Презентация на тему признаки делимости 11. Презентация на тему "признаки делимости"

Мухамедова Алла

В работе расматриваются признаки делимости на 7, 11, 13. Презентацию можно использовать на факультативе или на занятиях математического кружка.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Признаки делимости «Мир построен на силе чисел» Пифагор

Из всех действий арифметики самое своенравное - деление «Нрав» деления проявляется не только по отношению к нулю Деление также не всегда выполнимо в области целых чисел Все эти особенности деления и способствовали возникновению таких понятий, как простые числа, НОД, НОК, признаки делимости чисел Постепенное развитие теории делимости чисел привело к глубокому расширению всей теории чисел

Алгебра весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот или иной делитель. В школьной программе дети изучают признаки делимости на: 2 3 4 5 6 9 10 Но не изучают признаки делимости на: 7 11 13 последняя цифра делится на 2 сумма цифр делится на 3 число из двух последних цифр делится на 4 последняя цифра делится на 5 делится на 2 и на 3 сумма цифр делится на 9 последняя цифра - 0

Семь раз отмерь, один раз отрежь. Семь бед, один ответ. Семь пятниц на неделе. Один с сошкой, а семеро с ложкой. У семи нянек дитя без глазу. Было у тещеньки семеро зятьев... Почему-то число 7 очень полюбилось народу и вошло в его историю? Число 7 богато не только поговорками, но и разнообразными признаками делимости 7

13 7 11 Объединенный признак делимости на 7, 11 и 13 В таблице простых чисел числа 7, 11 и 13 расположены рядом. Их произведение равно: 7 * 11 * 13 = 1001 = 1000+1 Если трёхзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза Значит, все числа вида abcabc делятся на 7, 11 и 13. В частности, делится на 7, 11 и 13 число 999999, или, иначе, 1000000 - 1

Требуется, допустим, определить, делится ли число 42623295 на 7,11 и 13. Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Представим теперь данное число в таком виде: 42 623 295=295+628 *1000 + 42 * 1000000=295 + 623 (1000 + 1 – 1)+ 42 (1000000 – 1 + 1) = (295 – 623 + 42) + Число в квадратной скобке обязательно делится и на 7, и на 11, и на 13. Значит, делимость испытуемого числа полностью определяется делимостью числа, заключённого в первой скобке 42623295

Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7 или на 11, или на 13, то и данное делится соответственно на 7, или на 11, или на 13 42623295 Вернёмся к числу Определим на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа: (295 + 42) - 623 = - 286 Число 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится

Первый признак делимости на 7 Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 Доказательство: Запишем проверяемое число в виде 10х+у, где х - некоторое натуральное число, не обязательно однозначное, а у - цифра Надо доказать, что если х-2у делится на 7, то и 10х+у делится на 7 х – 2у=7а х=7а + 2у 10х=70а + 20у= 70а + 21у-у=7(10а + 3у) – у, значит 10х + у=7(10а+3у)

Примеры Проверить делимость числа 11886 на 7 1188 – 6*2=1176 117 – 6*2 = 105 10 – 5*2 = 0 0 делится на 7, значит и 11886 делится на 7 Проверить делимость числа 7184 на 7 718 – 4*2 = 710 710 не делится на 7, значит 7184 не делится на 7 11886 7184

В доказательстве некоторых признаков делимости на 7 активно принимает участие Теория вычетов Два натуральных числа a и b , разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m: a ≡ b (mod m) Так, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Два числа сравнимы по модулю 2, если они оба четны, либо если они оба нечетны. По модулю 1 все целые числа сравнимы между собой. В том случае, если число n делится на m , то оно сравнимо с нулем по модулю m: n ≡ 0 (mod m).

Второй признак делимости на 7 Возьмем для испытания число 7 5236 Запишем его следующим образом: Заменим всюду основание 10 на основание 3: Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7 168 делится на 7, значит и 5236 делится на 7

Для доказательства этого признака используем теорию вычетов. Рассмотрим шестизначное число: Третий признак делимости на 7 Имеем:

Так как, дальше всё будет повто- ряться. В результате мы получаем следующие две строки чисел, причем под каждой степенью десятки подписано число, сравнимое с ней по модулю 7: ... 3 1 -2 -3 -1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1 Отсюда получаем:

В результате получаем следующее правило: Чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты: затем умножить каждую цифру на стоящий под ней коэф­фициент и полученные произведения сложить: найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число...,-1,2,3, 1,-2, -3, -1,2, 3, 1,...

Найти остаток от деления 4136 на 7 4136≡4*(-1)+1*2+3*3+6*1=13≡6 (mod 7) Ответ: остаток равен 6 Делится ли число 8546216 на 7 8546216≡8*1+5*(-2)+4*(-3)+6*(-1)+2*2+1*3+6*1=-7 Ответ: число 8546216 делится на 7 Примеры 4136 8546216

Признак Паскаля Блез Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число Натуральное число a разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число

Примеры Делится ли 54376 на 11 Делится ли 10257 на 13 54376 10257 Так как -3 не делится на 11, значит и 54376 не делится на 13 Так как -13 делится на 13, значит и 10257 делится на 13

В заключение хочу представить 4 весьма необычных числа В каждом из них есть все цифры от 0 до 9, но каждая цифра только по одному разу и каждое из этих чисел делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18 3785942160 4753869120 4876391520 2438195760

Мухамедова Алла Презентацию подготовила

1 слайд

Учитель математики МОУ Аннинская СОШ №3 Воронежской области Кобзева Наталья Викторовна.

2 слайд

Основные цели и задачи. Повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Признаки делимости». Формирование умений проводить умозаключения, обосновывая свои действия ссылками на правила. Выработка навыков использования установленных признаков делимости при различных формулировках задач. Проверка усвоения учащимися знаний, полученных при изучении данной темы.

3 слайд

4 слайд

Признаки делимости на 2, на 5 и на 10. Если натуральное число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2, а если нечетной цифрой, то число не делится на 2. Если натуральное число оканчивается цифрой 5 или 0, то оно делится на 5, а если оно оканчивается любой другой цифрой, то оно не делится на 5. Если натуральное число оканчивается цифрой 0,то оно делится на 10,а если оно оканчивается любой другой цифрой, то оно не делится на 10.

5 слайд

Признаки делимости на 3 и на 9. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3, а если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3. Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9, а если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

6 слайд

Задание 1. Из цифр 0; 3; 4; 5 составьте: а) трехзначные числа, делящиеся на 2 и 5 одновременно; 340, 430, 350, 530, 540, 450. б) двузначные, делящиеся на 3; 30, 45, 54. в) двузначные нечетные числа; 43, 45, 53. г) числа, делящиеся на 9. 45, 54, 450, 540, 504, 405.

7 слайд

Задание 2. Назовите несколько значений выражения переменной а, при которых значение Кратно 2 Кратно 5 Кратно 3 Кратно 9 Кратно 10 а=0;2;10 а=4;9;14 а=2;5;11 а=5;14;23 а=4;14;24

8 слайд

Задание 3. Отметьте буквой В – верные утверждения и буквой Н – неверные. В Н В Н Н Н В В Н В 1 Число 945 делится на 3 и на 5 2 Число 8569 кратно 2 3 2700 делится на 2;5;3;9;10 одновременно 4 Число 3 – делитель 157 5 Число 5 – делитель 524 6 Число 9 – делитель 818 7 Число 8232 кратно 3 8 756 делится на 2 и 3 одновременно 9 Число 1267 - четное 10 630000 делится на 2;3;5;9;10 одновременно

9 слайд

Задание 4. Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральным числом сантиметров, а высота равна 15 см.Можно ли утверждать, что объем этого параллелепипеда выражается числом: Кратным 2 нет Кратным 3 да Кратным 5 да 15 см

10 слайд

Задание 5. Какие цифры можно подставить вместо буквы «а», чтобы полученное число: Делилось на 9 286а 5а1 75а11 Делилось на 3 5а76 900а 4а2 2 4 3 0,3,6,9 0,3,6,9 0,3,6,9

11 слайд

Решите задачу. Три поросенка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф собрали в лесу желуди. Ниф-Ниф собрал 137 желудей, Наф-Наф собрал на 46 желудей меньше, а Нуф-Нуф – в 2 раза больше, чем Наф-Наф. Удастся ли поросятам разделить желуди поровну?

12 слайд

Решение. Ниф-Ниф 137 желудей Наф-Наф на 46 желудей меньше Нуф-Нуф в 2 раза больше 137-46=91 (ж)-собрал Наф-Наф. 91 2=182 (ж) –собрал Нуф-Нуф. 137+91+182=410 (ж) –собрали вместе. 410 не делится на 3 (4+1+0=5). Ответ: поросятам не удастся разделить желуди поровну.

13 слайд

Признаки делимости на 4, на 25 и на 50. На 4 делятся числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры составляют число, делящееся на 4. Например:157312. На 50 делятся те числа, кото- рые оканчиваются на 00 или 50. Например: 773150, 241100. На 25 делятся нацело те числа, которые оканчивают- ся на 25, 50, 75, 00. Например: 120975,450, 51746025, 663201300.

Гераськина Евгения

В данной работе ученица 8 класса Гераськина евгения рассматривает воапрос делимости чисел и приводит признаки делимости на 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11, 12, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 23, 25 и на 50

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Работа реферативного характера с элементами самостоятельного поиска Шатки 2013 год. Разработала: Гераськина Евгения 8 «Б» МОУ Шатковская СОШ №1 Руководитель: учитель математики Степина Т.П. Тема: Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2 Для того, чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была четной. В числе 29654 последняя цифра 4 – она четная, значит, число делится на 2. В числе 3455 последняя цифра 5 – она нечетная, значит, число не делится на 2. н А П Р И М Е р

Признак делимости на 3 Для того, чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Число 513 5+1+3=9 , 9 делится на 3, значит, число делится на 3. Число 313 3+1+3=7 , 7 не делится на 3, значит, число не делится на 3 Н А П Р И М Е Р

Признаки делимости на 4: Для того, чтобы число делилось на 4, необходимо проверить делится ли на 4 число, составленное из двух последних цифр этого числа. Число 1836 36:4, значит, 1836 делится на 4 без остатка. Число 514 14:4, значит, 514 не делится на 4 без остатка. Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями. Н А П Р И М Е Р Например Число 500 делится на 4 без остатка

Признаки делимости на 5: Для того, чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы оно оканчивалась на 5 или на 0. Число 245 оканчивается на 5,следовательно, число 245 делится на 5. Число 246 оканчивается на 6, следовательно, число 246 не делится на 5. Н А П Р И М Е Р

Признаки делимости на 6: Для того, чтобы число делилось на 6, необходимо: 1.Число сотен умножить на 2. 2.Полученный результат вычесть из числа, стоящего после числа сотен. 3.Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Число 138 1.Число сотен 1; 1 2=2, 2.38-2=36 3.36:6=6, значит, 138 делится на 6. Например

Признаки делимости на 7: Для того, чтобы число делилось на 7, надо: 1.Число, стоящее до десятков, умножить на два. 2.К результату прибавить оставшееся число. 3.Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. Число 46 55 1. 46 2=921 , 2. 92+ 55 =1 47 , 3. 1 47:7=2 1 , значит, 46 55 делится на 7. Например:

Признаки делимости на 8: Н А П Р И М Е р Для того, чтобы число делилось на 8, необходимо, чтобы три последние его цифры являлись нулями или образовали число, делящееся на 8. Число 53128 делится на 8, так как три последние цифры 128 делятся на 8 нацело (128: 8 = 16). Число 7000 делится на 8, так как три последние цифры нули.

Признаки делимости на 9: Для того, чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Число 486 делится на 9, так как сумма всех его цифр: 4 + 8 + 6 = 18 делится на 9. Число 235 не делится на 9, так как сумма всех его цифр: 2+3+5=10 не делится на 9. Н А П Р И М Е Р

Признаки делимости на 10: Для того, чтобы число делилось на 10, необходимо, чтобы оно оканчивалось на 0. Число 3330 делится на 10, так как оканчивается на 0. Число 658 не делится на 10, так как оканчивается на 8. Н А П Р И М Е Р

Признаки делимости на 11: Для того, чтобы число делилось на 11, необходимо, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, была кратна 11. Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11. Число 100397. 1+0+9=10 0+3+7=10 10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11. Можно проверить делимость числа на 11 другим способом: Число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то число кратно 11. Число 15235. Разбиваем его на группы и складываем их: 1+52+35=88. 88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.

Признаки делимости на 12: Для того, чтобы число делилось на 12, необходимо, чтобы оно одновременно делилось на 3 и 4. Число 12653400 делится на 3 и 4, а значит оно делится и на 12. Н А П Р И М Е Р

Признак делимости на 13 Число делится на 13 тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, было кратно 13. Число 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) =104, а 104 делится на 13. Н А П Р И М Е Р

Признаки делимости на 14: Для того, чтобы число на 14 ,необходимо, чтобы оно делилось одновременно на 2 и на 7. Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14. Н А П Р И М Е Р

Признак делимости на 15: Для того, чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3. Число 1146795 оканчивается на 5 1+1+4+6+7+9+5=33, 33 делится на 3, значит, число кратно 3 и оно делится на 15 Н А П Р И М Е Р

П ризнаки делимости на 17 Для того, чтобы число делилось на 17, необходимо, чтобы число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, было кратно 17. Число 29034 3+4 12=3+48=51. 51 делится на 17, значит 29034 делится на 17 Есть еще один признак делимости на 17: Число делится на 17 тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17. Число 32934 3-4 5=-17, -17 кратно 17, значит 32934 делится на 17 Например Например

Признаки делимости на 19: Для того, чтобы число делилось на 19 необходимо и достаточно, чтобы число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делилось на 19. Число 1076 1076 7+2 6=19, 19 делится на 19, следовательно 1076 делится на 19 Например

Признак делимости на 23: Для того, чтобы число делилось на 23, необходимо, чтобы число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, было кратно 23. Число 28852 делится на 23, так как 8+5 3=23, 23 делится на 23, следовательно, 28852 делится на 23 Н А П Р И М Е Р

Признаки делимости на 25: Для того, чтобы число делилось на 25, необходимо, чтобы его последние цифры были нули, либо образовывали число, делящееся на 25. Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25 . Число 23400 делится на 25, т.к. две его последние цифры-нули Н А П Р И М Е Р

Признаки делимости на 50: Для того, чтобы число делилось на 50, надо, чтобы две последние цифры этого числа делились на 25 и представляли собой четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50. Число 6957200, 67906850 Например

Спасибо за внимание!!!

Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.

В III веке до нашей эры александрийский ученный Эратосфен открыл способ составления списка простых чисел, так как считал, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Его метод составления списка простых чисел назвали решетом Эратосфена.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284= ; 220=), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.

Блез Паскаль. Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль () еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки.

Признак Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число делится на 7, т.к. 2·6 + 8 ·2 + 1 ·3 +4 = 35, 35:7=5 (где 6 – остаток от деления 1000 на 7; 2 - остаток от деления 100 на 7, 3 - остаток от деления 10 на 7)

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы: 1 группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на 7, на 37, на 11 (1 признак). 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на 14.

Признаки делимости чисел Признаки делимости на 4. Число делится на 4 если 2 последние его цифры делятся на делится на 4, т.к. 56: 4 = 14 Признак делимости на 8. Число делится на 8 три его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на делится на 8, т.к. 952: 8 = 119

Признаки делимости на 25. Число делится на 25 число образованное его последними двумя цифрами делится на делится на 25, т.к. 75 делится на 25 Признаки делимости на 125. Число делится на 125 число образованное его последними тремя цифрами делится на делится на 125, т.к. 250: 125 = 2

Признак делимости на 7. Число делится на 7 результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на делится на 7, т.к. 36 – (2·4) = 28, 28: 7 = 4 Признак делимости на 13. Число делится на 13 число его десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, кратно делится на 13, т.к (4 ·5) = 104, 104: 13 = 8

Признаки делимости на способ. Число делится на 17 число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно делится на 17, т.к (3·12) = 2941; (1·12) = 306; 30 + (6·12) = 102; 10 + (2·12) = 34, 34: 17 = 2 2 способ. Число делится на 17 разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц кратна не делится на 17, т.к – (2·5) = 3285, 328 – (5·5) = 328 – 25 = 303, 30 – (3·5) = 15, 15 не делится на 17.

Признак делимости на 19. Число делится на 19 число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно делится на 19, т.к (2·6) = 76, 76: 19 = 4 Признак делимости на 23. Число делится на 23 число его сотен, сложенное с утроенным числом единиц, кратно делится на 23, т.к (3· 42) = 414; 4 + (3·14) = 46, 46: 23 = 2

Признак делимости на 11. Число делится на 11 сумма цифр с чередующимися знаками делится на делится на 11, т.к =11, 11:11=1 Признак делимости на 99. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп. Эта сумма делится на 99 само число делится на делится на 99, т.к = 198, 198: 99 = 2

Признак делимости на 101. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками. Эта сумма делится на 101 само число делится на делится на 101, т.к. 59 – = 101, 101:101 =1

Другие признаки делимости, следующие из двух признаков Признак делимости на 6. Число делится на 6 оно делится и на 2, и на 3. (456) Признак делимости на 12. Число делится на 12 оно делится и на 3, и на 4. () Признак делимости на 14. Число делится на 14 оно делится и на 2, и на 7. (364) Признак делимости на 15. Число делится на 15 оно делится и на 3, и на 5. (8 445)

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = Но учебников не может быть 29. Также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников. Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Я рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Задача 1. Незнайка хвастал своими выдающимися способностями умножать числа "в уме". Чтобы его проверить, Знайка предложил ему написать какое- нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. "1210", немедленно выпалил Незнайка. "Ты неправ!" сказал, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа? Решение. Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две "цифры" 11, поскольку среди делителей числа 1210 дважды встречается простое число 11. Ответ. Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две "цифры" 11.

Задача 2. делится ли 3905 на 11. Решение. Цифры, которые стоят на нечетных местах - это 3 (стоит на первом месте) и 0 (стоит на третьим месте). Цифры, которые стоят на четном месте это 9 (стоит на втором месте) и 5 (стоит на четвертом месте) Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, неравна сумме цифр на четном месте, но суммы цифр отличаются ровно на = 11. Ответ. Значит, 3905 делится на 11.

Решение. Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра семь. Ответ. Только на 7.

Заключение. В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости. Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000…, чему нашла подтверждение из дополнительной литературы. Работая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Из дополнительной литературы я нашла и решила задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

МБОУ «Лекаревская СОШ» ЕМР РТ

Признаки и свойства делимости

Подготовила

Быстрова Татьяна Михайловна

Признак делимости на 2

• Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра четная.

• Примеры:

2 6 , 51 8 , 135 87 0 , 11 234 75 2 делятся на 2, т. к. последние цифры четные.

Признак делимости на 5

• Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 5 или на 0.

• Примеры:

79 5 , 5 79 0 , 18 247 93 5 делятся на 5.

Признак делимости на 10

• Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна нулю.

• Примеры:

64 0 , 74 38 0 , 986 453 00 0 делятся на 10.

Признак делимости на 3

• Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

• Примеры:

6 417, 96 878 898 делятся на 3, т.к.

6+4+1+7=18, а 18 делится на 3,

9+6+8+7+8+8+9+8=63, 6+3=9 кратно 3.

Признак делимости на 9

• Число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма его цифр делится на 9.

• Примеры:

8 721, 111 111 111 делятся на 9, т.к.

8+7+2+1=18, а 18 делится на 9,

1+1+1+1+1+1+1+1+1=9 кратно 9.

Признак делимости на 4

• Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры нули, либо образуют число, делящееся на 4.

• Примеры:

5 12 , 15 7 00 , 123 9 08

5 12 делится на 4, т.к. 12 делится на 4,

15 7 00 делится на 4, т. к.оканчивается

двумя нулями.

Признак делимости на 6

• Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3 одновременно.

• Примеры:

7 8 , 40 8 , 17 32 2 делятся на 6,

т. к. делятся и на 2 и на 3.

Признак делимости на 7

• Число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

• Примеры:

12 005 делится на 7, т.к. 12-5=7, а 7 делится на 7;

859 523 делится на 7, т.к. 859-523=336,

а 336 делится на 7.

Признак делимости на 8

• Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули, или образуют числа, делящиеся на 8 .

• Примеры:

5 408 делится на 8, т.к. 408 делится на 8,

976 000 делится на 8, т.к. оканчивается

тремя нулями.

Признак делимости на 11

• Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.

• Примеры:

56 826 делится на 11, т.к. 5-6+8-2+6=11,

а 11делится на 11;

182 919 делится на 11, т.к. 1-8+2-9+1-9=-22,

а -22 делится на 11.

Признак делимости на 12

• Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

• Примеры:

5 04 , 721 5 36 делятся на 12,

т.к. делятся на 3 и на 4.

Признак делимости на 13

• Число делится на 13 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 13.

• Примеры:

301 275 делится на 13, т.к.301-275=26, а 26 делится на 13.

Признак делимости на 14

• Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

• Примеры:

58 8 , 45 61 2 делятся на 14, т. к. делятся

на 2 и на 7.

Признак делимости на 15

• Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

• Примеры:

18 0 , 52 5 , 27 58 5 делятся на 15,

т.к. делятся на 3 и на 5.

Признак делимости на 25

• Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

• Примеры:

12 7 00 , 37 6 25 , 403 7 50 , 34 678 9 75

делятся на 25.

• Если целые числа а и b делятся на целое число с , то их сумма и разность делятся на с.
• Если в сумме нескольких чисел все слагаемые, кроме одного числа, делятся на целое число b , а это слагаемое не делится на b , то вся сумма не делится на b .

3. Если целое число а делится на целое число b , а b делится на целое число с , то а делится на с .

4. Если целое число а делится на целое число b , то при любом целом с произведение ас делится на b .

5. Если целое число а делится на целое число k , целое число b делится на целое число n , то произведение аb делится на произведение kn .

6. Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число, то, по меньшей мере, одно из этих чисел делится на простое число.

7. Если целое число а делится на каждое из двух взаимно простых и натуральных чисел b и с , то а делится на произведение bс .