Вероятностная логика - это раздел математической логики (см. ), изучающий логические системы, в которых множеством значений истинности высказываний служат вероятности (см. ) как степени правдоподобия или подтверждения . Предметом вероятностной логики являются вероятностные высказывания, независимо от того, рассматривается ли вероятность как свойство отдельного высказывания (тогда вероятность приписывается ему в качестве промежуточного значения между истиной и ложью) или как оценка отношения пары обычных двузначных высказываний. В отличие от теории вероятностей в вероятностной логике обозначение вероятности точным числом не является главным требованием.

Чаще всего вероятности добавляются к системе пропозициональной логики в качестве нового отношения, соединяющего множество высказываний и множество их значений из интервала 0 P(A ) P(A ) - вероятность истинности высказывания A . Таким образом, система аксиом вероятностной логики состоит из трёх частей:

1. пропозициональная, задающая операции между высказываниями;
2. арифметическая, задающая операции между значениями вероятности;
3. вероятностная, задающая функцию приписывания высказываниям их значений.

Обычно арифметическая часть опускается и тогда система аксиом и правил вывода может иметь следующий вид:

A1 . Пропозициональное исчисление, AB1 . 0 ≤ P (A \B ) ≤ 1 АВ 2 . P (A \A ) = 1 АВ 3 . P (A & B \C ) = P (A \C ) P (B \АС ) АВ 4 . ˥B lP (A \B ) = ⊢ P (A \B ) АВ 5 . (A = C ) &; (B = D ) ⊢ P (A \B ) = P (C \D ), где P (A \B ) есть вероятность истинности A при условии истинности B .

Нередко вероятностную логику рассматривают как уточнение индуктивной логики . Это связано с тем, что отношение между посылками индуктивного рассуждения можно оценивать с помощью вероятности. Значения этой вероятности можно определить либо численно, либо посредством сравнения понятий (больше, меньше, равно).

Ещё одной разновидностью систем вероятностной логики являются системы прагматической вероятностной логики , в которых понятие вероятности используется для анализа прагматических аспектов исследования (см. ). К подобным логикам относятся вероятностные логики действия, вероятностные логики выбора, вероятностные логики изменения, вероятностные логики принятия решения, вероятностные логики предпочтения. При этом в ряде систем понятие вероятности в явном виде не фигурирует, но связь её с основными понятиями в каждом случае можно легко установить.

Различение между знанием достоверным и правдоподобным (вероятностным) встречается ещё в Античности, в частности у Парменида и элеатов. Значительное место уделяет в своих работах по логике исследованию познания неопределённых ситуаций и Аристотель. Он противопоставляет аподиктическое, доказательное знание, знанию диалектическому и эвристическому, полученному с помощью умозаключений, основанных на проблематических посылках. Идеи Аристотеля однако не получили развития. Лишь с возникновением в XVII веке математической теории вероятностей можно говорить об оживлении философского интереса к исследованию вероятностных методов. Г. В. Лейбниц пишет в этой связи о необходимости нового раздела логики, основывающегося на тех новых способах рассуждений и понятиях, которые потребовались для разработки математической теории вероятности. С ним согласен и Я. Бернулли, который вслед за Лейбницем истолковывал вероятность как степень уверенности. Он рассматривает различные виды аргументов и проблему оценки их весомости для вычисления вероятностного заключения. И. Г. Ламберт идёт ещё дальше, и там, где Бернулли говорит о вероятности «вещей» и «дел», Ламберт прямо говорит о вероятности высказываний К XIX веку относится предложение представителей концептуалистского понимания логики (Дж. Буль, У. С. Джевонс, А. де Морган, П. С. Порецкий) перевести классическую математическую теорию вероятности на язык логики высказываний. Среди других логиков XIX века, уделивших много внимания исследованию природы вероятности, был Ч. С. Пирс. Однако он не подвергал систематическому рассмотрению формальные основания вероятностного вывода. Другой подход развивается в работах представителей «содержательной логики», в частности у Дж. Венна, чья концепция представляет собой первую систематическую попытку развить теорию вероятностей на частотной основе. Наиболее интересными и фундаментальными из всех исследований в этой области были исследования Б. Больцано, к сожалению, ныне незаслуженно забытые.

Первые аксиоматические системы, использующие вероятность как логическое отношение между высказываниями, были построены С. Н. Бернштейном в России (1917) и Дж. М. Кейнсом в Англии (1921). Но последний выходит за рамки обычного исчисления вероятности. (Он не ограничивает значения вероятности областью действительных чисел и, кроме того, у него существуют несравнимые по величине вероятности.)

Дальнейшее развитие идеи Кейнса получили в работах Г. Джеффри и Б. Купмана. В более поздней системе Р. Карнапа вместо функции P (A \B ) из аксиом AB1 - АВ 5 используются функции уверенности. Помимо этого используются также функции правдоподобия и функции подтверждения.

Несколько иначе рассматриваются подобные проблемы в системах вероятностной логики, основанных на эпистемологической интерпретации вероятности (Н. Гудмен, Г. Кайберг). В них вводится вероятностное отношение на множестве предложений («системе знаний») и если утверждение об эквивалентности двух предложений считается разумным, то эти предложения должны иметь одинаковые вероятности. При статистической интерпретации вероятности (Я. Шинделяр) место системы знаний занимает система допущений. Каждая процедура статистического вывода характеризуется при этом конкретным отношением выводимости, числом и рассмотренных допущений и числом m (или отношением m /n ) тех допущений, для которых имеет место данное отношение выводимости. С металингвистической интерпретацией имеет дело система Г. Рейхенбаха (1949), где вероятность высказываний вычисляется как относительная частота истинности высказываний этого типа в их бесконечной (или конечной) вероятностной последовательности.

В последние десятилетия новым стимулом к возникновению систем вероятностной логики послужил прогресс в развитии приложений логики к искусственному интеллекту . Характерным для новых систем является использование семантики возможных миров (см. ) и связанных с ними логических систем (Н. Нильсон, Дж. Хальперн, Дж. Амати, М. Фатторози-Барнаба и другие). Для вероятностных логик, в которых исследуются утверждения об индуктивной вероятности, строится семантика возможных миров с вероятностной мерой, определённой на множестве миров или на множестве правильно построенных формул языка. В случае частотной вероятности более естественным оказывается задание вероятностной меры на множестве индивидов, а не миров.

Однако сложилось так, что в XX веке в науке, искусстве, образовании и всей духовной жизни общества возникло ощущение исчерпанности прежней логики освоения мира. В структуру законов природы в разных науках, притом самых продви­нутых - физика, химия, математика, - вошли на равных правах с ясностью и однозначностью причинно-следственных связей пред­ставления о вероятностности и неопределенности. Оказалось, что даже в отношении явлений неживой природы можно предсказывать лишь вероятность наступления тех или иных событий («Истинная логика нашего мира - это подсчет вероятностей» - Джеймс Мак­свелл). Выяснилось, что предсказания относительно поведения объ­ектов регулируются принципами, которые так и называются прин­ципами неопределенности (по Вернеру Гейзенбергу, чем точнее мы знаем, где сейчас находится частица, тем хуже нам известно, куда она направляется). Законы логики изменились, стали другими и тем са­мым показали, что они - такие же продукты человеческого опыта и разума, как и основные положения естественных наук.

Ограниченность причинной логики становится очевидной для некоторых (пока очень немногих) мыслителей еще в первой половине XIX века. Серен Кьеркегор, основоположник философии экзистен­циализма, пишет: «Спрашивайте меня о чем угодно, только не о причинах. Молодой девушке извиняют, если она не может привести причин, на том основании, что она, мол, живет чувством. Со мной

не то: у меня бывает обыкновенно так много одна другой противоре­чащих причин, что по этой причине я и не могу сослаться ни на одну из них. Что же касается отношения между причиной и следствием, то и тут, если не ошибаюсь, что-то не ладно. То громадная причина имеет самые ничтожные последствия - а то и вовсе никаких, то какая-нибудь вздорная ничтожная причина ведет к колоссальным последствиям».

В XX веке многим ученым и философам стало ясно, что неопре­деленности и случайности в принципе нельзя избежать, и там, где раньше наука была готова однозначно предсказывать вполне опреде­ленные следствия из известных причин, она стала предсказывать лишь распределение вероятностей. Это не означает, что предсказа­тельная сила законов стала меньше, но обнаружились ограничения, согласно которым какие-то сведения вообще получить невозможно. (Например, закон радиоактивного распада позволяет на основе учета вероятностей событий с большой точностью предсказать, сколько ядер распадется за данный промежуток времени, но ни этот, ни какой-либо другой закон не дает ни малейшей возможности предска­зать, какое именно ядро распадется, а какое - нет.)

Логика классического детерминизма не справлялась с простыми (на первый взгляд) проблемами. Это можно проиллюстрировать при­мером из книги Ипполита Васильевича Давыдовского «Проблемы причинности в медицине»: суждение типа «микроб - причина болез­ни» представляется вполне здравым, однако хорошо известно, что в организме человека всегда находятся, не вызывая в нем каких-либо заметных болезненных проявлений, сотни и сотни болезнетворных микробов. Так что же это за причина, которая может вызывать след­ствие, а может и не вызывать? Вопрос, является ли микроб причиной заболевания, оказался не имеющим ответа, неправильно поставлен­ным; не только многие конкретные вопросы, но и сам сложившийся в науке способ рассуждения о проблемах взаимодействия сложных систем оказался неплодотворным.

Хаос, случайность, неустойчивость до самого последнего времени считались врагами научных теорий и тщательно из них изгонялись. Теперь они стали рассматриваться как важные факторы развития. В своей книге «От существующего к возникающему» И.Р. Пригожий пишет: «Основная цель этой книги - попытаться показать читателю, что мы переживаем тот период научной революции, когда коренной переоценке подвергается место и самое существо научного подхо-

да, - период, несколько напоминающий возникновение научного подхода в Древней Греции или его возрождение во времена Галилея».

Стало ясно, что поведение сложных систем, любые особенности взаимодействия системы со средой невозможно объяснить действием какой-то одной причины - всегда имеет место сложная совокупность многих факторов, которые заведомо не могут быть известны все. Не может быть и полной определенности в описании взаимодействия сложных систем - для этого приходится использовать вероятностные распределения.

Распространение нового подхода к познанию мира - дело нелег­кое и небыстрое, сложившаяся в общественном сознании традиция закрепляется, как правило, прочно. Гегель утверждал, что здравый смысл - это способ рассуждений, содержащий все предрассудки дан­ной эпохи. Его суждение хочется немного подправить: совокупность предрассудков принадлежит обычно эпохе предыдущей.

В ранней античности путь человека по жизни казался заранее пред­определенным: человека ведет рок; все, что должно с ним произойти, произойдет непременно, не в его власти изменить предначертанное. Судьба отдельного человека вплеталась нитью в ткань упорядоченного космоса, подчинявшегося в своем функционировании общим законам, в которых не было места вероятности или неопределенности. Очень ярко такое представление выразилось в мифе об Эдипе, который широко известен по трагедии Софокла Эдип не желает убивать отца и жениться на матери, но все его усилия избежать предопределения оказываются тщетными, рок торжествует. Осмысление человеком своей судьбы, от­стаивание человеческого достоинства и составляют содержание этой потрясающей душу трагедии.

В логике детерминизма можно поставить вопрос: что является причиной того или иного результата образования - совокупность внешних обстоятельств или врожденных, генетически заданных ка­честв? При такой постановке вопроса любой из ответов приводит к заранее предопределенному результату, поскольку учитывается толь­ко однонаправленное влияние. Как отмечал Дьюи, люди склонны представлять в виде противоречий те аспекты реальности, которые на деле неразделимы и разводятся чисто теоретически. Он писал в начале нынешнего века: «Вся история педагогической мысли отмечена борь­бой двух идей: идеи о том, что образование - это развитие, идущее изнутри, что оно основано на природных способностях, и идеи о том, что образование - формирование, идущее извне и представляющее

собой процесс преодоления природных наклонностей и замещения их приобретенными под внешним давлением навыками».

Но данное противоречие - кажущееся, потому что в образовании любого человека можно разглядеть влияние как природных склоннос­тей, так и внешнего окружения. Если бы личность была дана человеку с самого начала его существования в этом мире, врожденные качества определяли бы все ее свойства и, таким образом, вполне подходили бы на роль античного рока. Однако вопрос о соотношении врожден­ных и приобретенных свойств во многом еще остается открытым.

Как уже отмечалось, процесс образования представляет собой взаимодействие систем самого высокого уровня сложности, таких как личность, культура, сообщество. Для раскрытия логики этого процес­са нужно учитывать сложность психики личности, которая много­кратно умножается при рассмотрении взаимодействия личности и сообщества. Тем не менее существуют модели образования, каждая из которых раскрывает нечто существенное в логике этого взаимодей­ствия и позволяет соответственно этому строить образовательный процесс. Эти модели можно противопоставить друг другу по их от­ношению к роли случая в процессе и результате образования.

Модальная логика. Вероятностная логика

1. Сущность модальной логики

Традиционная или классическая логика, которую мы до сих пор рассматривали, является самой простой и наиболее употребительной логической системой. Она исходит из того, что атомарные (простые) суждения и понятия, из которых строятся рассуждения и которые уже не анализируются, либо истины, либо ложны, но ни то ни другое вместе. Однако многие понятия и суждения повседневных и научных рассуждений не так хорошо укладываются в категории истинных и ложных. Истинностное значение суждения «Вероятно, завтра будет дождь» весьма и весьма не определено. Некоторые логики, начиная с Аристотеля, стали учитывать различие между истинами, являющимися таковыми, так сказать, в силу необходимости, и истинами случайными. Так возникли модальная логика и вероятностная логика.

В отличие от классической логики, приписывающей суждениями и понятием два истинностных значения: истина и ложь, модальная логика оперирует такими истинностными значениями, как «возможно», «необходимо», «невозможно», и т.д. Первую попытку построить модальную логику предпринял Аристотель в своем сочинении «Первая и вторая аналитики» (ей посвящены главы третья и восьмая – двадцать вторая «первой аналитики»). Однако, как подметил Я. Лукосевич (1878–1956), аристотелевское изложение модальной логики не было свободно от недостатков. Ученик Аристотеля Теофраст (370–288 до н. э.) уточнил учение Аристотеля о модальности суждений. Средневековые схоласты развили аристотелевскую модальную силлогистику. Современные исследования в области модальной логики характеризуются стремление построить аксиоматические системы модальной логики. Наиболее известные из них это системы Льюиса, Аккермана и Лукасевича.

Модальная и вероятностная логики – довольно специфические ветви логики. Знакомство с их основами необходимо для понимания методологии научного исследования.

2. Модальность суждений

Под модальностью суждений понимается различия между суждением в зависимости от того, выражают ли они необходимую или вероятностную (случайную) связь между субъектом и предикатом. По модальности суждения делят на три группы: суждения возможности (проблематические), суждения действительности(ассерторические) и суждения необходимости(аподиктические). В суждении возможности отображается возможность наличия или отсутствия признаков у предмета, о котором говорится в данном суждении. Его формула «S возможно есть (не есть) Р ». Таким будет, например, суждение «Возможно в Киеве в апреле этого года будет снег». В суждении действительности констатируется наличие или отсутствие у предмета того или иного признака. Его формулы «S есть (не есть) Р ». Суждение «Киев стоит на Днепре» – это суждение действительности. В суждении необходимости отображается такой признак, который имеется (отсутствует) у предмета при всех условиях. Его формула «S необходимо есть (не есть) Р ». примером суждения необходимости может быть следующее суждение: «Тело, лишенное опоры, падает на Землю».

Суждения возможности, действительности и необходимости делятся по качеству на утвердительные и отрицательные, а также по количеству на частные и общие.

В модальной логики различают логические и физические модальности. Логические модальности – это законы логики и математики. В число физических или каузальных (причинных) модальностей входят все законы экспериментальных наук. Так, суждение «Не верно, что Р и не‑Р », «2+2=4 » и т.п. выражают логические модальности, а суждения «PV=RT », «U=IR » и т.п. – физические.

Различают также абсолютные и относительные модальности. К абсолютным модальностям относят законы логики, математики, других наук необходимые сами по себе, независимые от чего бы то ни было. Это скажем, суждения «А=А », «2+3=5 », «S=Vt » и т.д. Относительные модальности являются таковыми, необходимо или не необходимо зависимы от чего-либо.

Такими модальностями будут, например, суждения: «Прямоугольник является квадратом, если его стороны равны», «Вода кипит при 100 0 С при атмосферном давлении 760 мм ртутного столба» и т.п.

Логические и физические модальности, независимо от того абсолютны они или относительны, объединяются в алетевтические модальности.

Модальности, характеризующие допустимые (или недопустимые) поступки людей, называются деонтологическими. Они выражаются в суждениях, в которых употребляются такие слова (модальные операторы), как «обязательно», «разрешено», «запрещено», «имеют право» и др. Примерами таких модальностей будут суждения: «На Украине пропаганда войны запрещена», «Граждане Украины имеют право исповедовать любую религию или никакую, быть атеистами» и т.п. Деонтологические модальности являются предметом изучения таких наук как этика, юриспруденция.

Модальности, характеризующие доказательность каких-либо суждений, называются эпистемологическими. В суждениях эпистемологической модальности употребляются такие слова (модальные операторы), как «доказуемо», «опровержимо». Примерами таких модальностей могут быть суждения: «Доказуемо, что на Марсе есть жизнь», «Опровержимо, что свет имеет волновую природу» и т.д.

Эпистемологические модальности по своим свойствам близки к алетевтическим модальностям, при чем оператору «доказуемо», соответствует оператор «необходимо», оператору «опровержимо» – оператор «невозможно».

Наконец, иногда различают модальность de dicto («о речи») относящиеся к суждению в целом и de re («о вещи»), которые относятся к предикату. Так, суждение «Возможно, что на Марсе есть жизнь» будет суждением de dicto, а суждение «На Марсе возможна жизнь» – de re. Однако в большинстве современных системах модальной логики модальности интерпретируются как «абсолютные» логические модальности de dicto.

3. Модальная силогистика

Модальная силлогистика Аристотеля является крайне сложной логической системой как по своему содержанию, так и по числу модусов (их по меньшей мере 137) Аристотель последовательно рассматривает силлогизмы, в которых одна из посылок является проблематической (символически обозначается Р r ) или аподиктической (А Р ), или ассерторической (А s ). Возможное в сочетании этих посылок: 1) А р А р ; 2) А р А s ; 3) А s А р ; 4) Р r Р r ; 5) Р r А s ; 6) А s Р r ; 7) Р r А р ; 8) А р Р r . Это следует читать так: «1) большая посылка аподиктическая, меньшая – аподиктическая; 2) большая посылка аподиктическая, меньшая – ассерторическая и т.д.». В каждом из этих случаев он строит модусы, подбирая в качестве посылок общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные суждения. Руководствуясь аналогией с расположением терминов в посылках І, ІІ, ІІІ фигур категорического силлогизма, он решает задачу, какой вывод вытекает из данного сочетания посылок.

Так, подбирая посылки по аналогии с расположением посылок в 1 модусе 1 фигуры АМР Ù ASM→АSP мы получаем задачу: если всякому у необходимо присуще х и всякому z необходимо присуще у , то? в этом случае мы не вправе заменить вопросительный знак общеутвердительным аподиктическим суждением. Мы должны довольствоваться ассерторическим суждением: всякому z присуще х . Еще например, подбирая в четвертой группе (Р r Р r ) посылки согласно модусу АМР Ù YSM→YSP ІІІ фигуры получаем: если всякому у может быть присуще х и некоторым у может присуще z , то? Ответом будет вывод некоторым z может быть присуще х .

В ряде случаев трудно бывает сразу интуитивно решить, какой должен быть вывод при данном подборе посылок, являющимися модальными высказываниями и требуется тщательное изучение этих случаев.

В формализованных аксиоматических системах модальной логики эти вопросы решаются с помощью простой процедуры следования (правда, для введения этой процедуры требуется очень сложный символический язык, который вряд ли смогут понять нематематики).

Имеют место следующие содержательные правила для умозаключений модальности. В каждом истинном модус можно заключать:

1) от необходимости к действительности;

2) от невозможного к недействительному;

3) от необходимого и действительного к возможному;

4) от невозможного и недействительного к не необходимому.

Нельзя заключать:

1) от возможного к действительному;

2) от действительного к необходимому;

3) от не необходимости к недействительности;

4) от недействительности к невозможности.

4. Вероятностная логика

В вероятностной логике исследуются рассуждения с суждениями вероятности. В этих суждениях что-то утверждается или отрицается с известной степенью правдоподобия. При определении вероятностей применяются правила математического исчисления вероятностей. Это делается тремя основными путями.

Индуктивное или классическое определение вероятностей было развито Л. Ферма, Я. Бернули (1654–1705), П. Лапласом (1749–1827) и др. Оно основано на анализе равновероятных исходов мыслимого эксперимента. Если все исходы этого мыслимого эксперимента составляют n , а, m – число тех наступления события А в этом эксперименте, вероятность которого хотят найти, то

Р (А)=

Например, исходя из симметрии игральной кости до ее подбрасывания легко подсчитать, что вероятность выпадения более четырех очков (событие А ) равна 1/3. В самом деле, вероятность выпадения пяти очков равна, вероятность выпадения шести очков-то же. Следовательно,

Р (А)=

В ХХ в. сначала Р. Мизес, а затем Г. Рейхенбах обратили внимание на то, что часто интересуемые нас события опосредованы такой массой обстоятельств, что учесть их и априорно предсказать, с какой вероятностью из них будут вытекать эти события, не представляется возможным. Поэтому на практике приходится ограничиваться приближенной оценкой вероятности, получаемой из обобщения ряда наблюдений или физических экспериментов. Вероятность события А , т.е. Р (А), по Мизесу и Рейхенбаху представляет собой отношения числа m появления события А в n наблюдениях или экспериментов, т.е.

Р (А)=

Формулы вычисления вероятности события А при первом и при втором подходах совпадают. Но смысл их совершенно различен. При первом подходе вероятность вычисляетсяаpriori (до опыта), при втором apasteriori (после опыта), т.е. статистически. При первом подходе вероятностная логика может рассматриваться как расширение логики модальной, при втором – логики индуктивной.

В аксиоматической теории вероятностей вопрос о том, как определяются вероятности основных событий, не играет роли. В основу этой теории, развитой С.Н. Бернштейном, А.Н. Колмогоровым, А.Я. Хичиным лежит некоторая система аксиом, указывающая основные правила составления вероятностей сложных событий. Произведением событий А и В называется событие «А и В », суммой – событие «А или В » и т.д. вероятностью события называется число Р обладающее следующими свойствами: 0≤р(A)≤1 ; р (1)=1 ; р(0)=0 ; если А Ì В , то Р(А) ≤ Р (В) ; если А Ç В=0 , то р (А или В )= Р(А) + Р (В) и т.д.

Аксиоматическое построение теории вероятности превращает ее в раздел чистой математики.

Литература

1. Логика. К. – Хатнюк В.С. 2005 г.

2. Логика – искусство мышления. Тимирязев А.К. – К. 2000 г.

3. Философия и жизнь – журнал – К. 2004 г.

4. История логики и мышления – Касинов В.И. 1999.

5. Логика и человек – М. 2000.

6. Философия жизни. Матюшенко В.М. – Москва – 2003 г.

7. Философия бытия. Марикова А.В. – К. 2000 г.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

А непрерывная шкала значений истинности от 0 до 1, так, что ноль соответствует невозможному событию, единица - практически достоверному . Значения истинности в вероятностной логике называются вероятностями истинности высказываний, степенями правдоподобия или подтверждения .

Проблематика вероятностной логики начала развиваться в древности, например, Аристотелем и в новое время - Г. В. Лейбницем , Дж. Булем , У. С. Джевонсом , Дж. Венном , в дальнейшем Г. Рейхенбахом , Р. Карнапом , Ч. С. Пирсом , Дж. М. Кейнсом и другими, в России - П. С. Порецким , С. Н. Бернштейном и другими .

В настоящее время вероятностная логика находит наибольшее применение в качестве современной формы индуктивной логики . Новым стимулом к возникновению систем вероятностной логики послужил прогресс в развитии приложений к искусственному интеллекту .

См. также

Напишите отзыв о статье "Вероятностная логика"

Примечания

Отрывок, характеризующий Вероятностная логика

Наташа, бледная, строгая сидела подле Марьи Дмитриевны и от самой двери встретила Пьера лихорадочно блестящим, вопросительным взглядом. Она не улыбнулась, не кивнула ему головой, она только упорно смотрела на него, и взгляд ее спрашивал его только про то: друг ли он или такой же враг, как и все другие, по отношению к Анатолю. Сам по себе Пьер очевидно не существовал для нее.
– Он всё знает, – сказала Марья Дмитриевна, указывая на Пьера и обращаясь к Наташе. – Он пускай тебе скажет, правду ли я говорила.
Наташа, как подстреленный, загнанный зверь смотрит на приближающихся собак и охотников, смотрела то на того, то на другого.
– Наталья Ильинична, – начал Пьер, опустив глаза и испытывая чувство жалости к ней и отвращения к той операции, которую он должен был делать, – правда это или не правда, это для вас должно быть всё равно, потому что…
– Так это не правда, что он женат!
– Нет, это правда.
– Он женат был и давно? – спросила она, – честное слово?
Пьер дал ей честное слово.
– Он здесь еще? – спросила она быстро.
– Да, я его сейчас видел.
Она очевидно была не в силах говорить и делала руками знаки, чтобы оставили ее.

Пьер не остался обедать, а тотчас же вышел из комнаты и уехал. Он поехал отыскивать по городу Анатоля Курагина, при мысли о котором теперь вся кровь у него приливала к сердцу и он испытывал затруднение переводить дыхание. На горах, у цыган, у Comoneno – его не было. Пьер поехал в клуб.
В клубе всё шло своим обыкновенным порядком: гости, съехавшиеся обедать, сидели группами и здоровались с Пьером и говорили о городских новостях. Лакей, поздоровавшись с ним, доложил ему, зная его знакомство и привычки, что место ему оставлено в маленькой столовой, что князь Михаил Захарыч в библиотеке, а Павел Тимофеич не приезжали еще. Один из знакомых Пьера между разговором о погоде спросил у него, слышал ли он о похищении Курагиным Ростовой, про которое говорят в городе, правда ли это? Пьер, засмеявшись, сказал, что это вздор, потому что он сейчас только от Ростовых. Он спрашивал у всех про Анатоля; ему сказал один, что не приезжал еще, другой, что он будет обедать нынче. Пьеру странно было смотреть на эту спокойную, равнодушную толпу людей, не знавшую того, что делалось у него в душе. Он прошелся по зале, дождался пока все съехались, и не дождавшись Анатоля, не стал обедать и поехал домой.

Логико-вероятностный метод

ЛВМ возник в результате исследований проблем безопасности сложных систем. С его помощью можно оценить вероятность отказа сложной системы.

ЛВМ относится к аксиоматическим методам принятия решений в условиях стохастической неопределенности. Он позволяет снизить эту неопределенность своим доказательным подходом и результатами экспериментов – вероятностными характеристиками альтернатив.

В пособии ЛВМ рассмотрен на примере решения задачи выбора наиболее надежной информационной системы.

Пусть множество альтернатив – это множество показателей рисков информационных систем (ИС). Требуется найти такую ИС, риск которой минимален.

Под риском системы рассматривается сумма рисков ресурсов, из которых она состоит:

где R i – риск i -го ресурса, n – количество ресурсов. С каждым ресурсом связано множество опасных состояний (ОС), реализация которых приводит к отказу данного ресурса.

В качестве примеров ресурсов ИС могут выступать информационные ресурсы, сервисы, физические или аппаратные ресурсы, программное обеспечение. Одним из примеров информационного ресурса может выступать база данных ИС.

Под риском i-го ресурса понимается сумма рисков, связанных с реализацией опасных состояний данного ресурса:

где r i j – риск реализации j -го опасного состояния i -го ресурса, ; M i – количество опасных состояний i -го ресурса.

Примерами ОС для ресурса «БД» являются нарушение конфиденциальности информации, полная или частичная потеря информации из-за выхода из строя носителя информации, нарушение доступа.

Под риском реализации j-го опасного состояния i-го ресурса понимается произведение вероятности P ij и стоимости потерь C ij от реализации данного опасного состояния ресурса:

.

Таким образом, задачу оценки риска системы можно разбить на следующие этапы:

1. описание структуры ресурсов системы;

2. описание множества опасных состояний ресурсов системы;

3. оценка вероятностей P ij реализации опасных состояний, в том числе, выявление меры влияния угроз на реализацию опасных состояний;

4. оценка стоимости потерь C ij от реализации опасных состояний.

Основные положения логико-вероятностного метода

Логико-вероятностный метод анализа безопасности сложных технических систем был предложен в 70-х годах 20 века
И. А. Рябининым. Основная идея данного метода состоит в сочетании логического и вероятностного подходов при оценке показателей надежности сложных технических, экономических, социальных систем и других систем .

В ЛВМ в качестве базовых используются понятия опасного состояния системы и опасности – способности системы переходить в опасное состояние. Описание опасного состояния системы начинается с составления сценария опасного состояния (ОС), который строится с использованием операций дизъюнкция и конъюнкция над инициирующими условиями и событиями .

В качестве инициирующих условий и событий выступают отказы одного или нескольких элементов системы. Каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x k () с двумя возможными состояниями (например, работоспособности/отказа, готовности/неготовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p k и q k =1-p k .

Сценарий является основой для составления логической функции, или функции алгебры логики (ФАЛ), описывающей опасное состояние системы.

Следующим шагом является преобразование функции алгебры логики к вероятностной функции, которая в дальнейшем используется для получения количественной оценки вероятности реализации опасного состояния.

Таким образом, с одной стороны, метод предоставляет механизм для формализации множества опасных состояний системы, а, с другой стороны, – теоретически обоснованный подход к количественной оценке риска системы.

Для системы, состоящей из различных ресурсов, ЛВМ используется с целью получения количественных оценок вероятностей реализации опасных состояний для каждого вида ресурсов. В свою очередь, каждый ресурс в ЛВМ также рассматривается как отдельная система.

Постановка задачи оценки вероятностей реализации опасных состояний ресурса

Дано:

1. Ресурс с номером i , для которого выделены опасные состояния S ij , , где m - число возможных состояний.

2. Структура ОС и вероятности инициирующих событий (угроз) x k , .

Требуется найти:

Вероятности P ij реализации опасных состояний S ij , .

Алгоритм решения

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния S ij .

Шаг 2. Построение функции алгебры логики (ФАЛ) с использованием операций конъюнкция и дизъюнкция на основе сценария опасного состояния S ij .

Шаг 3. Построение вероятностной функции (ВФ) на основе функции алгебры логики.

Шаг 4. Расчет вероятности P ij реализации опасного состояния с помощью вероятностной функции.

Теоретические основы ЛВМ

В настоящее время математическая логика и теория вероятностей объединяются на основе логико-вероятностного исчисления . При этом предполагается, что теория вероятностей позволяет количественно оценивать надежность или безопасность систем, структура которых описывается средствами математической логики.

Основной проблемой в практическом применении ЛВМ является преобразование произвольных ФАЛ к формам перехода к полному замещению (ФППЗ). Для того чтобы сделать это преобразование стандартным и математически строгим, необходимо обратиться к специальному теоретическому аппарату, основные понятия и теоремы которого будут приведены ниже.

Будем полагать, что каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x k , () с двумя возможными состояниями (работоспособности/отказа, готовности/не готовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p k и q k =1-p k :

Кроме того, делается предположение, что все события x k являются независимыми в совокупности и что на рассматриваемом интервале времени работы системы исходные параметры законов распределений элементов не изменяются.

Выражение вида называется элементарной конъюнкцией K ранга r . Выражение вида , где – элементарные конъюнкции различных рангов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Если функция записана в ДНФ, причем ранг каждой элементарной конъюнкции равен n , то такая ДНФ называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Выражение вида называется элементарной дизъюнкцией ранга r .

Две элементарные конъюнкции называются ортогональными , если их произведение равно нулю (пример: и ).

ДНФ называется ортогональной дизъюнктивной нормальной формой (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны.

Бесповторной ДНФ (БДНФ) называется такая ДНФ, в которой каждая логическая переменная встречается ровно один раз.

Правила де Моргана позволяют логическое умножение выразить через отрицание логической суммы инверсий высказываний, а логическую сумму – через отрицание логического произведения инверсных высказывания. В дальнейшем они будут использоваться для приведения ФАЛ к специальному виду:

и

Вероятностной функцией (ВФ) будем называть вероятность истинности ФАЛ:

P (f (x 1 , x 2 , …, x h )=1 )

Функции алгебры логики, допускающие непосредственный переход к вероятностной функции заменой логических переменных вероятностями, а логических операций соответствующими арифметическими операциями, назовем формами перехода к замещению (ФПЗ).

Формами перехода к полному замещению (ФППЗ) называются ФПЗ, в которых производится замещение одновременно всех логических переменных.

Булевой разностью функции по аргументу x k называется

где символом « » обозначена логическая операция «сумма по модулю два».

Функция называется монотонной , если для любых наборов (a 1 , …, a h ) и (b 1 , …, b h ), таких, что , (k=1,2,…,h ) имеет место соотношение f (a 1 , …, a h ) f (b 1 , …, b h ). Далее рассмотрим ряд основных теорем.

Теорема 1. Частная производная от вероятности истинности монотонной ФАЛ по вероятности истинности аргумента x k численно равна вероятности истинности булевой разности этой функции по аргументу x k :

Теорема 2. Вероятность истинности произвольной ФАЛ, представленной в ОДНФ, равна сумме вероятностей истинности всех ортогональных членов этой ФАЛ:

,

где O u – не только элементарные конъюнкции ОДНФ, но и любые ФАЛ, попарно ортогональные.

Теорема 3. Дизъюнкция ортогональных бесповторных форм в базисе конъюнкция-отрицание является формой перехода к полному замещению.

В настоящее время известно несколько ФППЗ – это совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), ортогональная дизъюнктивная нормальная форма (ОДНФ) и бесповторные ФАЛ (БФАЛ) в базисе «конъюнкция-отрицание».

Если ФАЛ представлена в ФППЗ, то переход к вероятностной функции осуществляется по следующим правилам:

1. Каждая логическая переменная в ФППЗ заменяется вероятностью ее равенства единице:

, ;

2. Отрицание функции заменяется разностью между единицей и вероятностью равенства этой функции единице;

3. Операции логического умножения и сложения заменяются операциями арифметического умножения и сложения.

Составление сценария опасного состояния

Составления сценария опасного состояния ИС можно представить в виде следующей последовательности шагов:

1. выделение конечного события – опасного состояния (отказа),

2. выделение промежуточных событий, приводящих к реализации опасного состояния и получаемых как комбинация двух или более инициирующих событий,

3. выделение инициирующих событий-угроз.

Для представления опасного состояния используется дерево событий или отказов.

На рис. 5.2 представлен пример сценария опасного состояния в виде дерева событий.

Рис. 5.2. Пример дерева событий для описания опасного состояния системы

Построение функции алгебры логики

С помощью дерева событий составляется функция алгебры логики, описывающая условия перехода системы в опасное состояние.

Для описания условий перехода системы в опасное состояние используется понятие «кратчайший путь опасного функционирования » (КПОФ), под которым понимается конъюнкция минимального набора элементов системы, обеспечивающих вместе переход системы в опасное состояние:

,

где K wl – множество номеров переменных, соответствующих данному пути.

Условие перехода системы в опасное состояние можно представить в виде дизъюнкции всех имеющихся КПОФ:

.

Пример. Пусть дерево событий имеет вид, представленный на рис. 5.2.

Тогда КПОФ являются: , , , .

Условие перехода системы в опасное состояние имеет вид:

Построение вероятностной функции

На предыдущем этапе была получена ФАЛ , описывающая опасное состояние системы как дизъюнкцию всех КПОФ. Следующим шагом является преобразование ФАЛ к ФППЗ – СДНФ, ОДНФ или бесповторной ФАЛ в базисе конъюнкция-отрицание (БФАЛ).

Построение вероятностной функции на основе ФППЗ осуществляется согласно правилам, описанным выше. Результатом данного этапа является вероятностная функция

Расчет оценки вероятности реализации опасного состояния

Подставляя значения в ВФ, полученную на предыдущем этапе, получаем оценку вероятности реализации опасного состояния P ij .

Пример

Рассмотрим пример применения ЛВМ для оценки риска реализации опасного состояния «Нарушение конфиденциальности базы данных ИС (БД ИС)».

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния ресурса (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Сценарий ОС «Нарушение конфиденциальности БД ИС»

Шаг 2. Построение функции алгебры логики.Согласно описанному сценарию, логическая функция принимает вид:

F=X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 12 X 13 X 14 X 15