Происхождение 0. Математика, которая мне нравится

Сегодня это может казаться удивительным, но европейская математическая традиция долгое время не знала никакого нуля. И даже после того, как узнала, старалась подольше без него обходиться. И действительно — зачем нужно число, которое ничего не исчисляет? Бред какой-то… Да и первые европейские системы исчисления нуля не требовали, так как были непозиционными.

Одной непозиционной системой мы пользуемся до сих пор. Кому не знакома римская нумерация, которой мы обозначаем века, королей-тезок и разделы в книгах? Нуль в этой системе отсутствует. Число 20 записывается двумя десятками (ХХ=10+10), а 102 — сотней и двумя единицами (CII=100+1+1). Вроде бы всё просто, но вот беда — для каждого нового разряда надо выдумывать новый знак (I- 1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000), иначе крупное число из одних единиц станет длинным и неразборчивым. Однако и с добавлением новых знаков числа часто выглядели громоздко. На постаменте знаменитого питерского Медного всадника написана дата открытия памятника — MDCCLXXXII. Сразу ли вы догадаетесь, что это 1782 год? Ну, а совершать подсчеты, оперируя такими числами, было еще труднее.

Впрочем, на практике никто палочками, птичками и крестиками не считал. Для этого использовали счётные доски — абаки. Абак в разных обличьях оказался весьма живучим изобретением. Только калькуляторам удалось вытеснить счёты, которыми в совершенстве владела еще моя бабушка-бухгалтер. Абаки и счёты были разделены на несколько позиционных рядов. Так, чтобы обозначить на счётах число двести семь, на первой проволоке (разряд единиц) отбрасывали в сторону семь костяшек, на третьей (ряд сотен) — две, а на второй (разряд десятков) ничего не отбрасывали, так как десятков в числе не было. Вот этот пробел, это пустое место и стало первым прообразом нуля. Говоря образно, нуль как число и цифра появился практически из ничего.

Произошло это, конечно, не сразу. Одно дело — пустое место, другое дело — знак, и уж совсем третье — число. Первые шаги от пробела к знаку сделали вавилоняне. Их система счета была позиционной, как и наша, но если у нас каждый новый разряд в десять раз больше предыдущего, то у вавилонян — в шестьдесят. Суть позиционной системы заключалась в том, что каждый новый разряд записывался одними и теми же знаками, только располагали их левее предыдущего разряда. У вавилонян знаков было два: вертикальным клинышком обозначали единицу, а горизонтальным — десятку. Таким образом записывали числа до 59, а число 60 снова обозначали вертикальным клинышком. Как это выглядело, вы можете увидеть на рисунке внизу.

Если какой-нибудь разряд отсутствовал, вавилоняне ставили пробел, а в V в. до н.э. стали обозначать пропущенный разряд двумя клинышками. Правда, в конце числа отсутствие разряда не обозначали, в результате числа 1 и 60 выглядели одинаково и различались, видимо, исходя из контекста того, что считали.

Родиной настоящего нуля по праву считают Индию, математики которой, судя по всему, совместили позиционный принцип вавилонян с десятичной системой китайцев. Гениальным итогом индийской математики стала запись любых чисел с помощью десяти цифр, которыми мы пользуемся поныне и которые не совсем справедливо называем арабскими (cами арабы, кстати, всегда называли их индийскими). Позже всех знаком наградили злосчастный нуль.

Само понятие нуля (индийцы называли его «сунья/шунья» — пустое) по-видимому возникло в середине V века. Первое же изображение нуля было обнаружено в числе 270, начертанном на стене г. Гвалиора (876 г.). Очень важно, что нуль здесь впервые стоит в конце числа и внешне напоминает знакомую нам дырку от бублика (разве что немного меньше других цифр). Форма нуля отобразилось и в нашей речи, ведь когда мы хотим оставить в числе только крупные разряды, заменив остальные нулями, то говорим «округлить».

Есть гипотеза, что сам знак нуля индийцы переняли у греков. Да-да, греческая непозиционная система годилась для небольших чисел, но для точных и громоздких астрономических расчетов Клавдию Птолемею приходилось пользоваться вавилонской системой — с ее помощью он записывал дроби. Вместо пропущенного разряда астроном ставил букву «О». Как и вавилоняне, в конце числа пропущенный разряд Птолемей не обозначал и числом не считал.

Заметьте, нуль имеет смысл лишь там, где мы говорим об отсутствии ЧЕГО-ЛИБО. В христианском богословии даже был прием доказательства бытия Божьего через отрицание. Он назывался апофатическим и заключался в том, что Бога определяли через то, чем он НЕ ЯВЛЯЕТСЯ. Так и нуль служит для исчисления ОТСУТСТВУЮЩЕГО в категориях, которые сами являются существующими. Разряд в числе — категория реальная и конкретная, но если он пуст, то мы употребляем для его количественной характеристики нуль.
Еще проще это пояснить на примере нескольких бидонов для молока. Отсутствие в одном из них молока отнюдь не отменяет самого бидона, поэтому число «ноль литров» имеет вполне конкретное отношение как к бидону, так и к отсутствующему в нем молоку. В математике одно из определений нуля так и гласит: «Нуль — это мера пустого множества, число элементов в множестве, в котором нет ни одного элемента».

Возникновение нуля в десятичной позиционной системе сделало революцию в математике, облегчив как запись чисел, так и арифметические действия с ними. Арабы, вторгнувшиеся на территорию Индии в VII веке, не могли пройти мимо этого великого открытия. Они приняли индийскую систему и развили ее (множество математических терминов — алгебра, алгоритм — имеют арабское происхождение). Знаменитый математик Аль-Хорезми (IX в.) писал в своей книге «Индийское искусство счета»: «Если не остается ничего, то пишут маленький кружок, чтобы место не оставалось пустым. Этот кружок должен занять место, потому что в противном случае у нас будет меньше разрядов, и второй, например, мы можем счесть за первый».

Кстати, долгое время слово «цифра» означала именно «ноль» и ничто другое (инд. «сунья», араб. «аль-сифр», лат. ciffra). От ciffra произошло множество названий, включая слова «шифр» и «зеро», хорошо известное любителям игры в рулетку. Позже термин «цифра» распространился на все знаки арабской нумерации. Слово же «ноль/нуль» вошло в обиход в XVI веке и произошло от греческого nullus — «никакой».

Через арабов индийская система счета пришла в Европу.
Одним из первых пропагандистов арабской системы в Европе был итальянский математик Леонардо Фибоначчи. В 1202 году он написал в своей «Книге абака»: «Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски zephirum, можно написать какое угодно число».
Реклама Фибоначчи не особо подействовала на европейскую профессуру, она предпочитала не связываться с подозрительными нулями и арабами и продолжала считать по старинке — с помощью античной системы или абака. Так, итальянский математик Джеронимо Кардан (1501−1576) умудрялся решать кубические и квадратные уравнения, не пользуясь нулем, что делало расчеты крайне сложными.

Зато арабскую систему сразу оценили далекие от высоких материй купцы и банкиры, она была незаменима для расчетов, и к XV веку торгаши пользовались ею вовсю. Окончательно десять арабских знаков утвердились в европейской науке лишь к началу XVIII века.
Причины столь стойкой неприязни к нулю заслуживают , ибо коренятся в особенностях античного мировосприятия.

Кто придумал ноль? Для тех, кто желает получить быстрый ответ скажу — ноль придумали индийские математики. Так говорит официальная история математики. Но для тех, кто белее любопытен и готов дочитать эту статью до конца скажу — ноль изобретали не только индийские математики. Просто это был немного другой ноль.
Кстати, как правильно говорить "ноль" или "нуль" принципиального значения не имеет. Но в математических трудах цифру ноль принято писать — "нуль" ("равно нулю", "ниже нуля"), а в свободном употреблении чаще встречается "ноль".
Но вернемся к истории числа ноль и цифры ноль. Цифра ноль, которой мы сейчас пользуемся, пришла к нам в месте с арабскими цифрами, которые к арабским математикам попали из Индии. То есть именно в Индии изобрели десятичную позиционную систему. Но как могли раньше считать без нуля? И могли и не могли одновременно. Что-то похожее на ноль встречается еще на глиняных клинописных табличках древнего Вавилона.

Например, в вавилоняне не зная о нуле, вполне отличали числа 202 от 22. У них хоть и существовала шестидесятиричная система счисления, а не десятичная как у нас, интуитивно они понимали что значит ноль. В пустующую ячейку записывались либо три "крючка" либо два клинышка, обозначавшие пустоту. Это делали еще около 300 года до нашей эры.

Древние греки понятия о нуле не имели. Дело в том, что греки оперировали числами в основном в прикладных целях геометрии. А длинна отрезка равная нулю не имеет практической ценности. В астрономических счислениях применялась буква "омикрон" (όμικρον). Это первая буква в слове "ouden" означающем ничто и записывающейся как О (кружочек) и означающая.... Нет, не ноль, а 70! Греки пользовались алфавитной системой записи чисел.

Римляне о нуле не знали. Если записать число 388 римскими цифрами получится CCCLXXXVIII. Никакого понятия о разрядах.

И в древней Греции и Египте в для счета использовались камешки. Когда камешек поднимается с того места на котором лежал при счете, от него остается ямка. Не ноль ли? Нет, пока еще не ноль. Все что было до индийцев носило только прикладной характер и никак не может быть принято за настоящую историю изобретения ноля. Это всего лишь обозначение пустого места.

Система десятичных разрядов существовала и в Китае. Чтобы записать число 934 в столбик единиц клали 4 палочки, десятков — 3, а сотен — 9 палочек. Вместо нуля оставляли пустое место. А вот записывая цифры китайцы разряды не использовал и символа для ноля не было.

У так популярных сейчас индейцев Майа тоже был свой ноль в их двадцатеричной системе счисления, на тысячу лет раньше индийцев. Но ноль у майа означал не ноль в нашем понимании слова, а "начало". Счет дней в календаре майя начинался с нулевого дня и назывался Ахау.

Соседи Инки использовали узелковое письмо, где цифры от 1 до 9 обозначались разными узелками, а ноль — пустым местом.

Что же собственность изобрели индийские математики? Они записали ноль по началу точной, обозначая отсутствующее число, потом и кружочком. Но главное, что они определили ноль не как понятие отсутствия числа, а как число.
Около 500 года нашей эры была разработана позиционная система записи чисел, а запись, касающаяся использования нуля, датируется 876 годом.

Индийские математики Брахмагупта, Махавира и Бхаскара писали, что если из одного числа вычесть его же, то получится ноль. Это и есть знакомое нам определения числа ноль. Теперь ноль — это число. Ноль используется в расчетах и даже записывается как маленький кружочек. Всего 10 цифрами можно записать любое даже самое большое число. Это была революция в математике.

Индийцы называли ноль "сунья" , пустой. Арабы перевели это как "сыфр" , от которого произошло слово "цифры" . Кстати, индийские же математики

Верно, о математике, а точнее, о самом необычном числе - ноле (0). Мы настолько к нему привыкли, постоянно используем этот символ для математических расчетов, а на калькуляторах есть даже по несколько нулей! А ведь когда-то его не было, и люди обходились в математических операциях без этого знака. Когда же и кем был найден этот символ?

Представьте себе Древний Рим. Богатый горожанин хочет расплатиться за постройку дома. При этом он складывает деньги в 14 столбиков по 44 кучки по 12 секстерциев (римская монета). А теперь попробуйте посчитать, сколько это денег? Умножьте в уме XVIII на XLIV на XII Нелегко, правда? Такое вычисление занимало до часа с использованием древнего калькулатора - абака (специально разграфленная доска). Современный школьник сделает это за пару минут, перемножив числа в столбик. Проблема римлян, как видим, состояла в незнании числа 0.

Ноль означает ничего, символ пустоты. Но в комбинации с другими числами ноль приводит к неожиданным и результатам. Добавив один ноль к числу, оно увеличивается в 10 раз. Два ноля - в сто раз, три - в тысячу... Изобретение ноля революционным образом изменило методы математических вычислений. Числа стали определяться не только цифрами, но и их позициями относительно друг друга и ноля. Справа налево цифры стали означать единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее. Сравните числа CDLXXXVIII и 488. Видно, что в первом случае сам смысл и представление числа были более примитивными - составляющие его просто складывались, в отличие от второго, современного способа, где имеет место комбинированное сложение-умножение.

Второй способ представления чисел - с нолем - позволяет проводить вычисления в уме более простым образом. Я вообще не представляю, как выучить таблицу умножения, выраженную старыми цифрами

В Вавилоне (современный Ирак) ученые изобрели число ноль в 4 веке до нашей эры. Но их изобретение не получило широкого распространения, потому что их математический аппарат базировался не на десятичной, а на 60-ричной системе счисления. Иными словами, в их математике было не 10, а 60 цифр. Зато из их математики мы взяли принципы учета времени - 60 минут по 60 секунд составляют 1 час.

В доколумбовой Америке индейцы Майя также пришли к понятию числа ноль, произошло это примерно в 5 веке нашей эры. Но так как их цивилизация была закрыта для посторонних и территориально обособлена, а впоследствии попросту исчезла, это изобретение снова было потеряно.

Только в 6 веке нашей эры в Индии также изобрели число ноль, после чего разработали позиционную систему счисления. Эта система была перенята арабами, которые называли цифры "индийскими знаками". В период до 10 века их отображение немного изменилось, прийдя к привычным нам цифрам 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Европа же получила эти цифры уже от арабов, и мы пользуемся нашей системой счисления благодаря им, называя цифры арабскими.

Вот такая интересная история происхождения казалось бы незначительного знака - цифры 0. И замечательно, что оно такое есть

Обзор материала

Введение

Очень часто ученики интересуются историей возникновения чисел. Но мало кто задумывается, что такое ноль и кто его придумал. Ведь числа нужны были людям… А зачем нужен ноль? Почему одни люди говорят «ноль», а другие «нуль»? Кто из них говорит правильно? Мне стало это очень интересно…

Ноль (нуль, от лат. Nullus - никакой) - название первой (по порядку) цифры в стандартных системах исчисления. А также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд. В голове не укладывается, но в средние века математики не знали такого понятия – и как-то обходились в своих сложнейших уравнениях без него.

Да, ноль – это ничто. Прибавьте ноль к любому числу – ничего не изменится. Вычтите ноль из любого числа – никаких перемен. И в то же время в царстве математики ноль обладает чудодейственной силой. Припишите позади цифры, начертанной вами, скромный, невзрачный нолик – воплощенную пустоту! Тут же значение цифры возрастет в десять раз. Попробуйте разделить на ноль, и на вас повеет бесконечностью. Наоборот, при умножении любого числа на ноль происходит крах: миллионы и миллиарды, соприкоснувшись с нолем, в ноль же и обращаются.
В данной работе узнаем кто, где и когда открыл ноль.

Итак, объект исследования : математика.

Предмет исследования : ноль

Цель исследования : Ответить на вопрос: Как появился ноль?

Задачи исследования :

· Изучить историю возникновения нуля у различных народов;

· Ответить на вопрос: Зачем нужен «Ноль» если это ничто?

· Ответить на вопрос: Как правильно говорить «ноль» или «нуль»?;

· Узнать, где кроме математики используется «нуль»;

· Сделать выводы и познакомить учащихся с результатами исследования.

Гипотеза : «Нуль - неотъемлемая часть жизни людей».

При работе над докладом мы пользовались следующими методами :

· поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

· наблюдение;

· анализ полученных в ходе исследования данных.

II. История возникновения чисел.

Давным-давно, многие т ысячи лет назад, наши далекие предки жили небольшими племенами. Они бродили по полям и лесам, по долинам рек и ручьев, разыскивая себе пищу. Питались листьями, плодами и корнями - различных растений. Иногда ловили рыбу, собирали ракушки или охотились.

Одевались в шкуры убитых зверей. Жизнь первобытных людей мало чем отличалась от жизни животных. Да и сами люди отличались от животных только тем, что владели речью и умели пользоваться простейшими орудиями труда: палкой, камнем или камнем, привязанным к палке.
Первобытные люди, так же как и современные маленькие дети, не знали счета. Но теперь детей учат считать родители и учителя, старшие братья и сестры, товарищи. А первобытным людям не у кого было учиться. Их учителем была сама жизнь. Поэтому обучение шло медленно.

Наблюдая окружающую природу, от которой полностью зависела его жизнь, наш далекий предок из множества различных предметов сначала научился выделять отдельные предметы. Из стаи волков - вожака стаи, из стада оленей - одного оленя, из выводка плавающих уток - одну птицу, из колоса с зернами - одно зерно.

Поначалу они определяли это соотношение как "один" и "много". Частые наблюдения множеств, состоявших из пары предметов (глаза, уши, рога, крылья, руки), привели человека к представлению о числе. Наш далекий предок, рассказывая о том, что видел двух уток, сравнивал их с парой глаз. А если он видел их больше, то говорил: "Много". Лишь постепенно человек научился выделять три предмета, ну а затем четыре, пять, шесть и т. д. Учиться считать требовала жизнь. Люди научились записывать цифры. В разных странах и в разные времена это делалось по-разному. Многие тысячелетия люди могли обходиться без нуля благодаря непозиционным системам счисления. (Система счисления называется непозиционной, если в ней количественные значения символов, используемых при записи чисел, не зависят от места их положения в коде числа.)

Рассмотрим некоторые из них.

III. Непозиционные системы счисления

1. Ноль в Греции.

Греки пользовались несколькими числовыми системами. Лучшими были милетская и аттическая.

1) Милетская система счисления.

В милетской числовой системе единицы, десятки и сотни обозначались отдельными буквами греческого алфавита, например, альфа Αα (1), бета Ββ (2), гамма Γγ (3) и т.д. Поскольку в алфавите греков было всего 24 буквы, пришлось добавить еще три буквы, заимствовав их у семитских народов: буква «фау» стала означать 6, «копа» - 90, а «сампи» - 900. Тысячи обозначались теми же буквами, что и цифры от одного до девяти, только внизу перед ними ставили штрих. Число «десять тысяч» или по-гречески «мириада», обозначалось буквой М. Количество десятков тысяч помечали, надписывая над М соответствующие буквы. Именно этой системой записи пользовались такие знаменитые древние математики, как Архимед и Диофант. Чтобы написать, например, число 87, они обходились, как и мы, двумя символами, ставя рядом буквы «пи» (80) и «дзета» (7) : πζ

2) Аттическая система счисления.

знак	значение	название
Ι		ἴος «иос»
Π		πέντε «пенте»
Δ		δέκα «дека»
Η	100	ἑκατόν «гекатон»
Χ	1 000	χίλιοι «хилиой»
Μ	10 000	μύριοι «мюриой»

В аттической системе записи использовались буквы «дельта» (10), «эта» (100), «хи» (1000), «ми» (10 000), «пи» (ее появление увеличивало число в пять раз; например, если рядом были написаны «пи» и «хи», эта запись означала 5000), а также штрихи, каждый из которых означал единицу.
Римский математик вынужден был использовать семь значков: LХХХVII, а египтянин – даже пятнадцать символов: восемь подков и семь вертикальных штрихов. Ясно, что оперировать такими числами на папирусе или пергаменте было очень неудобно.

2. Римская система счисления

Римляне использовали непозиционную систему счисления, которая сохранилась до наших дней, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад.

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V(раскрытая ладонь) для числа 5, Х (две сложенные ладони для числа 10, а также специальные знаки для обозначения чисел «I» (1), «V» (5), «X» (10), «L» (50), «C» (100), «D» (500) и «M» (1000).

Римскими числами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).

Римская система счисления и сегодня используется для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах, для записи размеров одежды.

3. Ноль в Египте

Египтяне, греки и римляне предпочитали пользоваться счетной доской – абаком (подобные доски известны были и многим другим народам, например, китайцам и японцам).

Абаки имели несколько позиционных рядов – единицы, десятки, сотни. Если нужно было обозначить, например, 101 мешок зерна, в рядах сотен и единиц перебрасывалось в сторону по одной бусине, в то время как в ряду десятков между ними оставалось пустое место – фактически, наглядное воплощение нуля .

Превратившись в деревянные счеты, абак глубоко укоренился в культуре западных стран. С помощью этого несложного устройства подводили итоги финансисты Англии и немецкие бухгалтеры, китайские звездочёты и счетоводы России.

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и так далее использовались специальные знаки. Вот они:

Все остальные числа составлялись из этих символов при помощи сложения.

Например: чтобы записать число 3252, рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы):

Величина числа не зависела от того как располагались его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемешку.

Используя приложение, я тоже попробовала записывать числа с помощью этих систем счисления. Вот что у меня получилось:

IV . Позиционные системы счисления.

Записывать числа, а тем более производить с ними арифметические действия было трудно из-за их громоздкой записи. Вот тут им и потребовалось, какое то универсальное число, которым и стал ноль.

1. Вавилонская нумерация.

Первый в истории ноль изобрели вавилонские математики и астрономы. Еще около 300 г. до н.э. ученые Вавилона в своих расчетах с легкостью жонглировали «воплощенным ничто» - нолем. Впрочем, слово «жонглировали» не вполне здесь уместно, если знать, как громоздка и неудобна была их математика.

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой.

Наша теперешняя нумерация тоже поместная. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы.

Чем плохо было считать в такой системе счисления, сообразит каждый, вспомнив школьную таблицу умножения. Жители Вавилона, готовясь оперировать математическими значками, обязаны были помнить наизусть произведения всех чисел от «1 х 1» до «59 х 59» или хотя бы иметь под рукой обширную таблицу, где все эти произведения были перечислены.

Ноль в представлении вавилонян выглядел совсем не так, как теперь. Он изображался в виде двух поставленных наискось стрел. Таким образом, первоначально ноль был не цифрой, а лишь знаком пробела. Он не участвовал в математических операциях, а лишь помогал записать то или иное число и отличить их на письме. Так, тройка, за которой следовал пробел, превращалась в тридцать. Пробел был составной частью числа, но не числом. Складывать его с другими числами или умножать на него было невозможно.

Как же выглядели числа у вавилонян?

При записи чисел знаки для единицы, и для десятка повторялись нужное число раз, например:

Вавилонский способ обозначения чисел больше 60 очень похож на наш. В этом случае цифры записываются по разрядам, с небольшими пробелами между ними:

Так записывается число 302 ,

то есть 5х60+2:

А это 1х60х60 + 2х60 + 5 = 3725:

При отсутствии разряда вставлялся значок, игравший роль нуля. Это запись числа 7203 (2х60х60 + 3):

2. Племена Майя.

Независимо от вавилонян ноль изобрели племена Майя, населявшие Центральную Америку. Племена Майя не знали, что такое колесо и упряжные животные, но познаниям в области математики им могли позавидовать многие. Они первые смогли определить по солнцу, что продолжительность года составляет 365,242 дня (современное измерение – 365,242198), а длина лунного цикла равна 29,5302 дням (современное измерение – 29,53059). Такие удивительно точные результаты были едва возможны без мощной системы записи числа. Посмотрим, как племена Майя делали это.

Жрецы и астрономы племени использовали систему счисления с основанием 20. У них ноль существовал, и, причём вполне реальный – в виде пустой раковины. Как и у вавилонян, ноль был не числом, а лишь значком пробела и не участвовал в операциях сложения, вычитания, умножения и деления. Он лишь показывал, появившись, например, внутри числа «101», что в этом числе нет ни одной «двадцатки». Первые 19 чисел выглядели так:

Многозначные числа большие 19, записывались вертикально, начиная с единиц высшего разряда сверху вниз. Например число 79 записывалось так:

Нетрудно заметить, что 79=3*20+19, т. е. цифру второго разряда определяли как произведение количества единиц на число 20.

Цифра третьего разряда определялась как число 360. Каждый следующий разряд считался следующим образом: цифра четвертого разряда рассчитывалась при помощи множителя 7200 (360 х 20), пятого – 144000 (7200 х 20) и т. д.

А число 13495=(1 х 7200+17 х 360+8 х 20+15) записывалось так:

За тысячу лет до индусов племена Майя уже использовали ноль в своей двадцатеричной системе исчисления. В календаре Майя месяц начинался не с первого, а с нулевого дня «Ахау». Ноль понимался не как «дырка от бублика», а как знак бесконечности, «начало» и «первопричина».

3. Ноль у Инков.

Что до культуры инков, то они могли бы снять собственную трилогию «Матрицы» - ведь их система счёта очень близка с двоичной системой исчисления, лежащей в основе работы современной техники. «Кипу» представляла собой верёвочные сплетения и узелки, в которых и содержалась вся информация. Учитывая, что шнурки разделялись на 24 цвета, из-за чего количество возможных комбинаций достигает 1536 – что в два раза больше, чем могли рассказать египетские иероглифы.

4. Индия и ноль.

Родиной ноля как полноценного числа считают Индию, а отцами – ученых-математиков Ариабхата и Брахмагупта. Ноль появился самое позднее в 458 году нашей эры.

Поначалу индийцы пользовались словесной системой обозначения чисел. Ноль, например, назывался словами «пустое», «небо», «дыра»; двойка – словами «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы», «крылья». Так, в текстах III–IV вв. н.э. число 1021 передавалось как «луна – дыра – крылья – луна». Лишь в V веке великий математик Ариабхата отказался от этой громоздкой записи, использовав в качестве цифр буквы санскритского алфавита. Вскоре вместо букв ввели особые значки – цифры. Так, первым названием ноля было индийское слово «сунья» («пустое»). Первое его изображение выглядело как кружок, чуть меньший по размеру, чем прочие цифры – его нашли в записи числа 270, начертанном в 876 году на стене индийского города Гвалиора.

Эта сокращенная форма записи позволила ярко выявить все преимущества десятичной системы счисления. Опытный математик, жонглируя индийскими цифрами, мог перемножить два больших числа быстрее человека, переставлявшего костяшки на счетной доске.
Уже в VII веке индийские математики создают алгебру. Особенно больших успехов они добились в решении неопределенных уравнений, они использовали не только ноль, но и отрицательные числа.

V. Шествие «Нуля» по миру.

1. Ноль на западе.

Прежде чем «ноль» попал на Запад, он проделал долгий, окольный путь. В VII веке арабы вторглись на территорию Индии – и отсюда привнесли в свою науку новое понятие. Именно у арабов индийская система получила развитие и обросла новыми терминами – «алгебра», «алгоритм» и др. Здесь ноль назывался «аль-сифр», от которого происходит наше слово «цифра» (правда, применяемое ко всем 10 знакам, а не только нолю) – а от него произошло слова «шифр». Другое название – «zephirum», то есть «зефир», как ещё называют ветер (отсюда английское название ноля - «зеро»).

Через арабов позиционная система счета пришла в Европу – и хоть мы привыкли называть цифры «арабскими», они являются не иначе как индийскими, а сами арабы никогда не приписывали себе подобной заслуги.

Персидский математик аль-Хорезми (787 – ок. 850) первым из арабов описал в своем трактате «Числа индийцев» эту новую систему счисления. Он посоветовал своим читателям ставить в расчетах пустой кружок на то место, где должно помещаться «ничто». Так на страницах арабских рукописей появился привычный нам ноль.

Купцы-мусульмане, посещая Китай, познакомили местных жителей с цифрой «ноль». К тому времени она носила уже новое название. Слово «шунья» («пустое») было переведено на арабский и стало звучать «сифр» и «ас-сифр». Нетрудно увидеть в этом названии прообраз таких слов, встречающихся в разных европейских языках, как «Ziffer», «Cipher», «Chiffre», «цифра».

2. Ноль в Европе.

Европейцы знакомились с арабской ученостью, приезжая в Кордовский халифат – страну, в течение многих столетий занимавшую большую часть Пиренейского полуострова.

На рубеже 970-х годов в библиотеках Кордовы стал неизменно появляться некий приезжий в мусульманском одеянии. Это был переодетый французский монах Герберт из Орильяка, знавший греческий, арабский и еврейский языки и хотевший получить новые знания. Любознательный монах подвергся яростным нападкам со стороны священников, которые относились к языческим цифрам с неприязнью. Но остановить прогресс было уже нельзя.

Итальянский математик Леонардо Фибоначчи одним из первых заинтересовался индийской системой счёта, и не исключено, что именно его готовность к восприятию нового позволила ему сделать ряд важнейших открытий и закономерностей. Но его пропаганда столь удобного способа записи и счёта в своей «Книге Абака» не возымела особого действия на учёные средневековые лбы. И даже в 16 веке математики продолжали всячески избегать ноль, у пёрто придерживаясь античной системы и полагаясь на счётные доски. К примеру, итальянский математик Джеронимо Кардан (1501–1576) решал кубические и квадратные уравнения без ноля, совершая трудоёмкую и громоздкую работу безо всякой на то нужды.

Но, надо признать, эту простую и удобную систему сразу же оценили банкиры и купцы, которые считали вполне реальные деньги, а не извлекали воображаемые корни из воображаемых чисел в пыльной библиотеке. Уже в XV веке неакадемический люд вовсю считал с помощью индийских цифр, опережая учёные умы на столетия. Окончательно же десять знаков, включая ноль, утвердились в европейской науке лишь к началу 18 века.

3. Ноль на Руси

Здесь новая цифра появилась не так уж давно, и перекочевала, по всей видимости, уже из просвещённой Европы. В русском языке, ноль позаимствовали с немецкого языка ”NULL”. Привезли в Россию “NULL” ученые, во времена Петра I. До петровских времен вычислениями занимались с помощью римских цифр.

Леонтий Магницкий, который так же ввёл названия «миллион», «триллион», «биллион», «квадриллион», «множитель» и многие другие, на рубеже 17-18 столетий писал в своей «Арифметике» о ноле достаточно неуверенно. Так, математик называл его то «цифрой», то «ничем», то вообще «низачто». Математические рукописи XVII века ноль называли «оном» - из-за сходства с буквой «О».

VI. Ноль или нуль?

Итак, в России ноль появился сравнительно недавно. В словаре русских синонимов «ноль» определен следующим образом:

на голом месте плешь, ничто, шантрапа, десятая спица, не велика птица, последняя спица в колеснице, мелкая сошка, нуль без палочки, мелкота, зеро, маленький человек, ноль без палочки, никто, пятая спица в колеснице, шиш, ноль, нулевой цикл, козявка, ничтожность, пигмей, червяк, мелочь, червь, шишка на ровном месте, песчинка, пустое место, нолик, нулевка, ничтожество, пешка, тля, прыщ на ровном месте, мелюзга, мыльный пузырь, некомпетентный, нулик.

Сегодня «ноль» так прочно вошел в жизнь людей, что теперь представить ее без нуля просто невозможно. Но одни люди говорят «ноль», в другие «нуль». Как же правильно говорить?

Оказывается существуют две формы: ноль и нуль. В зависимости от того какие строятся предложения мы используем «ноль» или «нуль». Например, ноль целых, ноль внимания, в двенадцать ноль-ноль или нулевой меридиан, нулевой пробег, нулевой проводник.

VII. Заключение

«Ноль – это все, и все – это ноль», – говорят дзэн-буддисты, сращивая свою философию с математикой. Его появление было неприметно, его надобность вызывала сомнения, ведь за этим значком не скрывалось никакой реальной величины. Это пустяк, пустота, ничто! Мы не считаем графин в доме бесполезной емкостью, сосуд, который можно было бы выбросить. Согласитесь, на все есть свое время. Графин может какое то время оставаться пустым, затем, в каких-то случаях, мы захотим использовать его для наполнения жидкостью. И бесполезная вещь становится нам необходимой.

Между тем на этом пустом месте строится все здание современной математики. В цифре ноль таится намёк на неописуемое и невыразимое, в неё заключено беспредельное и бесконечное. В последующие века значение ноля стремительно возрастает. С появлением ноля произошёл настоящий переворот не только в банковском деле, но и в искусстве. В 1425 году итальянский архитектор Филиппо Брунеллески впервые в истории европейской живописи набросал рисунок, на котором все изображенные объекты сходились в одну центральную точку. Своим рисунком Брунеллески заложил основы центральной перспективы. Теперь – благодаря математической точности художника – плоское изображение производило впечатление трехмерного.

Ноль начинает занимать место на различных числовых шкалах. В географии он упорядочивает разные виды координат. Определяя долготу географического пункта, мы отсчитываем ее от «нулевого меридиана», проходящего через Гринвич. Все наше сознание насквозь математично – мы на каждом шагу подсчитываем плюсы и минусы, исчисляем дебет и кредит. Итоги, постоянно подводимые нами, немыслимы без понятия «ноль».

Наконец, без ноля не существовало бы современной компьютерной техники. Еще в первой половине ХIХ века немецкий инженер Конрад Цузе сконструировал первую электрическую вычислительную машину, которая оперировала цифрами «1» и «0». Ноль означал, что ток отсутствует, единица – что ток есть. Со временем на смену машине Z1 пришли ЭВМ. Но в основе их работы – все тот же принцип бинарного (двоичного) счисления.
А представить себе современную жизнь без компьютера уже так же трудно, как и то, что когда-то наши предки испытывали ужас перед цифрой «0».

Приложения

Презентация

Приложения:

Скачать материал В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.