Чтобы число делилось на 4. Основные признаки делимости

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 4 ». Приведем здесь формулировку признака, проведем его доказательство, рассмотрим основные примеры задач. В конце раздела мы собрали сведения о подходах, которые можно применять в тех случаях, когда нам нужно доказать делимость чисел на 4 , заданных буквенным выражением.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Признак делимости на 4 , примеры

Мы можем пойти простым путем и поделить однозначное натуральное число на 4 для того, чтобы проверить, делится ли это число на 4 без остатка. Так же можно поступить с двузначными, трехзначными и проч. числами. Однако, чем больше становятся числа, тем сложнее проводить с ними действия с целью проверки делимости их на 4 .

Гораздо проще становится использовать признак делимости на 4 . Он предполагает проведение проверки делимости одной или двух последних цифр целого числа на 4 . Что это значит? Это значит, что некоторое число a делится на 4 в том случае, если одна или две крайние правые цифры в записи числа a делятся на 4 . Если число, составленное из двух крайних правых цифр в записи числа a не делятся на 4 без остатка, то и число a не делится на 4 без остатка.

Пример 1

Какие из чисел 98 028 , 7 612 и 999 888 777 делятся на 4 ?

Решение

Крайние правые цифры чисел − 98 028 , 7 612 составляют числа 28 и 12 , которые делятся на 4 без остатка. Это значит, что и целые числа − 98 028 , 7 612 делятся на 4 без остатка.

Последние две цифры в записи числа 999 888 777 образуют число 77 , которое не делится на 4 без остатка. Это значит, что и исходное число на 4 без остатка не делится.

Ответ: − 98 028 и 7 612 .

Если предпоследней цифрой в записи числа является 0 , то нам необходимо этот ноль отбросить и смотреть на оставшуюся крайнюю правую цифру в записи. Получается, что две цифры 01 мы заменяем 1 . И уже по одной оставшейся цифре мы делаем вывод о том, делится ли исходное число на 4 .

Пример 2

Делится ли числа 75 003 и − 88 108 на 4 ?

Решение

Две последние цифры числа 75 003 - видим 03 . Если отбросить ноль, то у нас остается цифра 3 , которая на 4 без остатка не делится. Это значит, что исходное число 75 003 на 4 без остатка не делится.

Теперь возьмем две последние цифры числа − 88 108 . Это 08 , из которых мы должны оставить лишь последнюю цифру 8 . 8 делится на 4 без остатка.

Это значит, что и исходное число − 88 108 мы можем поделить на 4 без остатка.

Ответ: 75 003 не делится на 4 , а − 88 108 – делится.

Числа, у которых в конце записи идет сразу два нуля, также делятся на 4 без остатка. Например, 100 делится на 4 , получается 25 . Доказать правдивость этого утверждения нам позволяет правило умножения числа на 100 .

Представим произвольно выбранное многозначное число a , запись которого справа заканчивается двумя нулями, как произведение a 1 · 100 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 486700 = 4867 · 100 .

Произведение a 1 · 100 содержит множитель 100 , который делится на 4 . Это значит, что все приведенное произведение делится на 4 .

Доказательство признака делимости на 4

Представим любое натуральное число a в виде равенства a = a 1 · 100 + a 0 , в котором число a 1 – это число a , из записи которого убрали две последние цифры, а число a 0 – это две крайние правые цифры из записи числа a . Если использовать конкретные натуральные числа, то равенство будет иметь вид undefined. Для одно- и двузначных чисел a = a 0 .

Определение 1

Теперь обратимся к свойствам делимости:

деление модуля числа a на модуль числа b необходимо и достаточно для того, чтобы целое число a делилось на целое число b ;
если в равенстве a = s + t все члены, кроме одного делятся на некоторое целое число b , то и этот оставшийся член делится на число b .

Теперь, освежив в памяти необходимые свойства делимости, переформулируем доказательство признака делимости на 4 в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4 .

Теорема 1

Деление двух последних цифр в записи числа a на 4 – это необходимое и достаточное условие для делимости целого числа a на 4 .

Доказательство 1

Если предположить, что a = 0 , то теорема в доказательстве не нуждается. Для всех остальных целых чисел a мы будем использовать модуль числа a , который является числом положительным: a = a 1 · 100 + a 0

С учетом того, что произведение a 1 · 100 всегда делится на 4 , а также с учетом свойств делимости, которые мы привели выше, мы можем сделать следующее утверждение: если число a делится на 4 , то и модуль числа a делится на 4 , тогда из равенства a = a 1 · 100 + a 0 следует, что a 0 делится на 4 . Так мы доказали необходимость.

Из равенства a = a 1 · 100 + a 0 следует, что модуль a делится на 4 . Это значит, что и само число a делится на 4 . Так мы доказали достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Рассмотрим случаи, когда нам нужно установить делимость на 4 целого числа, заданного некоторым выражением, значение которого надо вычислить. Для этого мы можем пойти следующим путем:

представить исходное выражение в виде произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на 4 ;
сделать вывод на основании свойства делимости о том, что все исходное выражение делится на
4 .

Помочь в решении задачи часто помогает формула бинома Ньютона.

Пример 3

Делится ли на 4 значение выражения 9 n - 12 n + 7 при некотором натуральном n ?

Решение

Мы можем представить 9 в виде суммы 8 + 1 . Это дает нам возможность применить формулу бинома Ньютона:

9 n - 12 n + 7 = 8 + 1 n - 12 n + 7 = = C n 0 · 8 n + C n 1 · 8 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 8 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 8 · 1 n - 1 + C n n · 1 n - - 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 · 8 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 8 2 + n · 8 + 1 - - 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 · 8 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 8 2 - 4 n + 8 = = 4 · 2 · 8 n - 1 + 2 · C n 1 · 8 n - 2 + . . . + 2 · C n n - 2 · 8 1 - n + 2

Произведение, которое мы получили в ходе преобразований, содержит множитель 4 , а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Это значит, что это произведение можно разделить на 4 без остатка.

Мы можем утверждать, что исходное выражение 9 n - 12 n + 7 делится на 4 при любом натуральном n .

Ответ: Да.

Также мы можем применить к решению задачи метод математической индукции. Чтобы не отвлекать ваше внимание на второстепенные детали разбора решения, возьмем прежний пример.

Пример 4

Докажите, что 9 n - 12 n + 7 делится на 4 при любом натуральном n .

Решение

Начнем с установления того, что при значении n = 1 значение выражения 9 n - 12 n + 7
можно будет разделить на 4 без остатка.

Получаем: 9 1 - 12 · 1 + 7 = 4 . 4 делится на 4 без остатка.

Теперь мы можем предположить, что при значении n = k значение выражения
9 n - 12 n + 7 будет делиться на 4 . Фактически, мы будем работать с выражением 9 k - 12 k + 7 , которое должно делиться на 4 .

Нам необходимо доказать, что 9 n - 12 n + 7 при n = k + 1 будет делиться на 4 с учетом того, что 9 k - 12 k + 7 делится на 4:

9 k + 1 - 12 (k + 1) + 7 = 9 · 9 k - 12 k - 5 = 9 · 9 k - 12 k + 7 + 96 k - 68 = = 9 · 9 k - 12 k + 7 + 4 · 24 k - 17

Мы получили сумму, в которой первое слагаемое 9 · 9 k - 12 k + 7 делится на 4 в связи с нашим предположением о том, что 9 k - 12 k + 7 делится на 4 , а второе слагаемое 4 · 24 k - 17 содержит множитель 4 , в связи с чем также делится на 4 . Это значит, что вся сумма делится на 4 .

Ответ: мы доказали, что 9 n - 12 n + 7 делится на 4 при любом натуральном значении n методом математической индукции.

Мы можем использовать еще один подход для того, чтобы доказать делимость некоторого выражения на 4 . Этот подход предполагает:

доказательство факта того, что значение данного выражения с переменной n делится на 4 при n = 4 · m , n = 4 · m + 1 , n = 4 · m + 2 и n = 4 · m + 3 , где m – целое число;
вывод о доказанности делимости данного выражения на 4 для любого целого числа n .

Пример 5

Докажите, что значение выражения n · n 2 + 1 · n + 3 · n 2 + 4 при любом целом n делится на 4 .

Решение

Если предположить, что n = 4 · m , получаем:

4 m · 4 m 2 + 1 · 4 m + 3 · 4 m 2 + 4 = 4 m · 16 m 2 + 1 · 4 m + 3 · 4 · 4 m 2 + 1

Полученное произведение содержит множитель 4 , все остальные множители представлены целыми числами. Это дает нам основание предполагать, что все произведение делится на 4 .

Если предположить, что n = 4 · m + 1 , получаем:

4 m + 1 · 4 m + 1 2 + 1 · 4 m + 1 + 3 · 4 m + 1 2 + 4 = = (4 m · 1) + 4 m + 1 2 + 1 · 4 m + 1 · 4 m + 1 2 + 4

И опять в произведении, которое мы получили в ходе преобразований,
содержится множитель 4 .

Это значит, что выражение делится на 4 .

Если предположить, что n = 4 · m + 2 , то:

4 m + 2 · 4 m + 2 2 + 1 · 4 m + 2 + 3 · 4 m + 2 2 + 4 = = 2 · 2 m + 1 · 16 m 2 + 16 m + 5 · (4 m + 5) · 8 · (2 m 2 + 2 m + 1)

Здесь в произведении мы получили множитель 8 , который можно без остатка поделить на 4 . Это значит, что все произведение делится на 4 .

Если предположить, что n = 4 · m + 3 , получаем:

4 m + 3 · 4 m + 3 2 + 1 · 4 m + 3 + 3 · 4 m + 3 2 + 4 = = 4 m + 3 · 2 · 8 m 2 + 12 m + 5 · 2 · 2 m + 3 · 16 m 2 + 24 m + 13 = = 4 · 4 m + 3 · 8 m 2 + 12 m + 5 · 16 m 2 + 24 m + 13

Произведение содержит множитель 4 , значит делится на 4 без остатка.

Ответ: мы доказали, что исходное выражение делится на 4 при любом n .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Продолжаем изучать признаки делимости . В этой статье разобран признак делимости на 4 . Сначала дана его формулировка и приведены примеры использования. Дальше показано доказательство признака делимости на 4 . В заключение рассмотрены подходы, позволяющие доказывать делимость на 4 чисел, заданных в виде значения буквенного выражения.

Навигация по странице.

Признак делимости на 4, примеры

Чтобы проверить, делится ли на 4 данное , проще всего выполнить деление непосредственно, из однозначных чисел на 4 делятся только 4 и 8 . Разделить двузначное натуральное число на 4 также не составит труда (даже при устном делении). Например, 24 делится на 4 без остатка, так как 24:4=6 , а 83 не делится нацело на 4 , так как 83:4=20 (ост. 3) (при необходимости смотрите статьи и ). Но чем больше цифр содержится в записи числа, тем «неприятнее» проводить деление.

Для более простой проверки делимости данного многозначного числа существует признак делимости на 4 , который сводит исследование данного числа a на его способность делиться на 4 к проверке на делимость однозначного или двузначного числа. Приведем формулировку этого признака. Целое число a делится на 4 , если число, составленное из двух последних цифр в записи числа a (в порядке их следования) делится на 4 ; если же составленное число не делится на 4 , то и число a не делится на 4 .

Рассмотрим примеры применения признака делимости на 4 .

Пример.

Какие из чисел −98 028 , 7 612 и 999 888 777 делятся на 4 ?

Решение.

Воспользуемся признаком делимости на 4 .

Две последние цифры −98 028 дают число 28 , так как 28 делится на 4 (28:4=7 ), то и число −98 028 делится на 4 .

Две последние цифры числа 7 612 составляют число 12 , а 12 делится на 4 (12:4=3 ), следовательно, 7 612 делится на 4 .

Наконец, две последние цифры числа 999 888 777 дают число 77 , так как 77 не делится нацело на 4 (77:4=19 (ост.1) ), то и исходное число не делится на 4 .

Ответ:

−98 028 и 7 612 .

А как применять признак делимости на 4 , если две последние цифры в записи числа представляют собой, например, 01 , 02 , 03 , …, 09 ? В этих случаях цифру 0 , стоящую слева, нужно отбросить, после чего останется однозначное число 1 , 2 , 3 , …, 9 .

Пример.

Делится ли числа 75 003 и −88 108 на 4 ?

Решение.

Посмотрим на две последние цифры в записи числа 75 003 - видим 03 , отбрасываем нуль слева и имеем число 3 . Так как 3 не делится на 4 , то по признаку делимости на 4 можно сделать вывод о том, что 75 003 не делится на 4 .

Аналогично две последние цифры в записи числа −88 108 составляют число 8 , а так как 8 делится на 4 , то и число −88 108 делится на 4 .

Ответ:

75 003 не делится на 4 , а −88 108 – делится.

Отдельно нужно сказать о числах, в записи которых справа две подряд цифры (или большее их количество) являются нулями. Приведем примеры таких чисел: 100 , 893 900 , 40 000 , 373 002 000 и т.п. Такие числа делятся на 4 . Обоснуем это.

Число 100 делится на 4 . Действительно, 100:4=25 . позволяет представить любое другое целое число a , запись которого оканчивается двумя нулями, в виде произведения a 1 ·100 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 588 300=5 883·100 и 30 000=300·100 . А произведение a 1 ·100 делится на 4 , так как содержит множитель 100 , который делится на 4 (смотрите свойства делимости). Так доказано, что любое целое число, в записи которого справа находятся два нуля, делится на 4 .

Доказательство признака делимости на 4

Для доказательства признака делимости на 4 нам понадобится следующее представление натурального числа a . Любое натуральное число a можно представить в виде a=a 1 ·100+a 0 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи убрать две последние цифры, а число a 0 отвечает двум последним цифрам в записи числа a . Например, 5 431=54·100+31 . Если же число a однозначное или двузначное, то a=a 0 .

Также нам пригодятся два свойства делимости:

чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b ;
если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Теперь можно привести доказательство признака делимости на 4 , который мы предварительно переформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4 .

Теорема.

Для делимости целого числа a на 4 необходимо и достаточно, чтобы число, отвечающее двум последним цифрам в записи числа a , делилось на 4 .

Доказательство.

Для a=0 теорема очевидна.

Для остальных целых a a есть число положительное, и его можно представить как , о чем мы сказали перед теоремой.

В конце первого пункта данной статьи мы показали, что произведение a 1 ·100 всегда делится на 4 . Если еще учесть приведенные перед теоремой свойства делимости, то приходим к следующим выводам.

Если число a делится на 4 , то и модуль числа a делится на 4 , тогда из равенства следует делимость на 4 числа a 0 . Этим доказана необходимость.

С другой стороны из делимости a 0 на 4 и равенства следует делимость на 4 модуля a , откуда следует делимость на 4 и самого числа a . Этим доказана достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Иногда требуется проверить делимость на 4 целого числа, которое задано в виде значения некоторого выражения. В таких случаях провести непосредственное деление не представляется возможным. Также использование признака делимости на 4 возможно далеко не всегда. Как же быть в этих случаях?

Основная идея состоит в приведении исходного выражения к произведению нескольких множителей, один из которых делится на 4 . В этом случае на основании соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости исходного выражения на 4 .

Иногда получить такое представление помогает . Приведем пример для пояснения.

Пример.

Делится ли на 4 значение выражения при некотором натуральном n ?

Решение.

Представим 9 как 8+1 , после чего воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение делится на 4 , так как содержит множитель 4 , а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Следовательно,

Ответ:

Да.

Достаточно часто доказать делимость на 4 некоторого выражения позволяет . Покажем, как это делается, воспользовавшись условием предыдущего примера.

Пример.

Докажите, что делится на 4 при любом натуральном n .

Решение.

Покажем, что при n=1 значение выражения делится на 4 . Имеем , а 4 делится на 4 .

Предположим, что делится на 4 при n=k , то есть, будем считать, что делится на 4 .

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
Признак делимости на 7 часто пропускается;
Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

Для14: на 2 и на 7;
Для 15: на 3 и на 5;
Для 18: на 2 и на 9;
Для 21: на 3 и на 7;
Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
Для 24: на 3 и на 8;
Для 26: на 2 и на 13;
Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,