Тема: “Положительные и отрицательные числа. Координаты на прямой”

В этом материале мы объясним, что такое положительные и отрицательные числа. После того, как будут сформулированы определения, мы покажем на примерах, что это такое, и раскроем основной смысл этих понятий.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое положительные и отрицательные числа

Для того чтобы объяснить основные определения, нам понадобится координатная прямая. Она будет расположена горизонтально и направлено слева направо: так будет удобнее для понимания.

Определение 1

Положительные числа – это те числа, которые соответствуют точкам в той части координатной прямой, которая расположена справа от начала отсчета.

Отрицательные числа – это те числа, которые соотносятся с точками в части координатной прямой, расположенной с левой стороны от начала отсчета (нуля).

Нуль, от которого выбираем направления, сам по себе не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.

Из данных выше определений следует, что положительные и отрицательные числа образуют некие множества, противоположные друг другу (положительные противопоставляются отрицательным, и наоборот). Ранее мы об этом уже упоминали в рамках статьи о противоположных числах.

Определение 2

Мы всегда записываем отрицательные числа с минусом.

После того, как мы ввели основные определения, мы можем без труда привести примеры. Так, к положительным относятся любые натуральные числа – 1 , 9 , 134 345 и др. Положительные рациональные числа – это, например, 7 9 , 76 2 3 , 4 , 65 и 0 , (13) = 0 , 126712 ... и так далее. К положительным иррациональным числам относится число π , число e , 9 5 , 809 , 030030003 … (это так называемая бесконечная непериодическая десятичная дробь).

Приведем примеры отрицательных чисел. Это - 2 3 , − 16 , − 57 , 58 − 3 , (4) . Иррациональные отрицательные числа – это, например, минус пи, минус e и др.

Можно ли сразу сказать, что значение числового выражения log 3 4 - 5 является отрицательным числом? Ответ неочевиден. Нам придется выразить это значение десятичной дробью и потом посмотреть (подробнее см. в материале о сравнении действительных чисел).

Для того чтобы уточнить, что число положительное, перед ним иногда ставят плюс, так же, как и перед отрицательным – минус, но чаще всего он опускается. Не забывайте, что + 5 = 5 , + 1 2 3 = 1 2 3 , + 17 = 17 и так далее. По сути, это разные обозначения одного и того же числа.

В литературе также можно встретить определения положительных и отрицательных чисел, данные на основе наличия у них того или иного знака.

Определение 3

Положительное число – это число, имеющее знак плюс, а отрицательное – имеющее знак минус.

Есть также определения, основанные на положении данного числа относительно нуля (вспомним, что на правой стороне координатной прямой расположены большие числа, а на левой - меньшие).

Определение 4

Положительные числа – это все числа, значение которых больше нуля. Отрицательные числа – это все числа, меньшие нуля.

Выходит, что нуль является своеобразным разделителем: он отделяет отрицательные числа от положительных.

Отдельно остановимся на том, как правильно читать записи положительных и отрицательных чисел, хотя, как правило, с этим не возникает особых проблем. Для отрицательных чисел мы всегда озвучиваем минус, т.е. - 1 2 5 – это «минус одна целая две пятых».

В случае положительных чисел мы озвучиваем плюс только тогда, когда он явно указан в записи, т.е. + 7 – это «плюс семь». Названия математических знаков неправильно склонять по падежам. Например, верно будет прочесть фразу a = - 5 как « а равно минус пяти», а не «минусу пяти».

Основной смысл положительных и отрицательных чисел

Мы уже дали основные определения, но для того, чтобы делать верные подсчеты, необходимо понять сам смысл положительности или отрицательности числа. Попробуем помочь вам это сделать.

Положительные числа, то есть те, которые больше 0 , мы рассматриваем как прибыль, прибавку, увеличение количества чего-либо, а отрицательные – недостаток, убыток, расход, долг. Приведем примеры:

У нас есть 5 любых предметов, например, яблок. Цифра 5 – положительная, она указывает на то, что у нас что-то есть, мы обладаем некоторым количеством реально существующих предметов. А как тогда рассматривать - 5 ? Оно может, например, значить, что мы должны отдать кому-то пять яблок, которых у нас в данное время нет.

Проще всего это понять на примере денег: если у нас есть 6 , 75 тыс. рублей, то наш доход положительный: нам дали денег, и они у нас есть. В то же время в кассе эти расходы указываются как - 6 , 75 , то есть для них это убыток.

На градуснике рост температуры на 4 , 5 значений можно описать как + 4 , 5 , а снижение, в свою очередь, как - 4 , 5 . В приборах, предназначенных для измерения, часто используются положительные и отрицательные числа, поскольку с помощью них удобно отображать изменения величин. Например, в термометре отрицательные числа указываются синим цветом – это падение, холод, уменьшение тепла; положительные же отмечены красным – это цвет огня, роста, увеличения тепла. Эти цвета очень часто используются для записи таких чисел, т.к. они очень наглядны – с их помощью всегда можно четко выделить приход и расход, прибыток и убыток.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Содержание урока

Это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2» и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4»

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания, как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше» . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево, число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше , чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше , чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше , чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше» . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше , чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

Ноль меньше, чем четыре

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Учитель: .

Тема: “Положительные и отрицательные числа. Координаты на прямой”.

Тип урока: изучение нового материала.

Цель:

Дать всесторонние представления о новых числах. Научить читать и записывать положительные и отрицательные числа, изображать их точками на прямой. Определять координаты точек, находить координату точки, отмечать на координатной прямой точку по ее координате. Формировать навыки мыслительной деятельности, внимательность, культуру чтения, культуру математической речи, развивать активность учащихся.

Образовательные результаты:

· Умение отличать положительные числа от отрицательных;

· Умение построить координатную прямую;

· Умение находить на координатной прямой точку с заданной координатой;

· Умение определять координату заданной точки;

· Навыки контроля и самоконтроля.

Межпредметные связи:

География, история, биология, русский язык .

Оборудование:

Компьютер, мультимедийный проектор, презентация, карточки.

Ход урока:

1. Организационное начало.

Приветствие. Проверка готовности учащихся к работе. Игра «Антонимы». Сегодня вам пригодятся знания не только по математике, но и по другим предметам. Вспомним из уроков русского языка, что такое антонимы ? Назовите антоним к слову…

Холодно-…

Глубина-…

Прибыль-…

Недостача-…

У чисел тоже есть антонимы. Те, которые мы уже изучили - положительные числа, а противоположные им по значению - отрицательные числа. Слова положительные числа и отрицательные числа тоже антонимы, которые используются в математике. С ними мы познакомимся сегодня на уроке и выясним, нужны ли отрицательные числа? (Цели урока.)

Запишите тему урока: «Положительные и отрицательные числа. Координаты на прямой».

2.Устный счёт (слайд 2)

Задача 1

Белка вылезла из дупла и бегает по стволу. Она удалилась от дупла на 3 метра. Где находиться белка? Достаточно ли знать лишь расстояние белки от дупла?

Что нужно знать, чтобы определить положение белки на дереве?

(слайд 3)

Достаточно ли знать только расстояние, чтобы определить точное положение автобуса?

4.Каким числам соответствуют точки А, Е, С, Д, В, F на координатном луче?

5.Каким точкам на координатном луче соответствуют числа 15 ,11,5?

6.Какую будет иметь координату точка А, если её переместить: на 2 единичных отрезка вправо;

Ребята затрудняются ответить на последний вопрос. Создаётся проблемная ситуация: найти с помощью координатного луча координату точки невозможно. Необходима новая математическая модель.

3.Изучение нового материала.

И такая математическая модель существует. Начертите прямую. Отметьте на ней точку О. На какие две фигуры разбила точка О прямую? (НА ДВА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЛУЧА).

Выберем отрезок определённой длины (допустим одна клетка в тетради) и отложим от точки О вправо и влево отрезки выбранной длины. Как называются эти отрезки? Как назовём точку О?

(единичный отрезок, начало координат)

Какое число соответствует точке О? (нуль)

Расставим числа слева от нуля под каждым штрихом 1,2,3,…Как называется число, соответствующее точке на каждом луче? (координата точки). Отметим точки С и В справа и слева от О на одинаковом расстоянии. Назовите их координаты. Расположение точек различно, а координаты одинаковые. Чтобы отличать их друг от друга, условились ставить перед числами справа от нуля знак «+», а слева знак «-» .Числа со знаком плюс называют положительными, а со знаком минус отрицательными. Направление вправо от начала отсчета называется положительным, и направление на прямой обозначают стрелкой . Влево от точки О располагают отрицательные числа , и направление влево от точки О называется отрицательным (отрицательное направление не указывается). Знак «+» перед положительными числами обычно опускают, для краткости записи, и вместо +2 пишут 2, поэтому +2=2 т. е это одно и то же число, только по разному обозначенное. Отрицательные числа пишутся со знаком“-”.Читают: “Минус один”, “Минус два”,“Минус три” и т. д

К каким числам мы будем относить нуль? (нуль – число ни положительное ни отрицательное). Оно отделяет положительные числа от отрицательных чисел.

Мы получили новую математическую модель, которая называется координатная прямая. Назовите её особенности.

· Прямая линия.

· Указано положительное направление.

· Отмечено начало отсчёта.

· Отложены единичные отрезки.

Назовите новую координату точки С? Отметьте на координатной прямой точку А(5).

А теперь вернёмся к нашему вопросу. Какую будет иметь координату точка, А если её переместить на 7 единичных отрезков влево.

(с лайд 5) Прямые могут находиться в различных положениях. Поэтому дополнительные лучи могут идти не только влево и вправо, но и, например, вверх и вниз. Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек, расположенных справа от точки О, а отрицательными – координаты точек, расположенных слева от точки О. Если прямая расположена вертикально, то положительными считают координаты точек, расположенных выше точки О, а отрицательными – координаты точек, расположенных ниже точки О.

4.Найдите ошибку .

Найдите среди прямых - прямую, которая является координатной прямой. Объясните почему?

(слайд 6)

5.Физкультминутка. Если я называю положительное число, то ребята поднимают правую руку, если – отрицательное число, то левую руку, если отрицательную дробь, то обе руки. -1,2; 3/5; 0; -11,2; -4,8; 5; 8,3, -1000; 0, 0001; 0.

6.Игра « Определи кодовое слово» (ученик у доски)

(слайд 7)

Отметьте на координатной прямой точки А (1,9), Д(-3,4), Е(-2),К(-1/2), Р(2,4) и Т(4).Прочитайте полученное слово. Получили слово «Декарт»

7. Историческая справка (ученик делает доклад)

(слайд 8) Рене Декарт, французский математик, физик и философ. В 1637 году предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел - ввёл координатную прямую. А до этого момента люди долгое время не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Понимание того, что отрицательные числа нужны и полезны приходило постепенно. Давайте с вами погрузимся в мир истории… первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во 2 веке до нашей эры. Положительные числа тогда толковались как имущество, прибыль, а отрицательные как долг, недостача. Индийские математики лишь в 7веке начали вместо слов «долг 10 юаней» писать просто «10 юаней», но рисовать эти иероглифы чёрной тушью. В Европе отрицательными числами начали пользоваться в 12-13веке. В Италии ростовщики, давая деньги в долг ставили перед именем должника сумму долга и чёрточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачёркивали её, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачёркнутым минусом! уже писал «+» и «-» для сложения и вычитания а чуть позднее немецкий учёный Михель Штифель написал полную арифметику, которая была напечатана в 1544 год, именно напечатана, а не написана от руки. В ней встречаются такие записи чисел 0+2,0-2,0-5,0+7.Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего».Числа второго вида назвал « больше, чем ничего»Вам, конечно понятны эти названия, потому, что «ничего» это нуль. Об этих числах всегда велись разговоры в учёных кругах. Предполагались и другие обозначения, придумывались изображения. Но даже несмотря на это в 17 веке знаменитый учёный как Паскаль считал, что если из нуля вычесть какое-либо число, то в результате получится нуль. История отрицательных чисел получило своё развитие с появлением аналитической геометрии. Теперь они наравне с положительными были представлены на геометрической оси. В 1831 году Гаусс полно обосновал, что отрицательные числа абсолютно равнозначны по правам с положительными, а то, что их можно применить не во всех случаях, значения не имеет. Окончательное и всеобщее признание отрицательные числа получили лищь в первой половине 18 века. А история возникновения отрицательных чисел заканчивается 19 веке когда Уильям Гамильтон и Герман Грассман создали полную теорию отрицательных чисел, тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел. С этого момента заканчивается история возникновения отрицательных чисел и начинается история развития данного математического понятия. Но это уже другая история…

8.Первичное закрепление.

(слайд 9) Прочитайте числа.

(слайд 10) Найдите ошибку.

(слайд 11) Самостоятельная работа – самопроверка.

Проверь себя (слайд 12)

9.Практическое применение координатной прямой.

Шкала высот и глубин. На уроках географии вы изучали шкалу высот и глубин. На ней начало отсчёта ведётся от уровня океана. Поверхность нашей Земли представлена равнинами и горами их высота определяется по шкале; по ней определяется и глубина океанов (слайды 13,14,15)

С координатной прямой, расположенной горизонтально, мы встречаемся на уроках истории – линия времени (слайд 17)

Шкалу с положительными и отрицательными числами и нулем имеют термометры. Термометр- это прибор для измерения температуры. Начало отсчета соответствует температуре таяния льда 0 градусов Цельсия. А при 100 градусах закипает вода.

(слайд 17)

9.Закрепление нового материала.

№ 000, № 000 из учебника

11. Итог урока.

Что мы узнали на уроке? Что такое числовая координатная прямая, какие числа называются отрицательными, положительными, что называется началом координат, что называется координатой точки? Достаточно ли только положительных чисел? Зачем же нам отрицательные числа?

(слайд 18)

n движение: вверх – вниз

n движение: вправо – влево

n измерение температуры: выше нуля и ниже нуля;

n исчисление времени: годы до н. э. и годы н. э. на оси времени;

n определение местоположения тела по карте или глобусу: восточная и западная долгота или северная и южная широта (в географии);

n отметки выше уровня Мирового океана (нулевой отметки) и ниже уровня океана (в географии);

n решение уравнений, когда в ответе получается отрицательное число.

Отрицательные числа необходимы.

11. Домашнее задание . Стр147-148, № 000,№ 000. (слайд 19)

Когда то в школе, наш учитель по математике закончила урок фразой: «На следующем уроке мы с вами узнаем, какие числа живут до нуля». Мы очень ждали следующего урока. Мы не могли поверить… какие такие числа могут существовать в обратном направлении? На этом уроке вы узнаете именно о таких числах

Больше уроков на сайте

Рациональные числа

Положительные и отрицательные числа

Для чего нужны числа?

— для подсчёта предметов;

— для измерения величин (расстояний, масс, скоростей и т.п.)

Сколько? 3 ученика, 6 уроков, 10 км, 100 кг, 40км/ч

учеников класса, 10% стоимости, 10,5 лет и т.п.

Отрицательные числа – противоположные к известным нам числам

расход – доход

глубина – высота

отрицательные числа

положительные числа

рациональные числа Q

натуральные числа

противоположные к натуральным

целые числа

Какое понижение температуры было более значительным?

с +30С до -150С

с -80С до -240С

• -15-(+3)
• Найти значения этих выражений
• Сравнить результаты

Дать определение положительных и отрицательных чисел нам поможет координатная прямая . Для удобства будем считать, что она расположена горизонтально и направлена слева направо.

Определение.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим правее начала отсчета, называют положительными .

Определение.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим левее начала отсчета называю отрицательными .

Число нуль, соответствующее началу отсчета, не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Следовательно, отрицательные числа всегда записываются со знаком минус.

Теперь, зная определения положительных и отрицательных чисел, мы с легкостью можем привести примеры положительных и отрицательных чисел . Примерами положительных чисел являются натуральные числа 5 , 792 и 101 330 , да и вообще любое натуральное число является положительным. Примерами положительных являются числа, 4,67 и 0,(12)=0,121212… , а отрицательных – числа, −11 , −51,51 и −3,(3) .

Определение.

Числа со знаком плюс называют положительными , а со знаком минус –отрицательными .

Существует еще одно определение положительных и отрицательных чисел, основанное на сравнении чисел. Чтобы дать это определение, достаточно лишь вспомнить, что точка на координатной прямой, соответствующая большему числу, лежит правее точки, соответствующей меньшему числу.

Определение.

Положительные числа – это числа, которые больше нуля, а отрицательные числа – это числа, меньшие нуля.

Таким образом, нуль как бы отделяет положительные числа от отрицательных.

Конечно же, следует еще остановиться на правилах чтения положительных и отрицательных чисел. Если число записано со знаком + или −, то произносят название знака, после чего произносят число. Например, +8 читается как плюс восемь, а — как минус одна целая две пятых. Названия знаков + и − не склоняются по падежам. Примером правильного произношения является фраза «a равно минус трем» (не минусу трем).

Положительные и отрицательные числа, которые изучаются в шестом классе - очень легкая для понимания, приятная тема. А самое главное, без нее нельзя двигаться дальше - весь курс математики основан на использовании чисел как со знаком «плюс», так и со знаком «минус».

Посмотрим, какими определениями можно характеризовать данное понятие - и приведем примеры.

Что такое координатная прямая?

Приступая к изучению математики, сначала школьники учатся обращаться только с положительными числами - 1, 2, 3, 10, 128, 1586 и так далее почти до бесконечности, причем числа могут быть и целыми, и дробными. Смысл положительных чисел прост - обычно они обозначают количество каких-то предметов, единицы длины и массы, возраст и так далее.

Однако если вообразить перед собой или начертить на бумаге прямую линию и поставить в ее условном центре число 0, то окажется, что направления у такой прямой будет два. Справа от нуля расположатся уже знакомые нам положительные числа. А вот слева числа будут стоять со знаком «минус» - -1, -2, -3 и тому подобное. Как и в предыдущем случае, это относится и к целым числам, и к дробным.

Можно вывести сразу несколько определений положительных и отрицательных чисел. Положительными будут числа:

• больше нуля;
• расположенные на координатной прямой справа от точки 0;
• со знаком «плюс» или не имеющие никакого знака перед собой в письменном виде.

В свою очередь, отрицательными будут числа:

• меньше нуля;
• стоящие слева от точки 0 на прямой координат;
• имеющие в числовой записи знак «минус», стоящий непосредственно перед числом.

Хотя перед положительными числами и можно ставить значок «+», обычно этого не делают, чтобы не перегружать уравнение или выражение. Знак «-» перед отрицательными числами ставится всегда - соответственно, если его нет, то число точно является положительным.

Начальная точка координат - 0 - не относится ни к одной из категорий и стоит обособленно.

Что могут обозначать отрицательные числа?

Если попытаться применить математику к повседневной жизни, то можно обнаружить, что отрицательные числа встречаются нам наряду с положительными. Самый простой пример - это температура воздуха. Когда на улице холодно, это не обозначают каким-то очень малым положительным числом - а опускаются ниже нуля и используют числа отрицательные. Кроме того, если положительные числа говорят о наличии и количестве неких предметов, то числа отрицательные могут выражать их отсутствие или уменьшение количества.