы, таблицы Бета, различного рода алгебры, возможных миров семантики , описания состояний и так далее. Напротив, в том случае, когда логическая система первоначально строится семантически, встаёт вопрос о формализации соответствующей логики, например, в виде аксиоматической системы.

В зависимости от характера высказываний, а в конечном счёте от типов отношений вещей, которые изучаются в логике, логические теории делятся на классические и неклассические. В основе такого членения лежит принятие при построении соответствующей логики определённых абстракций и идеализаций . В классической логике применяются, например, следующие абстракции и идеализации:

1. Принцип двузначности , согласно которому каждое высказывание является либо истинным, либо ложным.
2. Принцип экстенсиональности , то есть разрешение для выражений, имеющих одно и то же значение, свободной их замены в любых контекстах, что говорит о том, что в классической логике интересуются только значением выражений, а не их смыслом.
3. Принцип абстракции актуальной бесконечности , который позволяет рассуждать о существенно неконструктивных объектах.
4. Принцип экзистенциальности , согласно которому универсум рассуждения должен быть непустым множеством, а каждое собственное имя должно иметь референт в универсуме.

Эти абстракции и идеализации образуют ту точку зрения, тот ракурс, под которым мы видим и оцениваем объективную реальность. Однако никакая совокупность абстракций и идеализаций не может охватить её в полной мере. Последняя всегда оказывается более богатой, более подвижной, чем теоретические построения, что и делает оправданным свободное варьирование исходных принципов. В этой связи полный или частичный отказ от любого из указанных принципов выводит нас в область неклассических логик . Среди последних выделяют: многозначные логики , в частности вероятностные и нечёткие, в которых происходит отказ от принципа двузначности; интуиционистские логики и конструктивные логики , в которых исследуются рассуждения в рамках абстракции потенциальной осуществимости ; модальные логики (алетические, временные, деонтические, эпистемические, аксиологические и другие), релевантные логики , паранепротиворечивые логики , логики вопросов , в которых рассматриваются высказывания с неэкстенсиональными (интенсиональными) логическими константами; логики, свободные от экзистенциальных допущений, в которых происходит отказ от принципов экзистенциальности, и многие другие.

Всё это показывает, что логика как наука, дающая теоретическое описание законов мышления, не есть нечто раз и навсегда данное. Наоборот, каждый раз с переходом к исследованию новой области объектов, требующих принятия новых абстракций и идеализаций, при учёте новых факторов, которые влияют на процесс рассуждения, сама эта теория изменяется. Таким образом логика является развивающейся наукой. При этом, включение в состав логики определённой теории законов мышления напрямую связано с принятием определённых онтологических допущений. С этой точки зрения логика является не только теорией мышления , но и, в некотором смысле, теорией бытия (теорией онтологии).

Основные этапы развития логики

Логика возникла в Древней Греции в рамках философии (см. ). История её развития насчитывает около двух с половиной тысячелетий и делится на два основных периода:

1. Традиционная формальная логика (IV век до новой эры - середина XIX века). В развитии традиционной логики, в свою очередь, выделяются три периода:
   1. Античная логика (V век до новой эры - середина V века).
   2. Схоластическая (Средневековая) логика (середина V века - XV век).
   3. Логика Нового времени (XV–XVIII века).
2. Символическая (или математическая, или теоретическая) логика (с середины XIX века).

Основоположником формальной логики является Аристотель, который в IV веке до новой эры систематизировал и обобщил в своих сочинениях имевшиеся на тот момент времени сведения, касающиеся принципов и закономерностей человеческого мышления и познания. До него софистика и риторика стимулировали развитие интереса к вопросам логики. Сократ и Платон пытались решить их профессионально. Но только Аристотель смог осознать специфику логики как особой области философского знания, наиболее полно и широко рассмотрел и изложил её вопросы. Создавая логику, он утверждал её в статусе науки о доказательстве истины и определял в качестве органона философского знания, орудия философской мысли. Своё логическое учение Аристотель называл «аналитикой». Под аналитическим исследованием, или анализом, он понимал процедуру сведения сложного к его структурным компонентам, а последних - к первоначалам (аксиоматическим положениям). Основная заслуга Аристотеля заключается в том, что он осознал источник «принудительной силы речей», отделил логическую форму мышления от его содержания и сделал предметом специального исследования логические структуры мышления. Платоновские идеи Аристотель трансформировал в понятие формы, среди которых выделил и формы логические. Цель, поставленная Аристотелем, заключалась в том, чтобы изложить сущность доказательства как метода обоснования знания, а также выявить основные законы любой дискуссии, схемы защиты разумных тезисов, в связи с чем очевидным становится значение разъяснения законов мышления с точки зрения логики, а также логический анализ языка как средства мышления. К логическим трудам Аристотеля относятся Первая и Вторая «Аналитики», «Категории», «Об истолковании», «Топика» и «О софистических опровержениях». Все эти трактаты были объединены его комментаторами под общим названием «Органон», что означает «орудие» (инструмент) познания.

Центральным разделом логической системы Аристотеля является учение о силлогизме (буквально: «выведение следствия»). Классические силлогизмы представляют собой некоторые схемы рассуждений, позволяющих из истинности двух предложений выводить истинность некоторого третьего предложения. Один из самых известных конкретных примеров: «Все люди смертны. Сократ человек. Следовательно, Сократ смертен». Этот вывод имеет форму: все М суть P . S есть М . Следовательно, S есть P . Если известно, что две посылки такого вида истинны, то всегда можно утверждать истинность заключения. Правильность схемы силлогистического рассуждения не зависит от конкретного содержания терминов М , P и S .

Теорию силлогизма Аристотеля условно можно разделить на три части:

1. логические формы силлогизма, изложенные в «Первой аналитике»;
2. приложения логических форм силлогизма для поиска истины, рассматриваемые во «Второй аналитике»;
3. использование логических форм силлогизма к анализу «ходячих мнений», анализируемое в «Топике».

В остальных работах, посвящённых логической проблематике, Аристотель также преследует цели силлогистического анализа. В сочинении «Об истолковании» представлена теория суждения. В «Категориях» изложены основы учения о понятии.

Описание основных логических категорий и приёмов, используемых рассуждающим мышлением, даётся в «Топике». В сочинении «О софистических опровержениях» решается проблема об источниках неправильных умозаключений и доказательств, о средствах обнаружения логических ошибок. Если в логике Платона исходным пунктом является понятие, то в логике Аристотеля - высказывание. Трактат «Об истолковании», то есть о раскрытии смысла утверждений и отрицаний собеседника, предшествует силлогизму как логической системе, в рамках которой происходит оценка взаимных отношений между высказываниями и обоснование высказываний силлогистическими умозаключениями.

Логические закономерности оперирования категориями и высказываниями в процессе доказательного (аподиктического) мышления Аристотель ищет в сформировавшейся к тому времени грамматике. Методология логических исследований Аристотеля основополагалась на двух основных принципах, направленных против методологических установок Гераклита и младших софистов, - законе запрещения противоречия и законе исключения третьего. Если закон запрещения противоречия постулирует, что два контрадикторных (противоречащих друг другу) высказывания не могут быть одновременно истинными, то закон исключения третьего утверждает, что одно из контрадикторных высказываний непременно истинно. Применяя к категорическим высказываниям законы запрещения противоречия и исключения третьего, Аристотель вывел логические закономерности отношений между данными высказываниями, которые были представлены в виде логического квадрата М. Псёллом в XI веке. Теория категорического силлогизма является наиболее формализованной частью логического учения Аристотеля. Произведя в «Аналитиках» детальный анализ силлогизма как особой формы умозаключения, раскрыв сущность доказательства как процедуры обоснования нового знания, рассмотрев приёмы определения и деления, Аристотель создал силлогистическую теорию, положив начало формальной логике. Остальные проблемы, исследуемые Аристотелем, - теория логических модальностей, аналогия, структура определений, проблематика логических ошибок и другие - уступают по степени разработанности и строгости силлогистической теории.

Развитие логики после Аристотеля продолжалось по разным направлениям. Это было непосредственное развитие логического учения Аристотеля (перипатетические школы) и образование новых школ, формирующих принципиально новый тип логики. Наиболее значительный вклад в развитие логики после Аристотеля внесла школа Стои, основанная Зеноном из Китиона. Именно Зенон ввёл термин «логика» в III веке до новой эры для обозначения самостоятельной науки о структурах и правилах мышления вместо аристотелевского термина «аналитика». Признавая тесную связь мышления и языка, стоики утверждали, что логика должна изучать структуры мыслей и языковые формы их выражения. С деятельностью школы стоиков связана античная форма логики высказываний. Логика стоиков была построена на иной, в отличие от аристотелевской логики, основе. Основным принципом логики Аристотеля является объёмная формулировка аксиомы силлогизма dictum de omni et nullo (буквально: «сказанное обо всём и ни о чём»), что означает «всё, что утверждается (отрицается) относительно всех предметов класса, утверждается (отрицается) относительно каждого предмета данного класса». Принцип силлогистики стоиков - содержательная формулировка аксиомы силлогизма: если вещь представляет всегда определённое качество или определённую совокупность качеств, то она будет также представлять качество или качества, которые сосуществуют всегда с первым качеством или совокупностью качеств. Он был более чётко сформулирован в Средние века: «Признак признака есть признак самой вещи». В соответствии с основным силлогистическим принципом стоики считали, что в истинной гипотетической пропозиции, или импликативном высказывании формы «Если A , то B », следствие B мыслится потенциально заключающимся в первой части пропозиции A . Аналогично стоики интерпретировали умозаключения с импликативными высказываниями, в которых логическая связь «Если A , то B » является выражением связи явления и невоспринимаемого предмета. Учение о пяти основных формах силлогизмов было разработано Хрисиппом. Разрабатывая теорию импликации, стоики установили для неё два критерия. Согласно первому критерию, импликация ложна, если «первое» - истинно, а «второе» - ложно. Второй критерий основан не на логических знаниях, а на природе отношения, или связи, между составными элементами импликативного высказывания. Например: «Если день, то светло. Сейчас день. Следовательно, сейчас светло». В достаточной степени чётко стоики определили логический смысл конъюнкции и дизъюнкции. Если центром логики Аристотеля являлось учение о категорическом силлогизме, логики стоиков - учение о гипотетическом умозаключении, то в эпикурейской логике центральное место занимали проблемы индукции, аналогии и гипотезы.

Развитие естествознания в античном мире требовало существенных изменений в методологии научного познания, которые позволили бы исследовать проблему научных предположений. Частично данная проблема была разрешена Эпикуром и его школой. Источник знания, согласно Эпикуру, - ощущения. Знание, полученное в процессе чувственного восприятия, невозможно опровергнуть производным от него разумом. Ошибки возникают лишь в умозаключениях. Индукция, в понимании эпикурейцев, требует учитывать общее и различное в предметах и явлениях. Например, каким бы ни был огонь, для него характерны общие признаки - горение, жар, выделение дыма, а также специфические - интенсивность, температура, запах дыма и так далее. В индуктивных умозаключениях необходимо исключать особенности каждого отдельного случая и принимать во внимание только те признаки, без которых нельзя понять природу огня как явления. Рассуждая о причинах эпидемии, эпикурейцы учитывали такие факторы, как возраст, пол, социальный статус заболевших и другие, но причину болезни они связывали с единственно одинаковым для всех заболевших обстоятельством - все они дышат одним и тем же воздухом. Сущность индуктивного метода, сводимая эпикурейцами к установлению причинно-следственной зависимости, основана на методе антиципации, то есть выдвижении вспомогательных гипотез. Гипотеза, согласно определению Эпикура, есть предположение, допустимое в тех случаях, когда невозможно с достоверностью установить причины явлений. Она должна объяснять естественный способ возникновения явлений, не прибегая к сверхъестественным силам, и не противоречить ранее установленным фактам. Для верификации индуктивных умозаключений Эпикур предложил две логические процедуры: 1) установление соответствия между эмпирическими данными и областью предполагаемого, то есть гипотезой, выдвинутой в рассуждении, для чего достаточно, чтобы выдвинутая гипотеза не опровергалась опытом; 2) верификацию индукции, связанную с исследованием ненаблюдаемых объектов, что предполагает обоснование истинности путём указания на отсутствие высказывания, противоречивого подтверждаемому высказыванию. Данный метод он назвал «отсутствием противоречащих примеров». Например, тезис «Движение всегда происходит в пространстве» эпикурейцы подтверждали отсутствием случая, когда движение происходило бы вне пространства. Способы «соответствия» и «отсутствия противоречащих примеров» свидетельствуют о том, что эпикурейцы обнаружили другой вид индукции - элиминативную. Энумеративная индукция (через простое перечисление) была известна уже Аристотелю. В рамках скептицизма «стандартизируются» вероятностные рассуждения. Если Аркесилай ввёл понятие вероятности вместо абсолютного знания и понимал вероятность более или менее интуитивно, то Карнеад уже определённым образом критически переосмыслил вероятность, в результате чего возникают представления о разных степенях вероятности.

Развитие логики в римскую эпоху стало заключительным этапом в генезисе античной логики и явилось связующим звеном между логикой комментаторов, а также последователей Аристотеля и логикой Средневековья. Логическая проблематика в римский период сближается с задачами риторики. Цицерон написал юридически и риторически адаптированную версию «Топики» Аристотеля, в которой логика определяется как искусство правильного мышления. Начиная со II века новой эры начинается кризис в развитии логики. Соперничество многочисленных философских школ периода раннего эллинизма сменяется сближением школ, сглаживанием разногласий и противоречий между ними (поздний эллинизм).

Порфирий разрабатывал логическую проблематику в рамках систематически-объяснительной и систематически-категориальной диалектики мифа. В трактате «Введение к «Категориям «Аристотеля» («О пяти названиях») Порфирий различает пять разновидностей признаков: 1) род; 2) вид; 3) видообразующее отличие; 4) собственный (существенный) признак; 5) случайный (несущественный) признак. В период Средневековья возникла проблема онтологической интерпретации названий Порфирия: соответствует ли этим общим понятиям что-либо в реальной действительности и существуют ли эти универсалии в зависимости от реальных вещей или автономно? Попытки ответа на эти вопросы породили два противостоящих решения: реализм и номинализм. Порфирий анализировал иерархию родовых и видовых понятий, получившую название «древо Порфирия», или схема Порфирия. С точки зрения современной логики, «древо Порфирия» представляет собой схему классификационного «дерева», отображающего субординацию родовых и видовых имён при дихотомическом делении объёма имени.

Боэций вошёл в историю логики как комментатор сочинений Аристотеля и Порфирия по логической проблематике. Боэций рассматривал модальные функторы «действительно», «возможно», «случайно», «невозможно», «необходимо» и соотношения между ними, предложил специальную схему, отображающую логические зависимости между модальными высказываниями. Он исследовал также взаимосвязи логических операций над высказываниями. В частности, Боэций знал соотношения: 1) из логической формы «Неверно, что p и q », выводима логическая форма «неверно, что p или неверно, что q » и из неё, в свою очередь, выводима «Если p , то не-q »; 2) из логической формы «Неверно, что не-р и q » выводима форма «p или не-q » и из неё следует «Если не-р , то не-q »; З) из логической формы «Неверно, что p и не-q » выводима форма «Не-р или q » и из неё следует «Если p , то q » Из логической формы «Неверно, что не-р и не-q » выводима форма «p или q » и из неё выводима «Если не-р , то q ». Исходя из первого соотношения, можно заключить, что Боэций вплотную подошёл к формулировке законов А. де Моргана.

До середины XII века логика в Западной Европе развивалась на основе сочинений Боэция и Порфирия. Развитие логики в Средние века инспирировалось, главным образом, полемикой вокруг проблемы истолкования сущности общих понятий (универсалий). Реалисты, продолжатели линии Платона - Эриугена, Ансельм Кентерберийский, Альберт фон Больштедт (Альберт Великий), Фома Аквинский и другие - утверждали, что общие понятия существуют реально, автономно от единичных объектов, составляя их гипостазированную сущность. Номиналисты - Росцелин, Дунс Скот, Уильям Оккам, Жан Буридан и другие - признавали реально существующими только единичные объекты, а смысл общих понятий редуцировали к значению имён (названий объектов). Некоторые номиналисты (Пётр Абеляр, его ученик Джон из Солсбери и другие), отрицая реальное существование универсалий, рассматривали их в качестве общих понятий (концептов), особых форм познания. Данное направление в номинализме получило название концептуализм.

В период Средневековья традиционная формальная логика обрела большую часть своего символического языка, то есть системы условных знаков для обозначения различных структур мышления и логических связей между ними. В частности, византийский учёный-монах М. Псёлл гласными буквами латинского алфавита из слов «affirmo» («утверждаю») и «nego» («отрицаю») обозначил простые высказывания, что позволило мнемонически фиксировать модусы фигур простого категорического силлогизма. Анализируя логические отношения между простыми высказываниями (противоположность, противоречие, подчинение, частичная совместимость), Псёлл предложил специальную схему для их обозначения, названную «логическим квадратом». В этот период разрабатывались также теория логического следования, теория семантических парадоксов, проводился анализ выделяющих и исключающих высказываний, изучались проблемы модальной логики. Ансельм Кентерберийский анализировал деонтические (нормативные) высказывания с ирескриптивными (предписывающими) функторами «обязательно», «безразлично», «разрешено», «запрещено» и другими. В схоластической логике XII–XIII веков различались модальности «необходимость сама по себе» и «акцидентальная необходимость», инспирирующие неизменяемое истинностное значение высказывания соответственно в любое время или в определённый фрагмент времени. Согласно некоторым свидетельствам, Дунс Скот первым использовал понятие логической возможности (possibile logicum) и сформулировал идею возможных миров, близкую к определённым характеристикам современного понимания модальностей, опередив, тем самым, Г. В. Лейбница. В модальной теории Скота возможное считается некоторой «априорной областью концептуальной непротиворечивости». В этом случае среди логических возможностей экстрагируются классы эквивалентностей в основе отношения совозможности, один из которых будет действительным. Некоторые из логических возможностей являются реальными альтернативами действительному миру. Схоластической логической традиции принадлежит первая в истории человечества идея создания механического логического устройства, высказанная испанским философом, логиком Р. Луллием. Но как автор абсурдного, по тем временам, проекта он подвергся критике Дж. Свифтом в его широко известной книге «Путешествие Гулливера» (образ профессора Великой Академии в Лагадо). В эпоху Возрождения (XV–XVI века) в логике и методологии науки происходит усиление эмпирических тенденций.

В Новое время начинается активное развитие наук (см. ), особенно математики, в которой центральное место занял анализ переменных величин и изучение операций над ними, а также процесс формирования новых критериев истины, так как «чистое знание», знание ради знания больше не устраивает технологически развивающееся общество. В этот период определяющими факторами познавательной деятельности становятся не всевозможные комбинации с логическими объектами, а комбинации с эмпирическими данными и их обобщениями.

Ф. Бэкон в «Новом Органоне», противопоставленном «Органону» Аристотеля, изложил основы индуктивной логики, которая должна была заменить схолатизированную аристотелевскую силлогистику. Аристотелевская силлогистика содержала всего 24 правильные схемы рассуждений, и это не отвечало требованиям Нового времени. Оставляя за силлогизмом как формой доказательства сферу мнений, Бэкон утверждает индукцию в качестве единственной формы доказательства, считающейся с данными чувств, постигающей природу и устремлённой к практике. «Логика, которой мы сейчас пользуемся, - писал Ф. Бэкон, - служит, скорее, укреплению и сохранению заблуждений, имеющих своё основание в общепринятых понятиях, чем отысканию истины. Силлогизм не приложим к принципам знаний. Силлогизмы состоят из предложений, предложения из слов, а слова суть знаки понятий. Поэтому если сами понятия, составляя основу всего, спутаны и необдуманно отвлечены от вещей, то нет ничего прочного в том, что построено из них. Поэтому единственная надежда - в истинной индукции». Если Аристотель знал один вид индукции - через простое перечисление (энумеративную), то Ф. Бэкон, продолжая эпикурейскую традицию, предложил индукцию через исключение, в процессе которой элиминируются несущественные свойства исследуемых явлений. После осознания неоптимальности данной разновидности индукции (длинный путь к истине; не всегда достигаются достоверные результаты), Бэкон внёс коррективы в свой метод. Он рекомендовал искать такие факты («прерогативные инстанции»), при которых явление выступает в наиболее «прозрачном» виде. Он также разработал теорию методов установления причинно-следственных связей между явлениями: метод сходства, метод различия, соединённый метод сходства и различия, метод сопутствующих изменений.

В XIX веке развитие индуктивной логики было продолжено Дж. Гершелем и Дж. С. Миллем. Гершель в книге «Введение в изучение естествознания» (1832) сформулировал пять правил установления причинно-следственных связей: 1) неизменность связи причины и следствия; 2) неизменность отсутствия следствия при отсутствии причины; 3) возрастание или уменьшение степени интенсивности проявления следствия с возрастанием или уменьшением степени интенсивности проявления причины; 4) пропорциональность следствия причине во всех случаях его прямого, без препятствий со стороны, действия; 5) уничтожение следствия с уничтожением причины. Милль в «Системе логики силлогистической и индуктивной» (1843) более чётко сформулировал методы исследования причинно-следственных связей - метод единственного сходства, метод различия, соединённый метод сходства и различия, метод сопутствующих изменений, метод остатков, и с помощью доходчивых примеров продемонстрировал их познавательную значимость. Г. Галилей обосновал гипотетико-дедуктивный метод как способ научного исследования, предполагающий выдвижение гипотез о причинах изучаемых предметов или явлений, а затем выведение посредством дедукции следствий из гипотез. На этом основании Декарт акцентировал значимость логической дедукции как основного метода научного познания. Выступая против схоластической интерпретации логики Аристотеля, он сформулировал четыре правила, которых нужно придерживаться при любом научном исследовании: 1) принимать очевидное за истинное; 2) дробить целое на части; 3) начинать изучение с простейшего и мельчайшего; 4) ничего не упускать при изучении. Данные правила являются, скорее, методическими рекомендациями философского характера, основанными на механистическом понимании действительности и рационалистической теории познания. Р. Декарт был одним из первых создателей формального языка математики (буквенной алгебры), который Г. В. Лейбниц перенёс в логику А. Арно и П. Николь, исходя из дедуктивного метода, обоснованного Декартом, и новых методологических требований относительно доказательства, сформулированных Б. Паскалем, написали книгу «Логика, или искусство мыслить» (известную под названием «Логика Пор-Рояля», 1662), в которой изложили не схоластический вариант аристотелевской логики, а логику как науку «правильно прилагать разум к познанию вещей».

Идейный переворот в области логики осуществил Г. В. Лейбниц, выступив с программой её математизации с помощью универсального логического языка. Свой подход он назвал «всеобщей характеристикой», «комбинаторным искусством». Сводился он к решению трёх основных задач: 1) логическому анализу всех известных понятий и редуцированию их к сочетанию простых, далее неразложимых понятий (созданию «всеобщей характеристики»); 2) созданию универсального языка символов, знаки которого должны заключать максимум смысла и выражать идеи наиболее естественным образом; при этом простые элементы логических рассуждений должны обозначаться буквами, сложные элементы - формулами, суждения - уравнениями; 3) разработке логического исчисления, включающего чётко сформулированные правила оперирования символами, то есть процедуры образования из букв формул, из формул уравнений. Применив к логике математические методы, он попытался построить данную науку в виде исчисления. Ему удалось разработать несколько вариантов арифметизации «общей логики», частными случаями которой он рассматривал теорию силлогизмов Аристотеля и дедуктивную систему Евклида. Но реализовать проект преобразования логики Лейбницу не удалось в связи с тем, что в математике не были разработаны адекватные средства для её формализации. Тем не менее, его исследования стали началом разработки принципов построения дедуктивных теорий и изучения логических свойств отношений между высказываниями, что значительно расширило учение о средствах дедуктивного вывода. Лейбниц сформулировал закон достаточного основания, расширив тем самым методологический базис двузначной аристотелевской логики, основными постулатами которой являются законы тождества, исключения противоречия и исключения третьего.

И. Кант, признавая тот факт, что традиционная формальная логика (определение «формальная» введено им для акцентуации особенности данной логики в подходе к изучаемым явлениям) со времён Аристотеля «не сделала ни одного шага назад, но и не сделала ни одного шага вперёд», сделал вывод: «она учит лишь неизменным правилам рассудка и не имеет никакого отношения к тому, каким образом открываются новые истины, каковы механизмы расширения знания». Основная задача логики, согласно Канту, указать условия, при которых мышление может избежать противоречия самому себе. На этом основании он разрабатывает трансцендентальную логику, предметом которой являются априорные, доопытные формы сознания. Кант признает четыре основных формально-логических закона, но специфицирует их действие в соответствии со своей системой. Законы тождества и противоречия он считает самыми важными принципами рассуждающего мышления на ступени возможного (проблематического) знания, закон достаточного основания является направляющим на ступени действительного (ассерторического) знания, закон исключённого третьего - на ступени необходимого (аподиктического) знания. Из дедуктивной силлогистической системы Аристотеля Кант признавал только первую фигуру как обладающую самыми мощными доказательными возможностями.

Вплоть до XIX века логика сохраняла все положения аристотелевской логической доктрины. В XIX веке Г. В. Ф. Гегель создал диалектическую (метафизическую) логику. Характеризуя логику Аристотеля, Гегель утверждал, что она составляет основу формальной логики и её разработкой занимались преимущественно Средневековые схоластики, ничего не прибавившие к её содержанию, лишь развившие её в частностях. Не осознавая осуществляемый в логике поиск адекватных методов исследования мышления, он писал, что «это лейбницево применение исчислений комбинаций к умозаключению и сочетанию других понятий не отличалось от пресловутого луллиевого искусства ничем другим, кроме большей методичности с арифметической точки зрения, вообще же не уступало ему в бессмысленности». Критически воспринимая кантовский формализм и систему формальной логики в целом, Гегель предложил новый тип логики - диалектическую логику, за что его назвали Великим реформатором логики. Значимость формальной логики Гегель ограничивал лишь низшей ступенью мыслительной деятельности. Если Кант зафиксировал неизменность системы логики, то Гегель, не осознавая того, показал, что логика не есть собрание технически полезных советов, нечто раз и навсегда данное, что, как и все науки, она находится в состоянии непрерывного развития.

Радикальное реформирование методов логики началось с реализации программы Дж. Буля, которая послужила водоразделом между традиционной и современной логикой. Буль в качестве методологической основы своих фундаментальных исследований «Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мышления» (1854) положил аналогию между алгеброй (как разделом математики, исследующим арифметические операции сложения, умножения, вычитания и деления не только над числами, но и над многочленами, векторами, матрицами, операторами и другими математическими объектами) и логикой. Он вывел исчисление, дающее бесконечно много правильных схем рассуждений. На сегодняшний день исчисление Буля известно как алгебра логики (термин Ч. С. Пирса), где акцент сделан на изучение свойств логических операций. Сфера действий алгебраических операций была расширена Булем за счёт применимости их к логическим объектам, что позволило представить логику как алгебру классов, связанных операторами «и» (логическое умножение), «или» (логическое сложение), «не» (логическое дополнение). Алгебра логики Буля (булева алгебра) стала исторически первым разделом символической (математической) логики. Главной задачей создаваемой им алгебры логики Буль считал вычисление истинности или ложности, что стало первым приближением к реализации проекта Лейбница.

У. С. Джевонс в построенной им системе «чистой логики» стремился избежать излишней математизации, характерной для алгебры логики Буля. Его система базируется на законах тождества, исключения противоречия и исключения третьего и принципе замещения, то есть логически эквивалентной замене. Этот принцип, по Джевонсу, является главным в логике и действует в индукции, дедукции, аналогии, обобщении, классификации, в процессах измерения; в математике он известен как правило замены равного равным. Исчисление Джевонса не только формализует все дедуктивные умозаключения традиционной логики, но и позволяет выводить все простые следствия из данных посылок (поскольку последние могут быть записаны в его исчислении). Для решения поставленной Булем задачи - уметь выявлять всю содержащуюся в посылках информацию о любом фигурирующем в них классе - Джевонс придумал простой метод, основанный на использовании приёмов комбинаторики; это позволило Джевонсу построить логические счёты и логическую машину, на которой решалась указанная задача.

Э. Шрёдер систематизировал и развил логику Буля, а также осуществил первую попытку построения общей теории алгоритмов и исчислений. Он разработал полную систему аксиом булевой алгебры и теорию логического исчисления (его авторское название современной математической логики) на основе исчисления классов. Он также внёс вклад в развитие реляционной алгебры, ввёл в научный лексикон понятие «нормальная форма», «логическое исчисление», «нормальная форма для логических выражений».

Проанализировав и обобщив концептуальные результаты Буля, Джевонса и Шрёдера, П. С. Порецкий разработал теорию логических равенств с её главным разделом о порядке выведения следствий из заданной системы посылок (причин) и нахождении посылок, из которых некоторое равенство может быть получено в качестве следствия. Окончательно булева алгебра оформилась в самостоятельную научную теорию в 1910–1920-х годах.

В конце XIX - начале XX века математизация логики продемонстрировала, что всё содержание традиционной формальной логики можно изложить чётко и прозрачно в терминах символической логики . Термин «символическая логика» впервые применил для обозначения нового этапа в развитии логики английский логик Дж. Венн, опубликовавший в 1881 году под таким названием книгу. Другие исследователи называли современный этап в развитии логики алгеброй логики (Дж. Буль), математической логикой (С. Клини), теоретической логикой (Д. Гилберт, В. Аккерман), формальной логикой (А. Чёрч). Чем более абстрактно и формально строится теория, тем более очевидна в ней роль логики в обосновании строгости рассуждений. Наличие данной зависимости явилось исходной точкой разработки программы логицизма , в рамках которой предполагалось обосновать приоритет логики как гарантированного средства выведения новых истин в математике. Согласно логицистской концепции логика имеет приоритет перед математикой и вся (или почти вся) математика может быть выведена из логики.

После того, как Г. Фреге впервые построил исчисление высказываний и исчисление предикатов , возникла реальная возможность построения системы логики в виде дедуктивной системы . В первой своей логицистской работе по математической логике «Исчисление понятий» («Шрифт понятий», 1879) Фреге предпринял попытку редуцировать математику к логике. Задача Фреге сводилась к: 1) определению исходных понятий математики исключительно в терминах логики; 2) доказательству принципов математики лишь на основании принципов логики и с помощью только логических доказательств. Для этого он построил первую аксиоматическую систему исчисления высказываний, основанную на двух логических операциях - импликации («если, то») и отрицании («неверно, что»). В этой же работе Фреге ввёл современные символы для кванторов (логических операторов, выражающих утверждения двух типов: 1) общности, или универсальности; 2) существования, или частности), необходимых для выявления отношений между предметной областью и предикатами, определёнными для неё. С работы Фреге «Исчисление понятий» и начинается современная логика. Именно его усилиями был создан тот универсальный язык логики, о котором рассуждал Лейбниц в своей программе «универсальной характеристики» и который в алгебре Буля достиг состояния логического исчисления.

Фреге разработал метод формализации дедуктивных систем; формализовал экстенсиональную («объёмную») логику, заменив высказывания с помощью радикальной абстракции их истинностными значениями; провёл демаркационную линию между синтаксисом и семантикой формализованного языка («исчисления понятий», или «формульного языка чистого мышления»); эскизно наметил разделение объектного языка и метаязыка формализованной теории. В работе «О смысле и значении» («Смысл и денотат», 1892) он инициировал логико-семантические исследования, обозначив круг проблем теории именования, связанный с логическим анализом понятий «имя», «значение» («денотат»), «смысл», «имя собственное» (имя предмета); «функция», «имена функций»; «отношение» и других. Фреге ввёл различие между предметами и функциями, на основании чего, вместо принятого до него деления имён на единичные и общие, предложил разделить все имена на два класса: 1) имена собственные (имена предметов); 2) имена функций, или функциональные имена (имена свойств или отношений, то есть предикаты). Понятие Фреге интерпретировал как одноместный предикат (высказывательную форму выражения свойств или отношений предметов в формализованных языках типа «X есть P »). Он сформулировал наиболее важные принципы теории именования: 1) принцип взаимозаменяемости, означающий возможность замещения знаковых выражений, которые имеют одинаковые денотаты (например, имена «Утренняя звезда» и «Вечерняя звезда» оказываются взаимозаменяемыми при обозначении планеты Венера). Принцип взаимозаменяемости Фреге носит экстенсиональный характер, так как тождество имён основано на одинаковых денотатах; 2) принцип однозначности, выражающий требование, согласно которому каждое имя обозначает только один предмет; 3) принцип предметности, отражающий тот факт, что сложное имя выражает связи между предметами, а не между именами, составляющими сложное имя. Разработанный в дальнейшем фундаментальный двухтомный труд «Основные законы арифметики» (1893–1903), где в развёрнутом виде представлена концепция логицизма, был уже в печати, когда Фреге получил письмо от Б. Рассела, в котором он сообщал об открытом им парадоксе в теории множеств. Фреге сразу методологически оценил открытие Рассела: в фундаменте математики, которая является образцом строгости и точности, лежит противоречие, и сделал практические выводы: его работа в значительной мере потеряла смысл.

Б. Рассел в работе «Принципы математики» (1903) продолжил обоснование логицистской идеи о сведении математики к логике, считая, что это обосновывается всей историей науки и философии. Наиболее законченное выражение логицистской программы было представлено в трёхтомном фундаментальном труде Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда «Pricipia Mathematica» (1910–1913), сравнимым по-своему влиянию с аристотелевским «Органоном», где изложена программа сведения математики к логике и предоставлено мощное эмпирическое подтверждение возможности формализовать математические системы, в частности арифметику, во всей их полноте. Для избежания парадоксов в процессе реализации логицистской программы Рассел и Уайтхед разработали теорию типов, согласно которой логический тип множества всегда должен быть выше типа его элементов, то есть множество не должно содержать элементов, определяемых в терминах самого множества. Появление в XIX веке неевклидовых геометрий, дальнейшее развитие математического анализа, появление теории множеств привело к возникновению, а затем и обострению проблемы построения непротиворечивых систем знаний в связи с обнаружением парадоксов.

Иной способ защиты от парадоксов был предложен Д. Гилбертом в концепции формализма, разрабатывавшейся им начиная с 1904 года. Понятия формальной системы и доказательства становятся строго формализованными. С этого времени начинается совершенно новый этап развития современной логики. Изучаются не рассуждения, не отдельные их классы, не те или иные аргументы, а доказательства как формальные объекты. Появляется самостоятельный раздел логики - теория доказательств. Для этого сами формализованные системы, например теория множеств, должны были быть представлены в виде аксиоматической системы, в основе которой лежит логика исчисления. В таком случае остаётся только доказать непротиворечивость этой системы: логическая система является непротиворечивой, если в ней одновременно не доказуемы некоторая формула и её отрицание.

Аксиоматическое построение арифметики было связано с общим процессом критического пересмотра логических основ математики (работы Н. И. Лобачевского, Г. Грасмана, Дж. Пеано), что косвенно повлияло на развитие идеи аксиоматического построения логики. Со времён Евклида (III век до новой эры) считалось, что для обоснования любой теории достаточно выделения в ней небольшого числа аксиом (постулатов) как очевидных первичных начал, не нуждающихся в доказательстве, и дедуктивном выведении всех остальных положений теории из данных аксиом. В середине XIX века интерпретация аксиом как самоочевидных положений начала подвергаться критике, так как неочевидной стала казаться сама очевидность (аксиом), имеющая субъективный характер: то, что кажется очевидным для одного человека, для другого очевидным не является. Гилберт разработал программу обоснования математики с помощью аксиоматического метода, цель которой сводилась к решению двух задач: 1) представить классическую математику в виде формализованной аксиоматической системы; 2) доказать непротиворечивость исчисления её высказываний. Благодаря программе Гилберта в течение первых трёх десятилетий XX века приоритетными в логике были не семантические, а синтаксические исследования. Их итогом стала работа «Основы теоретической логики» (1928), в которой изложены два наиболее важных положения: 1) строгая формализация теории предполагает полную абстракцию от смысла; 2) изучение формально-логических свойств системы требует разработки метатеории, или теории доказательства, в рамках которой дедуктивным выводом называется такая последовательность высказываний, где каждый элемент является либо доказанным высказыванием, либо аксиомой, либо логически следует из предыдущих высказываний. Согласно Гилберту, одно из двух противоположных высказываний ложно, а другое истинно (так как оба истинными они быть не могут), то есть доказуемость A (истины) и не-А (лжи) в одной системе аксиом «осудила бы всё исчисление на бессмысленность». Но непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть установлена средствами, которые могут быть формализованы в самой этой теории, что было доказано впоследствии К. Гёделем.

Представление логических систем в виде исчислений может быть совершенно различным. Первоначально такое представление состоялось в форме так называемых гилбертовских исчислений, которые до настоящего времени играют важную роль при образовании новых исчислений, а также при их классификации. Идеи, лежащие в основе гилбертовского исчисления, чрезвычайно просты: из бесконечного множества законов логики (тавтологий) выбирается некоторое конечное число «очевидных» законов, названных аксиомами, и минимальное число правил, с помощью которых из аксиом (а также из множества допущений) выводятся другие законы. Например, в логике высказываний можно обойтись только одним правилом вывода (modus ponens), известным ещё Аристотелю: если A и A → B - выводимые формулы, то B также выводима. Данное правило зависит только от вида формул и может, в принципе, производиться некоторым автоматическим устройством. В первопорядковой логике (логика предикатов) добавляются ещё правила для кванторов. Доказательством называется такая конечная последовательность формул, где любая формула есть либо аксиома, либо непосредственное следствие из каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода (которые могут применяться неоднократно). Доказанная формула называется теоремой. К логической системе предъявляются некоторые требования, являющиеся её фундаментальными свойствами. Во-первых, требуется, чтобы все наши теоремы являлись тавтологиями. Это требование иногда называют теоремой о корректности. Отсюда следует фундаментальное свойство непротиворечивости. Противоречивая логика никакой ценности не представляет. В ней истина и ложь неразличимы, и поэтому любая теорема одновременно и истинна, и ложна. Во-вторых, желательно, чтобы были доказуемы все тавтологии. Это требование называется теоремой о полноте. По существу, здесь говорится о том, что логических средств, то есть аксиом и правил вывода, вполне достаточно для доказательства всех тавтологий. Таким образом, достигается главная цель: используя минимальные средства, можно обозреть всё множество логических законов данной логической системы. Теорема о корректности и теорема о полноте вместе дают теорему адекватности: формула Ф доказуема тогда, и только тогда, когда Ф тавтология. Таким образом, понятие логического закона как общезначимой формулы (тавтологии) и понятие логического закона как теоремы здесь совпадают. Или, более общо, понятие непротиворечивости и понятие полноты совместимы. Для классической логики высказываний теорема адекватности была опубликована в 1920 году Э. Постом, а для логики предикатов в 1930 году К. Гёделем. В зависимости от способа построения выводов и доказательств, применяемых в логических теориях, кроме гилбертовских исчислений рассматриваются также исчисления натурального (естественного) вывода и секвенциальные исчисления, введённые Г. Генценом в 1935 году. В секвенциальных исчислениях принципы дедукции задаются правилами, позволяющими переходить от одних утверждений о выводимости (секвенций) к другим утверждениям о выводимости. Эти исчисления приобрели особое значение при доказательстве различных метатеорем (непротиворечивость, полнота, разрешимость) и, главное, в отличие от гилбертовских исчислений, поясняют смысл употребления логических операций.

Трансформация физической картины мира, произведённая релятивистской теорией, чрезмерно усложнившийся математический аппарат и ряд других факторов закономерно привели к радикальному пересмотру многих фундаментальных философско-методологических основ научного познания. В начале XX века началось критическое переосмысление классической логики, детерминанты мышления которой (законы исключения противоречия и исключения третьего, принцип удаления двойного отрицания и другие) не согласовывались с новыми научными реалиями (бесконечность, относительность, нечёткость и так далее). Так, в 1907–1908 годах Л. Брауэр выступал с критическими замечаниями относительно классической системы формальной логики и сомнениями относительно её возможностей. В частности, он высказал идею о неприменимости закона исключённого третьего в рассуждениях о бесконечных множествах. Точная математическая мысль и строгие математические рассуждения основываются только на рациональной интуиции, включающей процесс умственного построения всех математических объектов, отказ от использования абстракции актуальной бесконечности и способность отчётливо различать и отождествлять конструируемые объекты. Программа интуиционизма была несовместима с аристотелевской формой логики. Для её реализации необходимой стала логика без закона исключённого третьего и принципа устранения двойного отрицания, то есть интуиционистская логика, которая была разработана А. Гейтингом в 1930 году.

В первой половине XX века в логике начинается процесс создания совершенно иных логических теорий, которые не являются новым изложением классических систем, создаются новые неклассические (недвузначные, или многозначные) разделы символической логики: трёхзначные, четырёхзначные, n -значные логические системы, в зависимости от целей и задач, стоящих перед разрабатываемыми логическими системами. Развитие символической логики явилось мощным стимулом для построения логических систем, средствами которых можно формализовать рассуждения с модальностями и их отрицаниями. Исследования в области модальной логики датированы пионерскими работами К. И. Льюиса, Я. Лукасевича, совместной работой К. И. Льюиса и К. Г. Лангфорда (1932), алгебраической интерпретацией модальной логики А. Тарского и Дж. Мак-Кинси (1948). Позже были построены трёхзначное исчисление Д. А. Бочвара (1938) с выделением осмысленных высказываний (истинных и ложных) и бессмысленных - с целью разрешения парадоксов классической символической логики, в частности элиминации парадокса Рассела; трёхзначная система Г. Рейхенбаха (1946) - для построения логики квантовой механики, и другие. В 1930-х годах в логике активно разрабатывалась металогическая проблематика, включающая вопросы синтактики (способов построения логических исчислений и формальных систем) и семантики (способов интерпретации логических исчислений и формальных систем), которые вполне закономерно были поставлены разработанной к этому времени экстенсиональной логики и для решения которых было вполне достаточно её средств.

Два значительных результата, полученные в начале 1930-х годов и названные ограничительными теоремами, заставили пересмотреть сами возможности и претензии логики.

Первый результат связан с исследованиями К. Гёделя. В работе «О формальной неразрешимости предложений Principia Mathematica и родственных систем» (1931) Гёдель строго доказал, что семантическое понятие логического следования для второпорядкового языка логики предикатов принципиально не может быть формализовано в исчислении. Данный результат интерпретируется как теорема о неполноте формализованной арифметики (первая теорема Гёделя о неполноте). Она утверждает, что для достаточно богатых формальных систем, содержащих минимум арифметики (операции сложения и умножения), найдётся такая формула Ф , что ни она, ни её отрицание не являются доказуемыми в этой системе при условии её непротиворечивости. Более того, вторая теорема Гёделя о непротиворечивости утверждает, что в качестве Ф можно взять утверждение о непротиворечивости рассматриваемой системы. Таким образом оказалось, что логицистская программа Гилберта, в том виде, в каком он её представил, не может быть реализована. Работы Гёделя радикально изменили предмет логики как науки. Теоремы Гёделя выходят за рамки собственно логической проблематики, так как стали методологическими постулатами в области математики, философии, психологии, лингвистики и других сфер знания, которые прямо или косвенно связаны с проблемой обоснования строгости мышления. Философское значение теорем Гёделя определяется доказательством невозможности полной формализации мышления и знаний. Они продемонстрировали также известную ограниченность аксиоматического метода, применяемого не только в логике и математике, но и в физике (в частности, для построения таких её разделов, как механика, термодинамика и электродинамика), математической лингвистике и других дисциплинах.

В свою очередь, в 1933 году А. Тарский в работе «Понятие истины в формализованных языках» (1933) проанализировал логико-семантические возможности формальных методов исследования, выделив уровни метаязыка и объектного языка, и впервые формально-правильно и материально-адекватно определил понятие истины для формализованных языков (задал способ определения множества истинных выражений формализованных языков). Он обосновал тезис о невозможности исчерпывающе отобразить семантические понятия посредством понятий синтаксических, что свидетельствовало о несостоятельности программы редуцирования логического языка науки к синтаксису. Опираясь на понятие истинности в формализованных языках, Тарский в 1936 году вводит центральное для логики понятие отношения логического следования.

Тем самым, логическая семантика, принципиально несводимая к синтаксису, получила право на автономное существование. Логико-синтаксические результаты Гёделя и логико-семантические результаты Тарского сделали очевидными ограниченные возможности замены содержательного рассуждения формальным выводом.

С точки зрения развития логической семантики, новейшую историю символической логики можно разделить на два периода:

1. Исследования экстенсиональной семантики , которые начал К. Гёдель и закончил А. Тарский (в середине 1930-х годов).
2. Исследования интенсиональной семантики , начавшиеся с разработок С. Крипке.

Разработка строгой экстенсиональной семантики не могла не предшествовать возникновению строгой интенсиональной логической системы. Законы экстенсиональной логики (оперирующей понятиями «истинностное значение» на уровне логики высказываний и «объём» (или «класс», или «множество») на уровне логики классов, или предикатов) можно охарактеризовать как действительные в каждой соответствующей теоретико-множественной структуре. При наличии экстенсионального языка такую структуру можно рассматривать как модель логически возможного состояния «мира». Идеи экстенсиональной логики Фреге - Тарского были основополагающими вплоть до появления в 1960 году модальной семантики Крипке - первого интенсионального расширения теоретико-множественной семантики Тарского. Модальная логика Крипке представляет собой упорядоченный класс экстенсиональных структур, моделирующих «возможные миры».

Развитие интенсиональных семантик приближает логику к реальному содержательному мышлению, а значит, к человеческой деятельности в целом. Разработав языки высокой степени обобщённости, логика вернулась к материалу естественных языков с их нерегулярным разнообразием, так как появилась необходимость в расширении сферы формализуемых данных. Обращение к естественным языкам потребовало пересмотра многих тезисов классической логики, включая проблему истинности. Семантика модальной логики может быть только интенсиональной, так как экстенсионалы высказываний, то есть их истинностные значения, определяются в ней не только для одной (реальной) ситуации, но и на множестве других ситуаций. Но в ней ограничено число интенсиональных операторов, то есть модальную логику можно использовать для моделирования только некоторых видов интенсиональностей (необходимость и возможность). Неадекватность классического толкования понятия логического следования эксплицируется экстенсиональной трактовкой выводимости, которая очевидно противоречит реальной практике рассуждений и не согласуется с многими формальными матрицами исторической традиции (интенсионально - содержательно - понимаемых условных связей, контрфактических высказываний, интерпретаций интенсиональных контекстов и так далее). Реакцией на данное несоответствие между формально-логическими структурами вывода и выражаемой им содержательной связью стала разработка теории релевантного (буквально «уместного») следования, являющегося адекватной, то есть интенсиональной, интерпретацией понятия логического следования в рамках релевантной логики.

Системы релевантной импликации используются для решения ряда методологических проблем, связанных с преодолением трудностей в логических моделях дедуктивного объяснения, уточнением понятия номологического высказывания, нетривиальность которых (то есть отсутствие характеристики «быть логической тавтологией», так как её наличие не позволяет отличить общие высказывания, выражающие законы, от истинных общих высказываний, не выражающих законов) определяется наличием смысловой связи между антецедентом и консеквентом импликации и так далее. Современная формальная логика состоит из большого числа логических теорий, систем, направлений в исследованиях, предметно-функциональный статус которых определяется спецификой фрагментов содержательного мышления.

Структура современной логики включает:

1. базисную логику, в которую входят классическая логика и неклассическая логика;
2. металогику.

Логике свойственна экстенсивная (за счёт появления новых разделов и направлений, поиска новых приложений логических исчислений и так далее) и интенсивная (за счёт развития систематизации, всевозможных интерпретаций и так далее) тенденции развития. Это затрудняет её более точное структурирование.

Фундаментальную основу современной логики (классической и неклассической) составляют:

1. Логика высказываний.
2. Логика предикатов, строящаяся на основе исчисления высказываний и расширяющаяся путём добавления к системе кванторов и индивидных переменных.
3. Модальная логика, строящаяся на основе логики высказываний и логики предикатов и расширенная путём присоединения к системе модальностей (модальных операторов).

Логика высказываний и логика предикатов составляют алгебру современной классической логики. Алгебра логики в её современной интерпретации занимается исследованием:

• операций с высказываниями, то есть предложениями, характеризуемыми только одним свойством - истинностным значением (истина или ложь);
• высказываний-функций, которые могут принимать значение «истина» или «ложь» в зависимости от значения переменной, входящей в высказывание-функцию.

Логика высказываний представляет собой логическую систему (исчисление), средствами которой осуществляется формализация рассуждений, основанных на истинностных отношениях между высказываниями, которые рассматриваются в отвлечении от их субъектно-предикатной структуры (вне их конкретного содержания). В ней определяются:

• основные логические операции над высказываниями: конъюнкция (грамматический аналог - союз «и»), дизъюнкция («или»), импликация («если, то»), эквиваленция («если и только если»), отрицание («неверно, что»);
• понятие правильно построенной формулы;
• понятие логического вывода.

Логика предикатов представляет собой дальнейшее расширение алгебры логики. Она включает в себя всю логику высказываний и вводит новое логическое понятие - предикат (признак). Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, структурирует простое высказывание на субъект и предикат. Отношение между субъектом и предикатом может быть представлено в виде высказывательной формы «X есть P », в которой предикат становится функцией субъекта и выражает свойства субъекта. Например, предикату «быть основоположником логики» можно поставить в соответствие множество из одного элемента: Аристотель, при котором высказывание будет истинным, при других подстановках (Фреге, Рассел и другие) высказывание будет ложным. Данный предикат, являясь функцией от одной переменной P (x ), называется одноместным. Двухместным предикатом является функция двух переменных P (x , y ). Например: «Аристотель был современником Демосфена». Различают также n -местные предикаты. В логике предикатов даётся определение логических операций над предикатами (конъюнкции предикатов, дизъюнкции предикатов, отрицания предиката, импликации предиката, кванторные операции); вводится понятие формулы логики предикатов, задаётся алгоритм определения значения формулы, выявления общезначимости и выполнимости формул.

Модальная логика может быть только неклассической, так как является многозначной системой (по меньшей мере, трёхзначной).

Отдельные разделы современной логики используются для анализа различных философских проблем. Недостаток средств для адекватного формально-логического выражения той или иной проблемы приводит к разработке новых логических исчислений. Например, появление и дальнейшее развитие временной (темпоральной) логики было инициировано необходимостью анализа историко-философских текстов. А. Н. Прайор построил первую временную логику для анализа «главного аргумента» Диодора Кроноса, выдвинувшего аргументы против возможности отображения в понятийном мышлении движения, любого изменения, в частности, против толкования изменения как трансформации возможного в действительное. Исследования логических структур прескриптивных (предписывающих, нормативных) рассуждений в работах А. Хааса, К. И. Льюиса, Р. Тейлора, Айера, Г. Кастенды, А. Ивина и других привели к созданию деонтической логики.

Важным разделом современной логики является металогика (см. ), в которой исследуются различные проблемы, относящиеся к логическим теориям. Основными здесь являются вопросы о тех свойствах, которыми обладают логические теории: о непротиворечивости, полноте, наличии разрешающих процедур, независимости исходных дедуктивных принципов, а также о различных отношениях между теориями и так далее. В этом смысле металогика является своего рода саморефлексией логики относительно своих построений. Все метатеоретические исследования проводятся на специальном метаязыке, в качестве которого используется обычный естественный язык, обогащённый специальной терминологией и метатеоретическими дедуктивными средствами. Металогические исследования в современной логике выдвинулись на прагматический уровень. Прагматические исследования не имели никакого строго технического воплощения вплоть до 1959 года, когда Р. Монтегю начал реализацию проекта по изучению проблемы истины не только при определённой интерпретации (уровень семантического исследования), но и в определённой ситуации использования (уровень прагматики). В связи с развитием информатики, программирования и исследованиями в области искусственного интеллекта особую значимость обрели новые аспекты логики, определяемые её прикладным значением. Развитие компьютерных технологий и сетей потребовало соответствующего логического обеспечения: углублённого логического анализа естественных языков, разработки специальных языков для баз данных и для представления знаний.

Логическая методология является ещё одним разделом современной логики. Как правило, в системе научно-ориентированных дискурсов методологию (см. ) подразделяют на общенаучную, в рамках которой изучаются познавательные приёмы, применяемые во всех областях научного знания, а также методологию отдельных наук: методологию дедуктивных наук, методологию эмпирических наук, а также методологию социального и гуманитарного знания (см. ). Во всех этих разделах логическая методология участвует в качестве специфического аспекта исследования. Так, в общей методологии к числу логических аспектов относится исследование таких познавательных приёмов, как выработка и формулировка понятий, установление их видов и различных способов оперирования с понятийными конструкциями (деление, классификация - см. ), определения терминов и так далее.

Наиболее значительные успехи достигнуты в области методологии дедуктивных наук. Это было обусловлено как построением самой логики в форме дедуктивного аппарата, так и использованием этого аппарата для обоснования такой дедуктивной дисциплины, как математика. Всё это потребовало разработки существенно новых познавательных методов и введения новых методологических понятий. В ходе проводившейся здесь работы удалось, например, так обобщить понятие функции, что оно перешло фактически в разряд общеметодологических, теоретико-познавательных понятий. Теперь появилась возможность рассматривать не только числовые функции, но и функции любой другой природы, что позволило сделать функциональный анализ языка ведущим методом исследования языковых выражений. Удалось со всей тщательностью и строгостью отработать такие важные методы познания, как метод аксиоматизации и формализации знания. Впервые удалось в чёткой и при этом разнообразной форме задать теоретико-доказательные (дедуктивные) методы познания, разработать теорию выразимости и определимости одних терминов через другие в составе теорий, определить различными способами понятие вычислимой функции.

В настоящее время активно разрабатывается логическая проблематика методологии эмпирических наук. К этой области относятся исследования по построению и проверке гипотез (в частности, гипотетико-дедуктивному методу), анализу различных видов правдоподобных рассуждений (индукции и аналогии ), теории измерения . Здесь получены интересные результаты по вопросам соотношения эмпирического и теоретического уровней знания, процедурам объяснения и предсказания , операциональным определениям. Строятся различные модели эмпирических теорий, призванные прояснить их логическую структуру.

К числу общих методолого-логических принципов относятся и те законы и принципы познания, которые исследуются в рамках диалектической логики. Во многих случаях они выступают как некоторые предупредительные знаки о том, с какими неожиданностями возможно встретиться на пути познания. В области методологии эмпирического, а также социального и гуманитарного познания большое значение имеет различение абсолютной и относительной истины; в области исторического познания существенным становится требование о совпадении исторического и логического, что фактически означает обычное требование адекватности познания, перенесённое в сферу исторических дисциплин. В последнее время делаются попытки построения дедуктивных систем, в которых формализуются отдельные особенности диалектической логики.

Наиболее активное развитие современной логики происходит в сфере прикладной логики , объединяющей разработки и методы систематического использования логического аппарата для решения конкретных практических задач. При этом различаются отдельные направления прикладной логики и отдельные приложения логики. Для прикладной логики характерен акцент на систематичность и алгоритмизированность её методов и аппарата.

В XX веке активное развитие прикладной логики поначалу было связано с использованием аппарата алгебры логики (см. ) для проектирования контактно-релейных схем. Если вначале речь шла лишь о проектировании относительно простых электрических цепей, то впоследствии, с помощью этого аппарата и аппарата линейных логик , проектируются различные электронные микросхемы, имеющие высокую степень сложности. Стремительный рост числа областей, в которых используются микропроцессорная техника, и развитие элементной базы полупроводниковых устройств обогнали в определённый момент возможности их проектирования. Потребовалось развить соответствующие методы верификации таких устройств. Наиболее подходящим языком описания функционирования конечных автоматов послужила линейная временная логика . В настоящее время созданы и используются микропроцессоры, базовыми операциями которых являются элементарные логические выводы. Для понимания принципов их работы требуется знание первопорядковой логики . Эти процессоры используются преимущественно в интеллектуальных системах, требующих высокой скорости решения задач. В робототехнике используются микропроцессоры на базе нечёткой логики , так как она позволяет наиболее эффективно решать задачу управления движением различных механических устройств.

С появлением компьютеров, а затем и компьютерных сетей, значительно выросло число задач, для решения которых используется логика. Высокая сложность программ, выполняемых на компьютерах, потребовала разработки средств проверки их корректности. Это послужило толчком для активной разработки динамических логик . Как частный их случай стали разрабатываться и находить применение логики программ , которые возникли как один из видов динамических логик. Когда возникли задачи, связанные с разработкой средств их верификации и автоматического синтеза компьютерных программ, оказалось, что в современной полимодальной логике уже давно созданы необходимые математические средства. На семантическом уровне модальные операторы интерпретируются вычислительными операциями. Это позволяет корректно сформулировать предусловия и постусловия применимости процедур и функций. При таком подходе были построены логические аксиоматизации ряда языков программирования. Идеи интуиционистской логики и конструктивной логики , хотя и возникли задолго до появления первых компьютеров, в настоящее время также оказались востребованными. Реализованный в них принцип «существовать - значит, быть построенным» позволяет извлекать из доказательства существования некоторого объекта алгоритм его построения. Если мы можем доказать, что решение задачи существует, то мы можем и найти это решение. Алгоритм решения извлекается из структуры доказательства.

Объединение большого числа компьютеров в единые сети потребовало изучения условий их взаимодействия. Проблема заключалась в том, что каждый из компьютеров в этой сети хранит лишь небольшую часть совокупной информации. По каким правилам должен протекать обмен информацией в сети, чтобы взаимодействие было корректным? Для решения этой задачи используется многосубъектная эпистемическая логика . Такая же проблема возникла при построении многопроцессорных суперкомпьютеров, реализующих параллельные вычисления. В настоящее время для накопления и хранения разнообразной информации используются специальные программные системы, называемые базами данных. Чтобы накопленная информация была доступна для использования, необходимо уметь её извлекать. Для этого были созданы специальные языки запросов к базам данных. В основе таких языков лежит логика вопросов и ответов. Ни одна из существующих баз данных не является исчерпывающей, поэтому при построении ответа на запрос опираются не только на ту информацию, которая в явном виде хранится в базе данных, но и на отсутствие требуемой информации (например, если в базе данных не содержится явного указания, что из пункта A в пункт Б летают самолёты, - значит, авиационного сообщения между ними нет). Вопросы корректности такого рода выводов изучаются в немонотонных логиках .

Одним из подходов к написанию программ является логическое программирование . Стандартный процедурный подход определяет программу в виде последовательности действий, которые должен выполнить компьютер для решения конкретной задачи. Такой подход довольно трудоёмкий и имеет много недостатков. При подходе с точки зрения логического программирования достаточно лишь описать с помощью логически-ориентированного языка предметную область. Это и есть программа. Для её выполнения пользователь просто формулирует запросы к предметной области. Значительными преимуществами таких программ является их понятность и модульность. Наиболее известным языком логического программирования является Prolog (создан в 1971 году), основанный на языке предикатов математической логики. В нём ответ на запрос получается как побочный результат некоторого логического вывода. Интересным подходом в рамках логического программирования является семантическое программирование. В этом случае для ответа на запрос строится модель, выполняющая логическое описание предметной области и запрос к ней. В основе лежит уже не логический вывод, а процедура верификации формулы в модели. Возникновение этого языка дало мощный толчок для построения не только логических баз данных, но и баз знаний. Задача эффективного их использования потребовала создания новых типов компьютерных программ, получивших название экспертных систем . В зависимости от типа предметной области требуются различные способы рассуждений, в основе которых могут лежать вероятностная, нечёткая, многозначные, немонотонные и другие логики. Все они нашли применение в экспертных системах.

Однако далеко не все задачи могут быть решены по точным алгоритмам. Например, задача медицинской диагностики заболеваний выходит за рамки строгого описания. Тем не менее, особые алгоритмы решения таких задач существуют, и относятся они к области искусственного интеллекта . Вполне естественно, что значительная часть таких алгоритмов базируется на логике, которая в данном случае оказалась незаменимым инструментом. Как правило, системы искусственного интеллекта имеют базу знаний и механизм извлечения этих знаний с целью решения конкретных задач. Иногда говорят также о рассуждениях над базами знаний, поскольку считается, что решение задачи должно получаться в результате некоторого рассуждения, быть его продуктом. Для задания баз знаний и рассуждений над ними используется логика. Интересно то, что, в зависимости от типа предметной области, приходится использовать различные формализованные языки и различные правила логического вывода.

На протяжении длительного времени логика была обязательной дисциплиной университетского образования, то есть выполняла свою общекультурную задачу - пропедевтики мышления. Современная логика в полном объёме сохранила за собой эту дидактическую и учебно-методическую функцию. Однако развитие в последнее время мощного аппарата современной логики позволило ей стать и важной прикладной дисциплиной. Так, существенное использование логики отмечается в области оснований математики (метаматематики), лингвистики и информатики. Исследования в этих областях знания оказали определяющее воздействие и на становление самой современной логики, в силу чего можно говорить о значительном взаимовлиянии этих дисциплин. В последнее время логическая проблематика активно проникает и в иные сферы знания. Всё это указывает на идущий процесс логизации знания, который с течением времени будет усиливаться.

Недедуктивные рассуждения в логике

С развитием естественных наук и методов научного анализа, эпистемологических исследований, а особенно с появлением в последние десятилетия работ в области искусственного интеллекта, всё большее значение стали приобретать всевозможные недедуктивные рассуждения , или, в более узком смысле, приближённые (defeasible) рассуждения, которые поддаются логической формализации. В недедуктивных рассуждениях истинность посылок обеспечивает получение заключения, хотя возможно, что заключение окажется ложным. Зачастую это происходит при поступлении новой информации. Самыми известными классами подобных рассуждений являются вероятностные рассуждения, индуктивные рассуждения и немонотонные рассуждения.

Философы изучали природу подобных рассуждений, начиная с аристотелевского анализа диалектических рассуждений в «Топике». Исторически наиболее значительным трудом в этой области является книга Дж. С. Милля «Система логики», изданная в 1843 году. В ней отвергается силлогистика Аристотеля и предлагается новая парадигма получения знания: не «от всеобщего к частному» (дедуктивные рассуждения), а «от частного к всеобщему» (индуктивные рассуждения). В 1902 году Ч. С. Пирсом вводится третий вид рассуждений - абдуктивные рассуждения: «от наиболее приемлемой информации к наилучшему объяснению». Эти рассуждения становятся важным компонентом научного метода. Кризис логического позитивизма в середине XX века привёл к отказу от рассмотрения физического мира как логической конструкции, состоящей из фактов о чувственных данных. Взамен был предложен новый взгляд на взаимоотношение между чувственным восприятием и внешним миром. Р. Чизхолм, начиная с 1957 года, стал развивать теорию, что чувственные явления дают хорошие, но приближённые рассуждения для веры в соответствующие факты о физическом мире.

Начиная с 1967 года идеи Чизхолма были развиты Дж. Л. Поллоком, утверждавшим, что на основании всех фактов, которыми мы располагаем, заключение считается обоснованным, если оно подтверждено не опровергнутым рассуждением, чьи посылки основаны на этих фактах. Всё это стало играть важную роль в современной эпистемологии не только в отношении к чувственному знанию, но также в отношении к другим источникам знания: к памяти, воображению и даже к свидетельствам. С пионерской работы Дж. М. Маккарти и П. Дж. Хэйса «Некоторые философские проблемы с точки зрения искусственного интеллекта», вышедшей в 1969 году, началась эра развития логических систем для искусственного интеллекта. В этой работе был развит формальный язык под названием «исчисление ситуаций» для применения в экспертных системах, пытающихся моделировать изменения и взаимосвязи среди области объектов и действующих лиц. Впоследствии Маккарти вводит логический принцип очерчивания (circumscription): предположение о том, что реальная ситуация настолько свободна от ненормальностей и странностей, насколько позволяет предположить наше знание данной ситуации.

В 80-е годы XX века появляются различные системы приближённых рассуждений для применения в системах искусственного интеллекта: логики умолчаний, немонотонных модальных логик, автоэпистимических логик (моделирующих чисто интроспективные рассуждения), формализации оператора «всё, что я знаю». Однако даже в формализованных системах приближённых рассуждений возникают серьёзные проблемы с теоремой дедукции, с понятием отношения логического следования, а вопрос о теореме адекватности зачастую вообще не ставится, поскольку класс истинных высказываний не является рекурсивно перечислимым. В итоге, главной функцией логики, используемой в искусственном интеллекте, является следующее: логика не говорит о том, как человек рассуждает, а лишь указывает, как следует правильно рассуждать и как не следует рассуждать; то есть логика здесь носит нормативный характер.

Основные проблемы логики

Первая проблема логики состоит в том, что считать границами логики . Уже ограничительные теоремы К. Гёделя и А. Тарского говорят о том, что если мы стремимся сохранить свойство дедуктивной полноты и положительное понятие истинного высказывания, то мы должны ограничиться первопорядковой логикой QL. Только в 1969 году П. Линдстрем дал характеризацию QL в терминах её глобальных теоретико-модальных свойств, которыми являются компактность и наличие несравнимых моделей (теорема Левенгейма - Скулема). Эта работа стала образцовой для наиболее важных исследований в логике последней четверти XX века. Ограниченность выразительность средств QL очевидна: она не может дать определение натурального числа, не отличает конечного от бесконечного, счётного от несчётного. К тому же оказалось, что многие лингвистические понятия и дистинкции выходят далеко за сферу применения QL. Поэтому стала применяться квалификация по множествам объектов и самим предикатам; то есть вводятся новые кванторы, а также допускаются инфинитарные языки. Однако как бы мы не расширяли QL, в любом случае теряется или свойство компактности, или свойство Левенгейма - Скулема, или оба вместе. Дедуктивная полнота пропадает. В результате, в конце XX века стал обсуждаться вопрос о границах логики, о том, что считать логическими операциями, логической системой и, вообще, что есть логика, поскольку расширение QL ведёт к тому, что вся, или почти вся, математика становится частью логики.

Вторая проблема касается соотношения логических систем с реальным миром . Если здесь есть связь, то весьма отдалённая и пока не выясненная. Современное исследование самих логических систем приобретает всё более абстрактный характер. С одной стороны, интерес представляют уже не отдельные логические системы, какими бы богатыми возможностями они ни обладали (классическая логика, интуиционистская логика, отдельные модальные логики и другие), а классы логик, зачастую континуальные и упорядоченные решёточным образом. Изучаются свойства этих решёток. С другой стороны, логика всецело имеет дело с классами структур и с некоторыми условиями замыкания на этих структурах. Тогда главным становится определимость классов структур в некоторой логике, их связи и сравнение, например определимость топологической структуры.

Вероятно, больший смысл имеет вопрос об алгебраических структурах , которые соответствуют логическим исчислениям . А. Тарский в 1935 году детально определяет связь между булевой алгеброй и классическим пропозициональным исчислением, основываясь на оригинальной идее А. Линденбаума (1926), получившей название «алгебры Линденбаума». В середине XX века Л. Хенкином, Р. Сикорским, Е. Расевой и другими было осознано, что этот метод может быть применён и к прочим логикам. В 1989 году В. Блоком и Д. Пигоцци понятию «алгебраизуемая логика» даётся точное математическое определение. Внутренним свойством логики, делающим её алгебраизуемой, является (обобщённая) теорема адекватности. В итоге, в конце XX века появился термин «абстрактная алгебраическая логика», а соответствующие алгебраические представления были найдены и для силлогистики, и для логики предикатов. Булева алгебра есть результат алгебраизации классической логики высказываний. Если в последней при доказательствах применяется правило modus ponens, то в алгебраических доказательствах в тождествах вместо одних терминов подставляются другие термины. По сути, эти два способа рассуждений эквивалентны, но именно логический способ ставит фундаментальную проблему: насколько дедуктивная логика соответствует тому, как человек на самом деле рассуждает? Современная дедуктивная логика является максимальным упрощением и сильным огрублением умственных операций человека, всего лишь некоторой конструкцией, слишком отдалённой от реальных процессов человеческих рассуждений. Однако эта конструкция весьма эффективно работает. В середине 30-х годов XX века было обнаружено, что логика, основанная на принципе двузначности, имеет прямое отношение к работе переключательных электрических схем (В. И. Шестаков, К. Шеннон, А. Накасима), и в дальнейшем она легла в основу проектирования микросхем для электронной цифровой техники. Дополненное характеризацией вычислимости, предложенной А. Тьюрингом, А. Чёрчом и К. Гёделем, это открытие привело в середине XX века к созданию компьютеров. В течение последних десятилетий многие теоретические идеи автоматического доказательства были воплощены в компьютерных программах - так называемых пруверах . Эти программы осуществляют поиск выводов в различных логических исчислениях. Таким образом, отношение логического следования было симулировано этими программами (алгоритмами). Так в 1970-е годы появился термин «компьютерная логика». Однако между компьютерным доказательством и доказательством человека лежит целая пропасть; к преодолению этой пропасти отчасти ведёт проект создания искусственного интеллекта .

В настоящее время активно дискутируется следующая проблема: может ли логика действительно стать основанием искусственного интеллекта? И если да, то какая логика? Здесь имеются серьёзные трудности. Во-первых, логическая дедукция является дискретным процессом, чего нельзя однозначно сказать о человеческом мышлении. Во-вторых, вычислительные способности человека намного «сложнее» машины и, главное, человек оперирует абстрактными объектами, чего нет в компьютерной логике. Наконец, обнаружение Гёделем абсолютно неразрешимых арифметических предложений, то есть таких, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, говорит о существенном ограничении вычислительных возможностей машин. Зачастую утверждается, что человек использует такие процедуры (методы вычисления), которые не могут быть смоделированы машиной Тьюринга (теоретическим аналогом современного компьютера). Однако проблема заключается в том, чтобы представить в явном виде примеры подобных вычислительных процессов. Если идеальный человек есть машина Тьюринга, то он не сможет знать, которой из машин Тьюринга он является (в силу тезиса Чёрча - Тьюринга все машины Тьюринга эквивалентны). Отсюда возникает классическая проблема о границах человеческого познания и снова о границах логики. Тем не менее, обсуждение этих теоретических проблем не помешало исследователям, начиная с 1959 года, приступить к разработке «логики здравого смысла» (термин Дж. Маккарти) как основы для систем искусственного интеллекта. В качестве основной ставится задача формализации обыденных рассуждений, возникающих при обсуждении и решении каждодневных проблем. Свойство монотонности дедуктивных рассуждений, при котором, если Ф следует из множества посылок Г , то Ф следует из любого непротиворечивого расширения Г , является главным препятствием для достижения этой задачи.

Кризис логики и проблема её оснований

В последнее время остро ставится вопрос об основаниях логики, в связи с чем в западной литературе интенсивно обсуждаются следующие проблемы:

1. Что есть логическое следование?
2. Что есть логические понятия (операции)?
3. Что есть логическая система?
4. Что есть логика?

Ровно через сто лет после выхода в свет широко известной работы Г. Фреге «Исчисление понятий» (1879), где вводится идея формальной системы, в которой демонстрации должны осуществляться посредством явно сформулированных синтаксических правил, - после ста лет триумфального развития логики как самостоятельной науки, вдруг появляется статья Я. Хэкинга под названием «Что есть логика?» (1979). Эта статья положила начало целому ряду работ с аналогичным названием. Необычное многообразие логических систем, порождаемое, с одной стороны, серьёзной критикой «основных» и не только основных законов логики, с другой стороны, почти неограниченное расширение понятия логической истинности, или даже отказ от этого понятия, различные спецификации понятия логического следования, безуспешные попытки смоделировать хотя бы зачатки искусственного интеллекта и дискретный характер всевозможных вычислительных устройств, в том числе компьютеров, - всё это постепенно привело к выводу о кризисе логики. И не только это. Было обращено внимание и на крайне малую эффективность преподавания логики (когда даже простейший метод истинностных таблиц вызывает непреодолимые препятствия), а там, где логика вообще не преподаётся (как для физиков и биологов), или очень ограничено (как для математиков), - это ничуть не мешает их выдающейся интеллектуальной деятельности.

Попытки определения некоторых оснований логики, пусть это будет «минимальная» логика (А. Чёрч, Х. Карри и другие) или «базисная» логика (Г. Баттилотти и Г. Самбин; П. Хаек), или «абстрактная» логика (Д. Браун и Р. Сушко), или «универсальная» логика (Ж. Безъе), и тем более логика Я. Хинтикки с независимыми кванторами, - всё это упирается в серьёзную проблему допущений, на которых основывается исходный базис. Например, здесь под абстрактной логикой понимается пара (A , C ), где A есть абстрактная алгебра, а C есть абстрактная операция присоединения следствий. Один из выходов из создавшегося положения предложен В. И. Шалаком (2010), который выделяет некоторое протологическое ядро, которое априорно лежит в основе человеческих рассуждений и не основывается ни на каких допущениях. Для этого необходимо вначале выделить ту естественную среду, которая априорно детерминирует некоторые исходные (прото) схемы рассуждений. Такой средой является естественный человеческий язык, в котором оформляются все полученные знания. Но при этом «мы должны отвлечься от всякой специфики конкретных языков (будь-то греческий, санскрит, китайский, арабский, английский, русский и так далее) и взглянуть на них лишь как на абстрактные знаковые системы». Только при таком подходе мы можем подойти к построению логики, освобождённой от всяческих онтологических и эпистемологических допущений. Исходя из этого вводится понятие протологического следования: из посылок Σ = {B1 , …, Bn } протологически следует выражение A , если и только если существует правило R , позволяющее на основании значений посылок Σ определить значение выражения A . Далее строится протологика - система правил знаковых преобразований - аналогов логических умозаключений.

Протологику можно представить как пару, где имеется множество абстрактных знаков, структурированное операцией взятия в скобки. Дедукция осуществляется с помощью следующих трёх правил:

1. правила введения констант;
2. правила построения термов;
3. правила замены на основе ранее принятых определений.

Оказалось, что протологика в строго определённом смысле полна относительно комбинаторной логики и лямбда-исчисления Чёрча, а это означает ни много, ни мало, что в протологике выразимы все эффективно вычислимые функции. Многие математические объекты оказались имплицитно содержащимися в абстрактных языковых структурах. Таким образом, нет ничего удивительного в том, что пространственно разделённые культуры приходили к одним и тем же вычислительным математическим структурам. Им для этого не требовалось никакой развитой логики, а требовалось всего лишь владение собственным языком. Вычислимость - главное свойство протологики. В итоге, получается реализация программы Лейбница: рассуждения заменяются вычислениями.

В целом это объясняет многое, но не всё. По существу получается ещё одно подтверждение того, что рассуждения человека происходят в рамках тезиса Чёрча - Тьюринга. Это не объясняет такие феномены как озарения, вспышки сознания, гениальные выводы, противоречащие всему, что было сделано до этого, и тому подобные. Следовательно, существуют другие логические процессы, которые в отличие от логической дедукции, являющейся дискретным и конечным процессом, основаны на восприятии бесконечности, которая схватывается мгновенно, что в пошаговом рассуждении недоступно. Недавно Р. Пенроуз и другие исследователи аргументировали, что есть человеческие процедуры (методы вычисления), которые не могут быть смоделированы машиной Тьюринга. Но если сила человеческого разума превосходит любую машину, тогда он каким-то образом постигает истину, не доступную машине. Так считает и К. Гёдель в своих неопубликованных работах.

К ОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

п о к у р с у «Л О Г И К А»

введение

«Там же, где (образование) начина­лось с Аристотеля, тотчас же дело сопровождалось великими техниче­скими открытиями и расширением человеческой мысли».

(Ф.М. Достоевский)

Формирование и развитие логико-риторической культуры у студентов яв­ляется важной составляющей гуманитарного образования. Умение точно опре­делять предмет мысли, корректно формулировать вопрос или задание, ярко и доходчиво излагать суть дела, уметь общаться и отстаивать свои убеждения не­обходимо каждому образованному человеку.

Люди охотно жалуются на то, что им не хватает денег, времени и здоро­вья, что они мало общаются и редко отдыхают, но они не говорят о «нехватке логики», интуитивно соглашаясь с её общезначимостью и полагая, что ею об­ладают все. Один из мыслителей по этому поводу остроумно заметил, что ум между людьми распределен примерно одинаково, так как на его нехватку никто не жалуется. Однако «логичность рассуждения» не является врожденным каче­ством человека, как, впрочем, не является и недостижимым искусством. Логике можно и нужно учиться. Тем более что, «научившись логике», легче учиться всему остальному, ибо логика «учит учиться». «Логика - Бог мыслящих» (Л.Фейхтвангер). А Бог, как известно, сила деятельная и креативная, т.е. твор­ческая. Таким образом, логика выступает одним из условий интеллектуального творчества, в том числе и технического.

Логика относится к числу наиболее прогрессирующих гуманитарных на­ук второй половины XX века. Она представляет собой развитую научную дис­циплину, имеющую десятки направлений. Каждая из «логик» (классическая, диалектическая, математическая, неклассическая и др.) имеет свой предмет и сферу приложения, но все они базируются на классической логике, основанной Аристотелем. Среди других «логик» она занимает особое положение, посколь­ку ей принадлежит исторический приоритет в анализе познавательных способ­ностей человека и выявлении структуры и законов мышления. Мышление в ло­гической системе Аристотеля предстает как отражение действительности в соз­нании человека в виде понятий, суждений и умозаключений, а речь - как про­дукт мыслящего ума. Разработанный в логике аппарат используется в различ­ных сферах жизни: научной, технической, педагогической, политической, юри­дической, религиозной, художественной, нравственной, управленческой и др.

Расширение области логических интересов связано с общими тенденция­ми развития научного знания. Так, возникновение математической логики в середине XIX века явилось итогом многовековых чаяний математиков и логи­ков о построении универсального символического языка, свободного от «не­достатков» естественного языка (прежде всего его многозначности, т.е. поли­семии).

Дальнейшее развитие логики связано с совокупным использованием классической и математической логики в прикладных областях. Широкий спектр практических проблем требовал усложнения и разнообразия логических систем и средств, эксплицирующих работу сознания. Неклассические логики (деонтическая, релевантная, логика права, логика принятия решений и др.) час­то имеют дело с неопределенностью и нечеткостью исследуемых объектов, с нелинейным характером их развития. Так, при анализе достаточно сложных за­дач в системах искусственного интеллекта возникает проблема синергизма раз­личных типов рассуждения при решении одной и той же задачи. Перспективы развития логики в русле сближения с информатикой связаны с созданием опре­деленной иерархии возможных моделей рассуждения, включающих рассужде­ния на естественном языке, правдоподобные рассуждения и формализованные дедуктивные выводы. Это решается средствами классической, математической и неклассической логик. Как видно, «все возвращается на круги своя» и, начав с попытки исключения естественного языка из сферы технического знания, со­временное логическое программирование ищет варианты сочетания искусст­венного и естественного языков. Таким образом, речь идет не о разных «логи­ках», а о разной степени формализации мышления и «размерности» логических значений (двузначная, многозначная и др. логика).

В гносеологическом плане наибольшие логические результаты получены в области диалектической логики и классического этапа науки. По образному выражению одного из классиков, отношение аристотелевской логики к диалек­тической аналогично отношению арифметики к высшей математике. Статус классической логики как «арифметики мышления» ни в коей мере не должен ни смущать, ни порождать иллюзию лёгкости. Арифметика, грамматика, логика - базовые дисциплины, первый познавательный опыт человека. Искусство счета и слова необходимо предполагает искусство мысли. Остальное - дело времени, желания и усилий.

Данное учебное пособие имеет своей целью помочь в изучении логики и в овладении основными навыками логических действий. В первую очередь оно адресовано тем студентам, чья будущая профессия связана с интеллектуальной деятельностью, с системным, доказательным мышлением. Оно призвано подго­товить к усвоению основных направлений современной логики:

общей, или классической логики;

символической, или математической логики;

неклассической логики.

Все эти области логического знания связаны внутренне, поскольку все исследуют разрешающие способности мышления. При этом, любое обращение к символической или неклассической логике потребует хотя бы общих пред­ставлений о классической логике. Она образует корни «логического древа» и по-прежнему царит в естественном языке. От неё зависит, как мы определяем предмет мысли или разговора, классифицируем объекты, устанавливаем родо­видовые отношения, различаем истину и ложь, задаем вопросы и отвечаем на них, рассуждаем и доказываем, аргументируем и опровергаем, позволяем или не позволяем манипулировать своим сознанием. Поэтому изучение логики на­чинают с формальной логики.

Уже более двух с половиной тысяч лет, возникнув в Древней Греции, ло­гика обучает людей правильному мышлению, искусству точного и красивого выражения. Преподавая логику за границей, автору этих строк случалось сожа­леть о том, что у нас были утрачены традиции логического образования и что наши студенты были лишены возможности постигать логику. Теперь логика вернулась в аудитории и у Вас такая возможность есть.

Используйте её!

предмет и значение логики

Что такое логика?

Мышление и язык.

Формы и законы мышления.

Символический язык. Исчисление предикатов.

Контрольные вопросы.

Предмет логики

Данная глава имеет установочный характер. В ней содержится общая ха­рактеристика предмета логики, основных этапов её развития, символического языка, основных понятий (формы мысли, закона логики) и проблем, которые будут анализироваться в последующих главах.

1.1. Что такое логика?

Слово «логика» в переводе с греческого (от гр. 1одов) означа­ет «слово, понятие, разум, рассуждение». Сам перевод явля­ется по сути дела сжатым определением предмета логики. Логика - это наука о формах и законах правильного мышления. «Слово», «поня­тие», «разум», «рассуждение» - всё это имеет прямое отношение к мыслитель­ной деятельности. Дальнейшее пояснение того, что изучает логика, связано с анализом этих понятий, а также с ответами на вопросы:

а) чем наука о мышлении отличается от «не-науки»?

б) какие науки изучают мышление и чем они различаются?

в) что такое «форма мысли»?

г) что такое «закон правильного мышления»?

д) бывает ли неправильное мышление?

Итак, логика изучает одну из систем человеческого организма - интел­лектуальную систему или систему мышления. Эта система, как и все остальные (обмен веществ, кровообращение, психическое реагирование), является функ­цией одного из материальных органов человеческого тела - мозга. Мышление без мозга невозможно. Однако природа мышления иная, чем, скажем, у процес­са пищеварения или работы печени. Продуктом деятельности печени является материальное вещество - желчь. Продукт мышления - мысль, не является ма­

териальной. Она - идеальна, т.е. существовать в отрыве от мозга (разумеется, в чистом виде, а не в форме слова или текста) не может. Желчь зрима, т.е. ощу­тима. Мысль - незрима, она не воспринимается непосредственно органами чувств. Мысль «отдельно от мозга» - это гоголевский «Нос», гуляющий по Невскому проспекту. Итак, мышление по природе своей - идеально. И эта «при­рода» указывает на предназначение мышления.

Человеческое мышление - не «каприз» эволюции, и не автономная сис­тема человеческого организма. Оно является одним из способов адаптации че­ловека во внешней среде и координации человеческой деятельности. «Логиче­ская» адаптация достигается знаниями о мире и их глубиной. Получение зна­ний о мире называется познанием. Оно может протекать в разных формах: чув­ственное познание, абстрактное мышление, интуитивное озарение и др. (см. рис. 1).

Ч у в с т в е н н о е п о з н а н и е - предпосылка всех остальных. Это - непосредственное взаимодействие человека с внешним миром. Органы чувств (у «нормальных» людей их пять) 1 одинаковы у человека и высших животных и образуют первую сигнальную систему. Чувства - будто «клеммы», которыми человек подключен к внешнему миру и через которые он получает чувствен­ную информацию об этом мире. Они красочны, разнообразны, волнующе- увлекательны, но, увы, часто ошибочны, поскольку скользят по поверхности.

Изучение психической жизни человека интересно многим наукам и, пре­жде всего психологии. Общая психология исследует три основные формы чув­ственных переживаний: ощущение, восприятие и представление. Представле­ние - это итог и возможный предел чувственного познания. Его результатом является «образ» предмета. Он предполагает наличие памяти и сходство с ото­бражаемым. Представьте себе вкус «бабушкиного пирожка» и Вы поймете, что чувства «не стареют». А если Вы его забыли, то Вы не сможете его предста­вить.

Рис.1. Уровни и формы познания.

А б с т р а к т н о е 1 м ы ш л е н и е - это сила «интеллектуального реа­гирования». Опираясь на чувства, как на базу данных, оно позволяет человеку продвинуться глубже в познании мира, отвлекаясь от несущественных чувст­венных данных и сосредоточиваясь на главном, существенном, указывающем на причину. Абстрактное мышление - это логическое познание мира, опосредо­ванное чувствами и протекающее в разных формах: понятии, суждении, умо­заключении и др. Подобно тому, как все люди «чувствуют» в трех формах, они также, думая, всегда придают мыслям одну из логических форм. Их определе­нием мы займемся чуть позднее. А пока завершим наш анализ идеальной при­роды мышления. В мышлении идет переработка чувственной информации. Итогом и простейшей формой мысли является понятие. Оно - идеальный «про­дукт» и поэтому сходства с предметом не предполагает, зато предполагает зна­ние «существенного» о нем. Так, образ землетрясения и понятие «землетрясе­ние» различны. Образ фиксирует внешние характеристики и является описани­ем. Описать землетрясение может каждый. Понятие «землетрясение» отвечает на вопрос «почему?», «в чем суть этого феномена?» и доступно не каждому. Оно - результат логического анализа.

Уступая животным по остроте зрения, обонянию и т.д., человек превос­ходит их силой абстрактного мышления и сознательным характером своих дей­ствий. Человек нуждался во «второй линии обороны» от природы и он её соз­дал. Развиваясь и совершенствуясь, мышление стало не только орудием мыс- ли 2 , но и мощным оружием - «интеллектуальным гиперболоидом» инженера - Человека. Изучение интеллектуальной деятельности человека - предмет логи­ки. Взаимодействие основных форм познания отражено на рис. 2.

П О З Н А Н И
Последова­				Результат
тельность
познания и				практическое
				значение
		Чувственное	Образное,	Ответ на вопросы:
		Ощущение	непосредст-	«Как?», «какой?», «каким
		Восприятие		образом?»
		Воображе-		Чувственные данные, обра-
				зы, описания
		Представ-		Условие искусства (художе-
			внешним ми­ром	ственного, музыкального, литературного творчества) Основа эмпирических наук и естествознания (наблюде­ния, измерения, эксперимен­ты)
		Рациональное	Абстрактно-	Ответ на вопросы:
		Понятие	логическое,	«Почему?», «зачем?», «в
		Суждение	опосредован-	чем суть?»
		Умозаклю­
				Знания, мысли, суждения,
			Размышления	доказательства, терминоло-
		Проблема		гия, определения, аналогии,
		Гипотеза		классификации, обоснова­
			Переработка чувственных данных в теоретиче­ские знания	ния, опровержения, анализ, синтез, идеализация, дедук­тивные и индуктивные выво­ды Форма развития теоретиче­ского знания.

Рис. 2

Мысль и слово

2.2. Мышление и язык

Изучение взаимодействия человека с окружающим его ми­ром предполагает анализ второй сигнальной системы - речи или языка. Эта система отсутствует у животных. Естествен­ный язык тесно связан с абстрактной деятельностью. Мышление без языка не­возможно. Разумеется, чувственную информацию об объекте можно выражать

на языке жестов, мимики, рисунка и музыкальной ноты, однако «существен­ное», связанное с научным анализом причины оформляется в понятийной, сло­весно-логической форме. Поскольку мышление идеально, язык выступает сред­ством его материализации. При помощи разных грамматических форм он вы­ражает разные по логической форме мысли. Скажем, понятие выражается в слове или словосочетании («музыка», «туча», «персональный компьютер»), су­ждение - в предложении («эта туча - грозовая», «музыка является самым абст­рактным видом искусства», «компьютер - это вычислительное устройство»), а умозаключение в языке предстает в виде нескольких предложений, связанных по смыслу («поскольку музыка - прекрасна, то и это сочинение, которое явля­ется музыкальным, тоже прекрасно»).

Неразрывная связь мышления и языка «решает» проблему идеальной природы мышления, но создает другую - проблему смысла языковых выраже­ний и понимания. Процесс формирования абстрактного мышления у каждого человека - сложный, своеобразный, связанный со множеством факторов - вос­питательным, образовательным, социальным и др. Начиная формироваться в раннем детстве, с возрастом мышление обретает своё содержание и объем, а также средство его выражения - индивидуальную лексику. Детский лепет пере­ходит в связную речь. Помня о том, что «число» понятий равно «числу» знаний о мире, становится понятным, почему лексический запас (т.е. «развитость» ре­чи) указывает на коэффициент интеллектуальности (10), и почему 30 слов Эл- лочки-людоедочки не могут быть символом эрудиции.

Взаимосвязь мышления и языка имеет не только количественный аспект. Естественный язык - результат длительного процесса формирования, в ходе ко­торого образуется его многообразие и сложность, позволяющие в одной ситуа­ции одно и то же понятие называть одним словом, а в другой - другим. Так об­разуются слова - синонимы («Минск», «столица Беларуси»). Кроме того, мно­гим разным по смыслу понятиям в языке может соответствовать одно и то же слово («коса», «связь», «ключ», «пачка»). Такие слова называются омонимами. Они являются причиной многих логических ошибок, связанных с подменой смысла и многозначностью слов естественного языка. Лингвистические науки образуют третью группу наук, изучающих мышление, и во всех разделах грам­матики прослеживается параллель логики и лингвистики. Если понятие - эле­ментарная форма мысли, то простейшей лингвистической формой является сло­во.

Итак, проникая в тайны мироздания, человек продвигается от образа к понятию, а от понятия к слову. Но и на этом взаимодействие человека с миром не заканчивается. Испытывая на себе воздействие предметов и явлений окру­жающей действительности, человек, в свою очередь, воздействует на предметы мира в соответствии со своей логической программой и преследуя определен­ные цели. За словом следует дело, и большое число праксеологических наук ис­

следуют природу и характер человеческих действий. Основные этапы взаимо­действия Ч^М, где Ч - человек, М - мир, показаны на рис.3.

Рис.3.Взаимодействие человека и мира.

4 Воздействие на > органы чувств^

Ответное действие ^

Действие

Сознание человека, формирующееся на базе психики и мышления, вы­ступает теоретической программой его действий. Значит, можно попытаться не корректировать каждый отдельный поступок, а научиться «писать» нужные программы управления человеческим поведением, т.е. влиять на сознание. К этой цели в конечном итоге сводятся усилия многих наук, изучающих человека. Например, автору этих строк довелось как-то видеть телевизионную встречу ученых-экономистов с мировым именем, включая Нобелевских лауреатов в об­ласти экономики (Фридмана, Шмелёва, Сороса, Гелбрейта, Райхенбаха). Темой встречи было понятие «маркетинга». Поразительно, как безупречно точно и в то же время образно они определили это сложное экономическое понятие. Кратко суть сводилась к следующему рассуждению: «Что такое маркетинг? Это - война. Что такое война? Это битва за контролируемую территорию. Так би­лись Ирак и США за «поле влияния» - Кувейт. (В этот момент на экране появ­ляется рисунок земного шара и два человека с автоматами, символизирующими войну). Если маркетинг - война, то должен быть плацдарм, т.е. военная терри­тория. Где он? Это не война в Лондоне, Вашингтоне или Москве и т.д. И не ба­зар, и не толкучка. Эта война разворачивается в самом темном переулке, где нет тропинок и ясности. Это - человеческое сознание. Маркетинг - это «битва» за сознание. А значит, нужно знать, как захватить такой плацдарм, иначе говоря,

как проникнуть в человеческое сознание. Это не просто. Этому учит маркетинг. После этих слов прежняя «картинка» на мониторе заменяется другой. Вместо вооруженных противников появляются два «деловых» человека с дипломатами в руках, символизирующими «тихую» войну за сознание - маркетинг».

Логика является мощным орудием воздействия на человеческое сознание. «Убедить - значит победить». Она может иметь как «наступательный» харак­тер, так и «оборонительный», выступая своего рода интеллектуальным «защит­ным экраном» от чужого воздействия на сознание в ходе беседы, дискуссии или иной формы речевой практики.

Формы мысли

Итак,язык - знаковая система, обеспечивающая познавательную и ком­муникативную функции мышления.

Что же изучает логика как наука и почему она называется формальной?

Слово «логика» происходит от греческого logos , что означает «мысль», «слово», «разум», «закономерность». В современном языке это слово используется, как правило, в трех значениях:

для обозначения закономерностей и взаимосвязей между событиями или поступками людей в объективном мире; в этом смысле довольно часто говорят о «логике фактов», «логике вещей», «логике событий», «логике международных отношений», «логике политической борьбы» и т.д.;

для обозначения строгости, последовательности, закономерности процесса мышления; при этом употребляются выражения: «логика мышления», «логика рассуждения», «железная логика рассуждений», «в выводе отсутствует логика» и др.

для обозначения особой науки, которая изучает логические формы, операции с ними и законы мышления.

Объектом логики как науки является мышление человека. Но мышление - сложный, многосторонний процесс обобщенного отражения человеком вещей, их свойств и отношений окружающего его мира. Этот процесс изучается многими науками, например такими, как философия, психология, генетика, языкознание, кибернетика и др. Философия изучает происхождение и сущность мышления, его отношение к материальному миру и познанию. Психология изучает условия нормального (в соотношении с патологией) функционирования и развития мышления, влияние на него социально-психологической среды. Генетика стремится раскрыть механизм наследования людьми способностей к мыслительной деятельности. Языкознание интересуется взаимосвязью мышления с языком. Ученые-кибернетики пытаются сконструировать технические модели мозга и человеческого мышления. Логика же изучает процесс мышления с точки зрения его структуры мыслей, правильности и неправильности рассуждений, отвлекаясь от конкретного содержания мыслей и их развития.

Предметом логики являются логические формы, операции с ними и законы мышления.

Чтобы лучше понять предмет изучения логики, рассмотрим коротко процесс познания человеком окружающего его мира. Познание - процесс получения знаний о мире. Существуют два способа (источника) получения знаний:

чувственное познание - с помощью органов чувств и приборов;

рациональное (ratio - разум) - познание с помощью абстрактного 1 мышления.

В основе материалистической теории познания лежит теория отражения: вещи, явления объективного мира воздействуют на органы чувств человека, заставляют работать всю систему передачи информации в мозг (а также сам мозг), в результате чего у человека создаются образы этих вещей и явлений. Чувственные образы - это знания о внешних свойствах, сторонах вещей и явлений (видимых, слышимых, осязаемых и т.д.). Таковы, например, наши знания о том, что «сегодня дождливая погода»; «на моих часах половина четвертого»; «эта роза - красная»; «Петр сидит слева от Павла» и т. д.

Чувственное познание протекает в трех основных формах: ощущение (отражение отдельных свойств предметов), восприятие (отражение предмета в целом, это целостный образ предмета) и представление (сохранившийся образ предметов).

Но на ступени чувственного познания человек не может познать сущность вещей и явлений, их внутренние свойства. Как говорил Маленький Принц из одноименной повести А. де Сент-Экзюпери, «самого главного глазами не увидишь». Поэтому на помощь органам чувств приходит разум, или абстрактное мышление, которое отражает действительность в главных и существенных свойствах и отношениях.

В абстрактном мышлении познание мира происходит не явно, а опосредованно - без обращения к наблюдению, практике, а с помощью дополнительных рассуждений о свойствах и взаимосвязи предметов и явлений. Например, по термометру можно узнать о погоде; по следам, оставленным преступником на месте преступления, можно воссоздать картину преступления и найти преступника и т. п.

Одной из важнейших особенностей абстрактного мышления яв­ляются его взаимосвязь с языком: каждая мысль оформляется посредством слов и словосочетаний - «проговаривается» с помощью внутренней или внешней речи.

В процессе мышления человек не только отражает существующий мир, но может создавать новые идеи, абстракции, прогнозировать и предвидеть.

Рациональное или абстрактное мышление протекает в трех основных формах - понятия, суждения, умозаключения.

Понятие - форма мышления, с помощью которой создаются мысленные образы о предметах, их свойствах и отношениях. В процессе создания понятий человек анализирует интересующие его предметы, сравнивает их, выделяет существенные черты, синтезирует их, абстрагируется от несущественных, обобщает мысленно предметы по этим признакам. В результате создаются мысленные образы о предметах, их свойствах и отношениях. Например, отвлекаясь от многообразных индивидуальных свойств студентов, связанных с их национальностью, полом, возрастом и т.д., и выделяя главные свойства, можно сказать, что студент - это учащийся высших образовательных учреждений; ученик - тот, кто получает образование; а сам человек - тот, кто способен трудиться, мыслить, говорить.

Понятия играют большую роль в познавательной деятельности человека. С их помощью он может обобщать, соединять мысленно то, что в жизни существует раздельно, обособленно. В объективном мире не существует студента, ученика, человека вообще, эти обобщенные образы могут существовать только в идеальном мире, в голове человека.

Образование понятий дает возможность иметь знания о явлениях исходя из главных, существенных свойств класса подобных явлений. О том, что получилось бы, если бы люди не пользовались в общении между собой понятиями, красноречиво повествует Джонатан Свифт. Один мудрец, рассказывает автор «Путешествий Гулливера», предложил для выражения мыслей пользоваться в разговоре не понятиями о предметах, а самими предметами. Многие последовали этому «мудрому» совету. Правда, собеседникам приходилось таскать на плечах большие узлы с вещами. При встрече на улице они снимали с плеч мешки, открывали их и, достав оттуда необходимые вещи, вели таким образом беседу. Разумеется, такая «беседа» могла быть до крайности элементарной, если она вообще могла состояться.

Имея понятия о предметах, человек может судить о них (высказывать суждения) и делать умозаключения. Например, имея понятие о человеке и зная, что все живое рано или поздно умирает, мы мо­жем высказать суждение: «Всякий человек - смертен».

Суждение - форма мышления, в которой о предмете мысли что-то утверждается или отрицается. Суждениями являются также следующие высказывания: «Всякий ученик сдает экзамен», «Если студент не сдаст экзамены за первый курс, то не будет переведен на второй курс» и т. д.

Из суждений мы можем получать новые суждения. Например: исходя из суждения «Всякий человек смертен», можно утверждать, что «Некоторые смертные - люди» или отрицать: «Ни один человек не бессмертен». Если же мы свяжем суждение «Всякий человек смертен» с суждением «Сократ - человек», то можем чисто умственным путем получить новое суждение: «Сократ - смертен». Такая взаимосвязь суждений называется умозаключением:

Всякий человек – смертен

Сократ - человек

Сократ – смертен 2 .

В процессе построения понятий, суждений и умозаключений че­ловек может допускать сознательные и бессознательные ошибки. Чтобы избежать ошибок, необходимо знать правила мышления. Построенное по правилам (и законам) мышление называется правильным.

Правильное мышление - такое, в котором из исходных истинных знаний (понятий, суждений и умозаключений) всегда с необходимостью получаются новые истинные знания (новые понятия, суждения, умозаключения). В неправильном мышлении из истинных знаний могут получаться как истинные, так и ложные новые знания.

Например, исходя из суждений «Если шел дождь, то дорога будет мокрая» и «Шел дождь», можно с уверенностью сказать, что «Дорога будет мокрая». Но неправильно делать вывод: «Если шел " дождь, то дорога будет мокрая» и «Дорога мокрая», следовательно, «Шел дождь», так как дорогу могли просто полить. Неправильным будет рассуждение, когда из двух суждений «Если человек совершил кражу, то он совершил - преступление» и «Человек не совершил кражу» делается заключение «Человек не совершал преступление», так как человек мог совершить какое-либо другое преступление.

Вопрос о правильности умозаключений - это вопрос о правилах их построения, о правилах взаимосвязи отдельных мыслей (понятий, суждений, умозаключений). Именно этим интересуется логика как наука о мышлении. Поэтому ее называют «формальной логикой». Формальная логика отвлекается от конкретного содержания мыслей и их развития. Но она учитывает истинность или ложность исследуемых мыслей (в двузначной формальной логике учитываются два значения всякой мысли - «истина» и «ложь»; в многозначной формальной логике вводятся другие значения, например «неопределенно»). Иногда правильное мышление называют логичным - по названию науки, которая изучает эту сторону процесса мышления.

Вопрос об истинности (ложности) суждений - это вопрос о соответствии (несоответствии) того, что в нем утверждается или отрицается, объективному миру. Истинное суждение - такое, в котором верно отражается положение дел в объективной реальности (которое соответствует действительности). Например: «Москва - столица России», «Преступник - человек, который нарушает правовые и нравственные законы общества» и т. п. Ложное суждение такое, которое не соответствует действительности. Например: «Санкт-Петербург - столица России», «Преступник - праведный человек» и т. д. Вопросы о том, что такое истина вообще, как соотносится чувственное познание и абстрактное мышление в процессе достижения истины о предметах, изучает другая наука - философия.

Чтобы лучше понять предмет изучения логики и ее роль в познании и мышлении человека, необходимо остановиться более подробно на рассмотрении логической формы и законов мышления.

Логика как наука возникла в конце V – начале IV веков в Древней Греции (Афины) и много столетий считалась критерием образованности. Основателем логики считают древнегреческого философа Аристотеля. Предшественниками Аристотеля в развитии логической науки в Древней Греции были Парменид, Зенон Элейский, Сократ и Платон. Аристотель же впервые систематизировал доступные знания о логике, обосновал формы и правила логического мышления. В его трудах «Органон» («Орудия познания») были сформулированы основные законы мышления, такие как закон тождества, противоречия и исключенного третьего. Он также разработал теорию понятия и суждения, исследовал дедуктивное и силлогистическое умозаключения.

Выдееляют две основных причины возникновения логики как науки:

1) зарождение и первоначальное развитие философии и науки, прежде всего математики.

Этот процесс относится к VI в. до н. э. и получает наиболее полное развитие в Древней Греции. Рождаясь в борьбе с мифологией и религией, философия и наука основывались на теоретическом мышлении, предполагающем умозаключения и доказательства. Отсюда – необходимость исследования природы самого мышления как формы познания.

Логика возникла, прежде всего, как попытка выявить и объяснить те требования, которым должно удовлетворять рациональное научное мышление, чтобы его результаты соответствовали действительности.

2) развитие ораторского искусства, в том числе судебного, которое расцвело в условиях древнегреческой демократии. От логической доказательности речи обвиняемого или обвинителя часто зависело решение суда – особенно в сложных и запутанных правовых ситуациях. Неумение четко и ясно формулировать свои мысли, изобличать подвохи и «ловушки» своих оппонентов могло стоить оратору очень дорого. Этим пользовались так называемые софисты – платные учителя мудрости. Непросвещенной публике они могли «доказать», что белое – это черное, а черное – это белое, после чего за большие деньги обучали своему искусству всех желающих.

После Аристотеля в Древней Греции логика также разрабатывалась представителями школы стоиков. Большой вклад в развитие этой науки внесли оратор Цицерон и древнеримский теоретик ораторского искусства Квинтилиан.

В начале XIX века Г.В.Ф. Гегель указал на ее ограниченность и недостаточность с точки зрения отражения процесса движения мысли. Он отметил, что такая логика отражает не движение содержания мысли, а форму мыслительного процесса. Для компенсации этого недостатка Гегель создал новую диалектическую логику, а существовавшую до нее назвал формальной.

Предметом изучения диалектической логики служат законы развития человеческого мышления и основанные на них методологические принципы (объективность, всесторонность рассмотрения предмета, принцип историзма, раздвоение единого на противоположные стороны, восхождение от абстрактного к конкретному и др.).

Диалектическая логика - это один из способов познания диалектики реальности.

Формальная логика, использующая математические методы изучения реальности, в начале XX века получила название «логистика», означающее искусство вычисления. Теперь данный термин почти вышел из употребления, уступив место терминам «математическая логика» или «символическая логика».

Формальная логика изучает форму как нечто отдельное,обособленное от содержания.

Предметом изучения формальной логики служит форма мышления.

Формальная логика - это наука об общих структурах правильного мышления в его языковой форме, раскрывающая лежащие в его основе закономерности.

Логическими формами называются различные соединения мыслей, рассматриваемые как структурные образования мышления.

Логические формы состоят из мыслей, в том числе, например, из других логических форм и различных способов их связи, или так называемых связок. Три вида логических форм, таких как понятие, суждение, умозаключение, состоят из мыслей и средств их связи,связок.

Общая логика представляет собой учение о трех логических формах: понятии, суждении, умозаключении.

А.А. Волков

Толковый словарь живого великорусского языка В. И. Даля

проф.

архим.

Ло́гика - 1) ход рассуждений; 2) внутренняя закономерность, свойственная процессам, явлениям и т. д.; 3) наука о способах, законах, формах мышления.

Возлюби Господа Бога твоего всем сердцем твоим и всею душею твоею и всем разумением твоим ()

Если Богу, как Всеведущему, всё известно от вечности, то можно ли говорить о логике Его мышления, направленного на заботу о мире и человеке?

И лишь по исполнении всего перечисленного Он наделил созданную Им благодатными дарами для борьбы со злом и исцеления людей от греха.

Если Бог непостижим, то можно ли его познавать при помощи логических умопостроений?

Православное Догматическое Богословие подразумевает возможность познания Бога как через практический опыт, так и посредством приобретения теоретических знаний. Теоретическое познание, конечно, подразумевает опору и на рациональное, логическое мышление.

Понимая, что Бог - абсолютно прост (то есть не состоит из частей, не сложен из элементов), мы, тем не менее, изучаем Его свойства по отдельности. Например: отдельно рассматриваются свойства Божеского Разума, отдельно - свойства воли, отдельно - свойства чувств. Это не значит, что мы противоречим учению о Божественной простоте.

Опять же, что нелогичного в утверждении, что чтобы стать истинно верующим, необходимо знать веры? Наука о догматах веры называется: «Православное Догматическое Богословие». Как и всякая наука она, естественно, опирается, на доводы рационального мышления.

Однако, следует знать, что вне Православной существует и такое направление богомыслия, которое именуется в особом значении. Такое направление богомыслия характерно и для католицизма, и для протестантизма. Оно допускает чрезмерное вмешательство рассудка в дело истолкования тайн .

Можно ли использовать логику при изучении догмата о Пресвятой Троице?

Поскольку Бог Троица бесконечен, познать Его в полноте не может ни одно Его творение: ни , ни человек. Однако это не значит, что мы не можем познать Его частично, в той мере, в какой Он открылся для нас и в той мере, в какой мы способны это Откровение постичь.

При помощи приземлённой математической логики, мол, единица - не равняется трём, а три - не есть один, догмат о Троице, мы, конечно же, не поймём.

Для уяснения догмата о Пресвятой Троице святые отцы, во-первых, обращали внимание на то, что единичность усматривается в Боге в отношении сущности, а троичность - в отношении Лиц (см. подробнее: ). Разве в самом этом объяснении нет логики?

При объяснении понятий «сущность» и «Лица» они тоже использовали логику. Сам термины « », «лицо» («) были приняты в богословское употребление не без логически обоснованных доводов.