Что такое бесконечность в философии. Актуальная и потенциальная бесконечность

Бесконечность является абстрактным понятием, используемым, чтобы описать или обозначить нечто бесконечное или безграничное. Это понятие важно для математики, астрофизики, физики, философии, логики и искусства.

Вот несколько удивительных фактов об этом комплексном понятии, которые способны взорвать мозг лбого человека, не очень близко знакомого с математикой.

Символ бесконечности

У бесконечности есть свой собственный специальный символ: ∞. Символ, или лемниската, был введен священнослужителем и математиком Джоном Уоллисом в 1655 году. Слово «лемниската» происходит от латинского слова lemniscus, что означает «лента».

Уоллис, возможно, основал символ бесконечности на римской цифре 1000, рядом с которой римляне раньше указывали «бесчисленный», в дополнение к числу. Также возможно, что символ основан на омеге (Ω или ω), последней букве греческого алфавита.

Интересный факт заклчается в том, что понятие бесконечности появилось и использовалось задолго до того, как Уоллис наградил его символом, который мы используем по сей день.

В четвертом веке до нашей эры джайнистский математический текст под названием Сурья-праджнапти-сутра разделял все числа на три категории, каждая из которых, в свою очередь, разделялась на три подкатегории. В этих категориях были указаны перечислимые, неперечислимые и бесконечные числа.

Апория Зенона

Зенон Элейский, родившийся приблизительно в пятом веке до н. э., был известен парадоксами, или апориями, включающими и понятие бесконечности.

Из всех парадоксов Зенона самым известным является «Ахиллес и Черепаха». В апории черепаха бросает вызов греческому герою Ахиллесу, приглашая его на гонку. Черепаха утверждает, что выиграет гонку, если Ахиллес даст ей преимущество в тысячу шагов. Согласно парадоксу, за то время, что Ахиллес пробежит все расстояние, черепаха сделает в ту же сторону еще сто шагов. Пока Ахиллес пробежит еще сто шагов, черепаха успеет сделать еще десять и так далее по убывающей.

В более простом изложении парадокс рассматривается так: попробуйте пересечь комнату, если каждый следующий шаг в половину меньше предыдущего. Хоть каждый шаг и приближает вас к краю комнаты, вы никогда на самом деле не доберетесь до него, или доберетесь, но на это потребуется бесконечное количество шагов.

Согласно одной из современных трактовок, этот парадокс основан на ложном представлении о бесконечной делимости времени и пространства.

Число пи - пример бесконечности

Отличным примером бесконечности является число пи. Математики используют для числа пи символ, потому что невозможно записать все число целиком. Пи состоит из бесконечного количества чисел. Оно часто округляется до 3,14 или даже 3,14159, но неважно, сколько цифр записано после запятой, ведь невозможно добраться до конца числа.

Теорема о бесконечных обезьянах

Еще один способ думать о бесконечности - рассмотреть теорему о бесконечных обезьянах. Согласно теореме, если дать обезьяне печатную машинку и бесконечное количество времени, в конечном счете у обезьяны получится напечатать «Гамлета» или любое другое произведение.

В то время как многие люди воспринимают теорему как демонстрацию веры в то, что нет ничего невозможного, математики рассматривают ее как доказательство невозможности определенного события.

Фракталы и бесконечность

Фрактал - это абстрактный математический объект, используемый в математике и искусстве, чаще всего он моделирует природные явления. Фрактал записывается как математическое уравнение. Рассматривая фрактал, можно заметить его сложную структуру на любом масштабе. Другими словами, фрактал бесконечно увеличиваем.

Снежинка Коха является интересным примером фрактала. Снежинка выглядит как равносторонний треугольник, образующий замкнутую кривую бесконечной длины. Увеличивая кривую, на ней можно увидеть все новые и новые детали. Процесс увеличения кривой может продолжаться бесконечное количество раз. Несмотря на то что у снежинки Коха есть ограниченная область, она ограниченна бесконечно длинной линией.

Бесконечность разных размеров

Бесконечность безгранична, на все же она поддается измерению, пусть и сравнительному. Положительные числа (больше 0) и отрицательные числа (меньше 0) могут похвастать бесконечными наборами чисел равных размеров. А что происходит, если объединить оба набора? Получится вдвое большой набор. Или еще пример - все четные числа (их бесконечное количество). И все равно это всего лишь половина бесконечного количества всех целых чисел. Другой пример, просто прибавьте единицу к бесконечности. Поучится число на 1 больше бесконечности.

Космология и бесконечность

Космологи изучают Вселенную, неудивительно, что понятие бесконечности играет для них важную роль. Есть ли границы у Вселенной или она бесконечна?

Этот вопрос до сих пор остается без ответа. Наша Вселенная расширяется, но куда? И где предел этого расширения? Даже если у физической Вселенной и существуют границы, у нас все еще есть теория мультивселенной, которая рассматривает существование бесконечного количества Вселенных, в которых могут быть отличные от нашей законы физики.

Деление на ноль

Деления на ноль не существует. Оно невозможно, по крайней мере, в обычной математике. В привычной нам математике единицу, поделенную на ноль, невозможно определить. Это ошибка. Однако так бывает не всегда. В расширенной теории комплексных чисел деление единицы на ноль не вызывает неминуемого коллапса и определяется некоторой формой бесконечности. Другими словами, математика бывает разной, и не вся она ограничивается правилами из учебников.

Бесконечност ь недостижима, следовательно, ее невозможно измерить. У нее отсутствует то, что древние греки именовали метрон , поэтому она принадлежит к категории хаоса. По этой причине Платон и Пифагор называли бесконечность апейрон . Позднее Анаксимандр придал этому слову смысл, схожий с тем, что подразумеваем под этим понятием мы, - «беспредельный».

Однако наиболее смело и систематично с проблемой работал Аристотель, определив в своем труде « Физика» два разных типа бесконечности: потенциальную бесконечность - неостановимый процесс роста, и актуальную бесконечность - реально существующую величину, не имеющую конечной меры. Математики долго спорили об этих определениях, пока Кантор не доказал математически существование бесконечного числа актуальных бесконечностей с помощью инструмента, который создал сам - теории множеств.

Слова, обозначающие два различных типа бесконечности, не совсем удачны или по меньшей мере неинтуитивны.
Возможно, более уместно (но тоже не совсем удобно) было бы называть актуальную бесконечность теоретической , а потенциальную бесконечность - истинной бесконечностью .

Рассмотрим разницу между этими понятиями на примере. Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4,… бесконечна. Изначально никто не подвергает это сомнению, поскольку для любого сколь угодно большого числа n мы всегда можем получить следующее число, n+1. Но одно дело - иметь возможность выполнить подобное действие, и совсем другое - сделать это в реальности и получить результат. Это очень тонкое различие. «Иметь возможность выполнить действие» определяет потенциальную бесконечность, полученный результат такого действия - актуальную бесконечность.

Покинем на время мир математики, чтобы в более свободной форме объяснить разницу между этими понятиями. Предположим, что я нарисовал перед собой на полу прямую. Если я сделаю шаг вперед, то перешагну ее. Это потенциально возможное действие . Когда я выполнил это действие и оказался по другую сторону прямой, я актуализировал этот потенциал. Существует четкая разница между потенциально возможным действием и совершенным в действительности. Например, может случиться так, что я соберусь начать действие, но произойдет землетрясение и в полу образуется огромный разлом, который не даст мне перешагнуть прямую.

То, что никто не может записать все целые числа, - неоспоримый факт. Также верно, что никто никогда не видел двух параллельных прямых, поскольку прямые бесконечны и мы можем видеть лишь отрезки этих прямых. Значит ли это, что параллельные прямые не существуют? Они существуют настолько же, насколько существуют прямые вообще, но есть ли на самом деле бесконечная прямая? Евклид в своей знаменитой книге «Начала» пытался рассматривать эту тему: упоминая прямые, он говорил об «отрезках, длина которых может быть произвольно большой». Это весьма явная параллель с потенциальной бесконечностью.

Мы с вами поговорили о том, как расти, какие сроки для этого понадобятся, и теперь самое время поговорить об очень непростом слове — БЕЗКОНЕЧНОСТЬ .

Начнем с того, что это слово обозначает . Как мы видим из названия — это то, что не имеет конца, ни с одной стороны, со стороны начала, ни с другой стороны, со стороны конца. И как это всё правильно понимать, спросите вы.

Я, со своей стороны, предлагаю следующий вариант. Значение этого слова и понятия безусловно существует. Что-то надо узнать и понять, для осознания всей глубины этого процесса.

Можно, конечно, потратить на этот поиск много сил и времени, так или иначе приблизиться к пониманию, но,есть ли в этом смысл? Надо просто, один раз ответить себе на вопрос — это вам надо? Если надо — вперед на поиски. Если не надо — то рекомендую универсальный способ правильного отношения к подобным понятиям.

ЕСЛИ, ПО ТЕМ ИЛИ ИНЫМ ПРИЧИНАМ, ВЫ СЕГОДНЯ НЕ МОЖЕТЕ ЧТО-ТО ПОНЯТЬ, НЕ НАДО НАПРЯГАТЬСЯ И СУДОРОЖНО ИСКАТЬ ОТВЕТА, ОТПУСТИТЕ СИТУАЦИЮ И ПРОСТО ПРИМИТЕ ЕЁ ТАКОЙ, КАКАЯ ОНА ЕСТЬ.

Это универсальный ключик, который можно применять где угодно. В любых ситуациях, любых определениях и так далее. Нужно просто научиться принимать . Много времени и сил освобождается для полезных дел.

Так вот к вопросу о беЗконечности. Для себя я его решил следующим образом. Ну нет у меня инструмента, чтобы измерить когда все началось, и когда закончится. Не сформировался пока. Кто знает, может завтра сформируется, может лет через сто.

А пока эту самую беЗконечность измерить нечем. Значит, что надо делать? Правильно — принять её такую, какая она есть . И, что из этого следует?

А вывод следующий. Нам не дано увидеть и осознать то, как всё в этом мире началось. Теорий много, толку — сами знаете. Значит, пока принимаем то, что всё началось очень давно, и по, пока неизвестным причинам. Есть определённый процесс, частью которого мы являемся. И, самое важное, качественно сделать этот свой незначительный, с точки зрения беЗконечности, участок работы, а там и видно будет.

И вот тут я и предлагаю сделать акцент именно на своём участке, т. е. на СВОЕЙ ЖИЗНИ . Если этот процесс запущен, и мы в нем непосредственные участники, значит надо приложить максимум усилий, чтобы привнести в это дело максимум гармонии и правильности, а все дальнейшие действия будут зависеть именно от этого нашего качественного изменения самого себя. Если оно происходит, то есть шанс перейти куда-то выше, если нет, то придется повторять ещё раз и ещё раз. И так до тех пор, пока изменения не произойдут.

То есть, это своего рода неизбежность, которую надо осознать, и спокойненько заниматься этой самой трансформацией самого себя.

P.S. Вы можете получать информацию о новых статьях на электронную почту:

Обнаружили опечатку или ошибку в тексте? Пожалуйста, выделите это слово и нажмите Ctrl+Enter

Если вы хотите выразить свою БЛАГОДАРНОСТЬ Автору в материальной форме, укажите сумму, выберите способ оплаты и нажмите на кнопочку ПЕРЕВЕСТИ :

Актуальная бесконечность

Вот первый довод:

1. Актуальная бесконечность существовать не может.

2. Безначальный ряд временных событий представляет собой актуальную бесконечность.

3. Следовательно, безначальный ряд временных событий не может существовать.

Рассмотрим вначале первую посылку: Актуальная бесконечность не может существовать.

Что я имею в виду под актуальной бесконечностью? Множество объектов считается актуально бесконечным, если часть этого множества равна его целому. Так например, какой рад длиннее:

2,3,4,5,6,… или 0,1,2,3,4,5,6,…?

По общепринятым математическим представлениям, эти ряды эквивалентны, потому что они оба актуально бесконечны. Это кажется странным: ведь в правом ряду есть два числа, отсутствующие в левом. Но это лишь показывает, что в актуально бесконечном множестве часть (левый ряд) равна целому (правый ряд).

По той же причине математики утверждают, что ряд чётных чисел равен ряду натуральных чисел - несмотря на то, что ряд всех натуральных чисел содержит все чётные плюс бесконечное число нечётных чисел.

1,2,3,4,5,6,7,8,…

При этом не надо смешивать понятия актуальной бесконечности - и потенциальной бесконечности.

По мнению великого немецкого математика Давида Гилберта, главное различие между актуальной и потенциальной бесконечностью заключается вот в чём. Потенциально бесконечное есть всегда нечто возрастающее и имеющее пределом бесконечность, тогда как актуальная бесконечность - это завершённое целое, в действительности содержащее бесконечное число предметов.

Интересным примером этих двух типов бесконечности могут послужить два ряда событий: произошедших до и после какой-либо точки в прошлом.

Возьмём, например, момент в 1845 г., когда родился Георг Кантор, отец теории множеств.

В обоих случаях мы имеем в виду события, действительно случившиеся.

Точка, называемая «настоящее время», разумеется, не стоит на месте, а скользит вперёд. (По сути дела, это граница между событиями уже реализованными и ещё не реализованными.) Поэтому количество событий «после» (т. е. между 1845 г. и настоящим временем), хотя и в каждый конкретный момент конечное, постоянно возрастает. Оно никогда не реализовано до конца, и потому потенциально бесконечно.

Но ряд событий «до» полностью реализован, завершён и не возрастает. И если атеисты правы, и у Вселенной не было начала, то такой ряд бесконечен. Бесконечен актуально, реально.

В ходе наших рассуждений очень важно эти два понятия (актуальной и потенциальной бесконечности) не путать.

Второе пояснение касается слова «существовать». Когда я говорю, что актуальная бесконечность не может существовать, я имею в виду - существовать в реальном мире, или существовать не только в уме. Я вовсе не отрицаю законность использования понятия актуальной бесконечности в математике (оперирующей лишь мысленной реальностью). Я лишь утверждаю, что актуальная бесконечность не может существовать в физическом мире звёзд, планет, камней и людей.

Несколько примеров покажут абсурдность такого допущения.

Допустим, что существует библиотека, содержащая реально бесконечное число книг. Представим себе, что книги в ней только двух цветов, чёрного и красного, и что они стоят на полках, чередуясь: чёрная, красная, чёрная, красная, и т.д. Если кто-то скажет нам, что число чёрных книг равно числу красных, мы, вероятно, не удивимся. Но поверим ли мы, если нам скажут, что число чёрных книг равно числу чёрных и красных книг вместе? Ведь в таком собрании мы обнаружим все чёрные книги плюс бесконечное число красных книг!

Или же представим себе, что у нас есть книги трёх цветов, четырёх, пяти или даже ста. Поверим ли мы, что книг одного цвета столько же, сколько всего книг в библиотеке?

Или вообразите, что в библиотеке бесконечное число цветов книг. Можно предположить, что в бесконечно большой библиотеке будет приходиться по одной книге на каждый из бесконечного числа цветов. Но это не обязательно так. Как утверждают математики, если число книг действительно бесконечно, то на каждый из бесконечного числа цветов может прийтись и бесконечное количество книг. Таким образом мы получаем бесконечность бесконечностей! И тем не менее, если мы возьмём все книги всех цветов, их окажется не больше, чем книг только одного цвета.

Продолжим наши рассуждения. Предположим, что у каждой книги на корешке отпечатан номер. Поскольку библиотека реально бесконечна, каждое возможное число отпечатано на какой-либо из книг. Поэтому мы не можем добавить к библиотеке ещё одну книгу, ибо какой номер ей дать? Всё номера уже заняты. Таким образом, новой книге нельзя дать номера! Но это абсурд, так как в действительности предметы всегда можно нумеровать.

Если бы бесконечная библиотека существовала, то к ней невозможно было бы добавить ещё одну книгу. (Не потому ли, что она уже включала бы все существующие книги, и новую просто неоткуда было бы взять? Нет, ведь достаточно вырвать по листку из каждой книги первой сотни, склеить их вместе, поставить эту новую книгу на полку, и всё - библиотека пополнена!) Поэтому напрашивается единственно возможный вывод: библиотека, актуально бесконечная, - существовать не может.

Но предположим, что мы можем пополнить эту библиотеку, и я ставлю книгу на полку. По утверждению математиков, число книг в библиотеке осталось прежним. Как это может быть? Ведь мои опыт говорит: если я поставил книгу на полку, то там стало книгой больше, а если снял, то одной меньше.

Мне легко вообразить себя, ставящего и снимающего эту книгу. Должен ли я впрямь всерьёз поверить, что когда я добавляю книги, их число не увеличивается, а когда убираю - не уменьшается? А если я добавлю к этой библиотеке бесконечное число или даже бесконечность бесконечностей книг? Неужели и теперь в библиотеке ни на одну книгу не больше, чем прежде? Мне в это трудно поверить. А вам?

А теперь давайте, наоборот, выдавать книги из библиотеки. Предположим, в понедельник мы выдали книгу номер восемь. Разве число книг не уменьшилось на одну?

Во вторник - выдадим все книги с нечётными номерами. Ушло бесконечное число книг, но математики скажут, что в библиотеке книг меньше не стало.

Допустим, что в среду мы выдали книги за номерами 4, 5, 6,.. и до бесконечности. Единым махом библиотека практически вся опустела, бесконечное число книг сведено к конечному: к трём. Но позвольте, ведь мы на этот раз выдали столько же книг, что и во вторник! Почему же такая разница? И кто поверит, что такая библиотека может на самом деле существовать?

Все эти примеры иллюстрируют тот факт, что актуальная бесконечность не может иметь места в физическом мире. Я вновь хочу подчеркнуть: это ничем не грозит теоретической системе, введённой в современную математику Г. Кантором. Больше того: даже такие энтузиасты математических теорий бесконечного, как Д. Гилберт, охотно соглашаются с тем, что понятие актуальной бесконечности - это только идея, не имеющая никакого отношения к реальному миру. Поэтому - мы вправе заключить: актуальная бесконечность существовать не может.

Вторая посылка: Ряд событий во времени, не имеющий начала, представляет собой актуальную бесконечность.

Под «событием» я подразумеваю любую перемену, происходящую в физическом мире. То есть: если ряд прошлых событий (или перемен) всё время уходит в прошлое и никогда не имеет начала, то в этом случае, взятые все вместе, эти события составляют актуально бесконечное множество.

Допустим, мы спрашиваем, откуда появилась такая-то звезда. Нам отвечают, что она появилась в результате взрыва звезды, существовавшей до этого. Тогда мы спрашиваем, откуда появилась та звезда? Она тоже возникла из звезды, существовавшей до неё. А эта звезда откуда? Из другой, предыдущей звезды - и так далее. Этот ряд звёзд будет примером безначального во времени ряда событий.

Тогда, если Вселенная существовала всегда, ряд всех событий прошлого в их совокупности составит актуальную бесконечность: потому что каждому событию в прошлом предшествовало другое событие. Таким образом, ряд прошлых событий будет бесконечным.

Но не будет ли он потенциально бесконечным? Нет, ибо мы видели, что прошлое завершено и актуально, - лишь будущее может быть охарактеризовано как потенциально бесконечное. Поэтому представляется очевидным, что безначальный ряд событий во времени является актуальной бесконечностью.

Это приводит нас к нужному заключению. безначальный ряд событий во времени существовать не может. (Мы установили ранее, что актуально бесконечное не может существовать в действительности. И если безначальный ряд временных событий есть актуальная бесконечность, то такой ряд не может существовать.)

Значит, ряд всех событий прошлого обязан иметь начало. Но ведь история Вселенной и есть ряд всех свершившихся событий! Поэтому у Вселенной должно быть начало.

Несколько примеров пояснят этот аргумент.

Мы знаем, что если бы актуальная бесконечность могла существовать в действительности, к ней невозможно было бы ничего прибавить. Но к ряду событий во времени происходят добавления каждый день - или, по крайней мере, нам так кажется. Если же этот ряд актуально бесконечен, то число событий, случившихся до настоящего момента, - не больше, чем. скажем, число событий до 1789 года или до любой другой точки в прошлом, сколь угодно далёкой.

Ещё пример. Вообразим, что вокруг Солнца уже целую вечность вращаются две планеты. Допустим, что одна проходит свою орбиту за три года, другая - за год. Таким образом, на каждый оборот одной приходятся три оборота другой. Вопрос: если они движутся вечно, которая из этих планет сделала больше орбитных оборотов? Ответ: обе сделали одинаковое число оборотов. Но это явный абсурд, ведь здравый смысл подсказывает: чем дольше они вращаются, тем сильнее увеличивается разрыв. Как же может число оборотов быть равным?

Или, наконец, допустим, что нам повстречался инопланетянин. Он утверждает, что целую вечность вёл счёт, и теперь кончает:…5, 4, 3, 2, 1, 0. Но мы можем спросить: почему он не кончил считать вчера7 Или даже год назад? Неужели ему не хватило времени? Как же так? Ведь и до прошлого года прошло бесконечное число лет - значит, времени у него было достаточно. Что же получается? Как бы далеко в прошлое мы ни углубились, мы никогда не застигнем его за счетом. Следовательно, не может быть истинным утверждение, что он занят этим всю вечность.

Эти примеры подчёркивают абсурдность идеи безначального ряда событий во времени. Поскольку такой ряд является актуально бесконечным, а актуальная бесконечность существовать не может, то и этот ряд невозможен. Это значит, что Вселенная когда-то начала своё существование, что и требовалось доказать.

филос. понятие, отражающее безграничность и беспредельность развития материи, неисчерпаемость ее познания. Место, занимаемое понятием Б. в системе категорий диалектич. материализма, определяется связью Б. с такими осн. категориями, как материя, движение, пространство и время. Б. является наиболее общей количеств. характеристикой движущейся материи. Рассматриваемый с этой наиболее общей количеств. стороны, материальный мир выступает как бесконечный в пространстве, бесконечный во времени и безгранично разнообразный по своим свойствам, по тем конкретным формам, в к-рых движется материя. При этом, если Б. в пространстве и времени описывает мир как целое, то Б. свойств характеризует не только мир в целом, но и каждый отд. материальный объект. Логически Б. материального мира (во всех ее трех аспектах) может рассматриваться как следствие субстанциального характера материи. Поскольку материя признается единств. субстанцией, к-рая есть causa sui (сама себе причина), постольку ее развитие и движение не может быть ничем ограничено. Если материя "противостоит нам как нечто данное, как нечто несотворимое и неуничтожимое, то отсюда следует, что и движение несотворимо и неуничтожимо" (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1955, с. 45). Естеств. условием такого движения материи является Б. ее существования во времени. С другой стороны, будучи единств. субстанцией мира, материя может быть ограничена в своем протяжении лишь сама собой, что служит выражением ее Б. в пространстве. Очевидно, что движение и развитие материи, бесконечно существующей в бесконечном пространстве, осуществляется как неогранич. взаимодействие материальных тел между собой. Это бесконечное разнообразие и количество связей между объектами определяет и неисчерпаемость, Б. свойств как всего мира, так и любого материального объекта. Т.о., Б. материального мира включает в себя три аспекта и не может рассматриваться в отрыве от них, ибо сами эти три аспекта, три стороны Б. Вселенной, тесно связаны друг с другом. Понятие "Б. мира" играет большую роль в космологии. Вокруг проблемы Б. всегда велась и ведется борьба между идеализмом и материализмом. Уже Архит Тарентский (5 в. до н.э.) доказывал Б. мира в пространстве, трактуя Б. мира как возможность непрерывного до Б. отсчитывания расстояний в нем. Однако подобное представление о Б. мира приводит к неразрешимым противоречиям, получившим название космологических парадоксов. Так, из представления о бесконечной Вселенной, равномерно заполненной светящимися звездами, с необходимостью следует вывод, что небосвод должен быть ослепительно ярок (парадокс Ольберса). Притяжение бесконечно большой массы бесконечной Вселенной должно привести к бесконечно большим скоростям и ускорениям масс (парадокс Зелигера). И то, и другое резко противоречит наблюдениям. Попытки распространения на бесконечную Вселенную второго начала термодинамики приводили к выводу о начале истории Вселенной. К этому же выводу приходили при распространении на всю Вселенную объяснения явления красного смещения в спектрах далеких галактик их реальным "разбеганием". Эти космологич. парадоксы приводили ряд ученых к отказу от представления о Б. Вселенной в пространстве и времени, к попыткам "научного" обоснования конечности мира, что являлось по существу прямой поддержкой фидеизма. Космологич. парадоксы, по-видимому, являются результатом распространения на всю Вселенную закономерностей, установленных лишь для ее конечных областей. Специфичностью такого объекта исследования, как "Вселенная в целом", объясняется то, что мы не можем распространять на нее не только закономерности, установленные для конечных областей Вселенной, но даже установленные для сколь угодно больших (но ограниченных) областей ее. Однако Б. мира, как и его материальность, должна подтверждаться всем ходом истории философии и науки. Положительным вкладом в решение космологич. проблемы, а тем самым и в раскрытие конкретной природы физич. Б. мира, являются различные космологич. модели. По сути дела, космологич. модели представляют собой экстраполяцию закономерностей, справедливость к-рых подтверждена для известной нам области Вселенной, на предельно большие области Вселенной (в пределе – на всю бесконечную Вселенную). Возможность такой экстраполяции находит нек-рое обоснование в том, что такие физич. законы, как законы сохранения массы, заряда, энергии, импульса и т.п., к-рые по существу являются естественно-науч. выражением законов сохранения материи и движения, по-видимому, допустимо распространять без ограничений на Вселенную в целом. Тем не менее, необходимо постоянно иметь в виду ограниченность метода космологич. моделей, поскольку в этом случае рассматривается переход к Б. одной или нескольких характеристик космологич. модели, к-рые являются лишь приближенными отражениями бесконечного многообразия свойств реальной Вселенной. Первую космологич. модель рассмотрел Ньютон. Считая пространство бесконечным, он пришел к выводу, что для того, чтобы тяготеющая материя в бесконечном пространстве не собралась в одну гигантскую массу, она должна быть равномерно распределена в бесконечном пространстве. Однако эта модель приводит к фотометрич. и гравитационному парадоксам, устранить к-рые классич. космология оказалась не в состоянии. Существенным шагом вперед было создание Эйнштейном общей теории относительности (1918), связавшей геометрич. свойства пространства и времени (их метрику) с распределением тяготеющих масс. Попытки Эйнштейна получить решение ур-ний общей теории относительности для бесконечной Вселенной и тем самым изучить ее пространственно-временную структуру не увенчались успехом (Эйнштейн предполагал, что метрика не меняется со временем). На этом основании Эйнштейн и позднее Де Ситтер пришли к выводу о пространственной замкнутости мира: луч света, испущенный каким-нибудь источником, за конечное время вернется в достаточно близкую окрестность источника. Так родилось "доказательство конечности мира" общей теорией относительности. Сов. ученый А. А. Фридман (1922) показал, что из ур-ний Эйнштейна можно получить принципиально иные решения, а именно – решения, соответствующие бесконечному миру, если только отказаться от предположения Эйнштейна о неизменности метрики со временем. Модель мира, полученная Фридманом, должна расширяться. Это получило подтверждение в открытии (1927) красного смещения в спектрах далеких галактик. Последующие исследования показали, что геометрия известной нам части Вселенной в основном определяется средней плотностью вещества в ней. При плотности 10-28, 10-29 г/см 3 пространство мира бесконечно, а геометрия мира – евклидова. Большей плотности соответствует замкнутость пространства (геометрия Римана в узком смысле слова), а меньшей – разомкнутость (геометрия Лобачевского). В первом случае мир оказывается пространственно ограниченным, во втором – бесконечным. Однако точность определений средней плотности настолько низка, что возможны огромные ошибки. Поэтому вопрос о метрике известной нам области Вселенной остается открытым. Но даже если дальнейшие исследования приведут к представлению о замкнутости (в указанном выше смысле) нашей области мира (если значение средней плотности окажется достаточно высоким), это ни в какой мере не даст права судить о геометрии за пределами известной нам области Вселенной. Вывод о пространственной замкнутости известной нам области мира по существу будет означать подход к таким областям и масштабам, к-рые характеризуются иными свойствами и мерами, чем известные нам до сих пор виды материи и формы ее движения. Таким образом, совр. модели являются отражением важнейших черт известной нам области Вселенной – Метагалактики. Но их никак нельзя считать моделями Вселенной в целом. Другим полюсом вопроса о Б. материального мира в пространстве и времени является проблема "бесконечно" малых расстояний и промежутков времени. Указывая на Б. материи "вглубь", на неисчерпаемость свойств элементарных частиц, изучаемых совр. микрофизикой, диалектич. материализм связывает с этим и изменение пространственно-временных отношений в микромире, поскольку эти отношения определяются свойствами материальных объектов. В этой связи большой интерес представляет гипотеза о прерывности пространства и времени в микромире, о т.н. "квантовании" пространства и времени. В совр. квантовой теории поля, где частицы рассматриваются как точечные образования, целый ряд характеристик (энергия, масса, заряд) частиц получает бесконечные значения, что лишено физич. смысла и указывает на органич. порок теории. В наст. время путем ряда математич. операций удалось изолировать бесконечные выражения, но это лишь формальное решение трудностей, к-рые продолжают существовать в скрытом виде. Анализ трудностей с бесконечностями показывает, что они являются следствием предположения о существовании сколь угодно малых длин волн и сколь угодно малых расстояний. Вследствие этого наметилась тенденция к преодолению трудностей путем ввода в теорию нек-рой минимальной длины и нек-рого минимального промежутка времени, что должно отразить прерывный характер пространственно-временных свойств материи в микромире. Сам термин "квантование" пространства и времени не точен. Он вызывает представление о неких элементарных, весьма малых частях, "кирпичиках", из к-рых складываются пространство и время. На самом же деле реальный смысл гипотезы прерывности пространства и времени заключается в том, что в микромире существует определ. граница, за к-рой пространственно-временные свойства материальных объектов меняются коренным образом. Указанное изменение, по-видимому, состоит в том, что в микрообластях, лежащих ниже определ. предела, появляются новые мировые константы: минимальная протяженность материальных объектов и минимальная длительность процессов изменения этих объектов. Т.о., данные физики, как и данные космологии, подтверждают и обосновывают правильность диалектико-материалистич. понимания Б. материального мира в пространстве и времени, к-рое опирается на признание не только непрерывности, но и прерывности, структурности, качеств. многообразия пространственно-временных свойств движущейся материи. Выше вопрос о Б. рассматривался с онтологич. т. зр. Но можно подойти к этому вопросу с гносеологич. т. зр. и рассмотреть проблему познаваемости Б. Очевидно, что Б. не является объектом чувств. познания, она не дана непосредственно в опыте. Практически чувств. деятельность людей всецело протекает в мире конечных вещей и процессов. Человек непосредственно воспринимает и изучает лишь конечное. Знание бесконечного приходит как результат познания, поднявшегося на ступень абстракции. Возможность познания Б. обусловливается тем, что Б. находится не рядом с конечным, а в единстве с ним. Единство конечного и бесконечного есть основа для познания Б. Поэтому диалектич. материализм отрицает непознаваемость Б.: "Всякое истинное познание природы есть познание вечного, бесконечного, и поэтому оно по существу абсолютно" (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1955, с. 186). В поступат. движении мыслящего человечества разрешается противоречие между абс. характером человеч. мышления и осуществлением его в отдельных ограниченно мыслящих людях, между всегда огранич. объектом человеч. знания и Б. познаваемой природы. "Поэтому познание бесконечного окружено двоякого рода трудностями и может, по самой своей природе, совершаться только в виде некоторого бесконечного асимптотического прогресса. И этого для нас вполне достаточно, чтобы мы имели право сказать: бесконечное столь же познаваемо, сколь и непознаваемо, а это все, что нам нужно" (там же). Энгельс утверждал, что каждый шаг познания углубляет наше знание материальной действительности, но что никакое количество этих шагов не исчерпывает Б. Вопрос о познании Б. имеет еще и формально-логич. сторону. Сущность логики состоит в том, что она позволяет (во всяком случае формально) распространить действие закономерностей, найденных в конечном числе наблюдений над конечным числом объектов, на бесконечное число случаев данного типа, на бесконечные области. Распространение полученных результатов на Б. придает установленным закономерностям форму всеобщности и, тем самым, необходимости. Но здесь встает вопрос о допустимости экстраполяции на Б., о неформальном обосновании всеобщности и необходимости суждений, выведенных из опыта. Вопрос этот тем более важен, что именно такие суждения составляют осн. содержание науки. Впервые эта проблема была поставлена Кантом. Но решить ее Кант не смог. Его строго формалистич. установки в конце концов привели к отрицанию всеобщности и необходимости суждений, полученных из опыта; экстраполяция на Б. была объявлена незаконной. Совр. бурж. философия позитивистского направления отказывается вообще от признания всеобщности и необходимости каких бы то ни было суждений, полагая, что распространение их действия на бесконечное число случаев не может быть логически оправдано и является произвольным актом. И действительно, вопрос не может быть разрешен в рамках любой формально-логич. структуры. Диалектич. материализм утверждает, что проблема обоснования всеобщности и необходимости суждений не является формально-логич. проблемой. Всеобщность и необходимость этих суждений обосновывается практикой человечества. Философы, логики, математики, физики, астрономы на протяжении тысячелетий постоянно обращались к исследованию Б. Материализм и идеализм, диалектика и метафизика, уверенность в познаваемости бесконечного мира и агностицизм постоянно сталкивались и вели борьбу по поводу различного понимания Б. В античной философии в соответствии с общим, слабо дифференцированным характером науки представления о Б. сплетались в один сложный узел, из к-рого трудно выделить собственно филос. нить рассуждений. В апейроне Анаксимандра Б. – осн. характеристика первоматерии – выступает как нечто в высшей степени неопределенное, бескачественное и поэтому безграничное и беспредельное. Эта нечеткость, расплывчатость в понимании Б. постепенно преодолевалась наукой; уже Платон и Аристотель осуществили логич. исследование Б. Истоки платоновской концепции бесконечного ведут к пифагорейцам. По Платону, "сросшиеся воедино" предел и беспредельность являются началами, заключенными в "вечно сущем" ("Филеб"). Бесконечное есть то, что может неограниченно увеличиваться или уменьшаться. Природа бесконечного заключается в том, что оно есть "непрестанное движение вперед". В этом качестве беспредельное не может быть познано, ибо бесконечное множество вещей и их признаков делает неопределенным наше мышление о них. Задача познания заключается не в том, чтобы фиксировать мысль на пределе или беспредельном, а в том, чтобы найти "промежуточные члены", "количественную определенность" свойств и отношений. В рассуждениях Платона Б. выступает как возможность неогранич. увеличения или уменьшения. Однако признание непостижимости такого бесконечного ведет к поискам определ. соотношений, к-рые могли бы связать предел и беспредельное. Если у Платона анализ Б. был вспомогат. средством в его этич. исследованиях и опирался на идеалистич. характер всей системы, то у Аристотеля проблема Б. находилась в тесной связи с рассмотрением причинности, пространства, времени, движения ("Метафизика", XI 10; "Физика", III 4–8). Не бесконечное как символ вечного царства идей интересовало Аристотеля, а бесконечное в реальном мире. В таком подходе к проблеме сказывались материалистич. тенденции в философии Аристотеля. Аристотель так формулировал предмет исследования: "Существует ли бесконечное и что оно такое?". И отвечал: "В известном отношении бесконечное существует, а в другом отношении – нет. Бесконечное не существует актуально, как бесконечное тело или величина, воспринимаемые чувствами; бесконечное не является самостоят. началом бытия, как утверждали пифагорейцы и Платон; бесконечное не может существовать отдельно от чувств. предметов. Бесконечное существует потенциально; бесконечное есть движение – оно "становится всегда иным и иным". Аристотель отвергал существование бесконечного ряда причин, целей, источников движения. Аристотель сделал попытку классификации видов бесконечного, к-рая состояла в указании на семь различных случаев употребления слова "Б." в греч. языке. Аристотель и Платон видели характерную и осн. черту Б. в возможности неогранич. количеств. изменений (потенциальная бесконечность) и отрицали наличность бесконечного (актуальная Б.). В средневековой философии можно выделить две линии. С одной стороны, чисто теологич. работы, ограничивающиеся рассмотрением Б. как атрибута бога; с другой – схоластич. споры вокруг вопроса о бесконечной делимости. И в том и в другом случае искусное жонглирование понятиями и утонченный логич. формализм по существу поглощали самое содержание вопроса. Но уже в 15 в. начался процесс ломки схоластики. На первых порах этот процесс выражался в переходе на позиции пантеизма. Слияние бесконечного божеств. существа с бесконечной природой – гл. черта в философии Николая Кузанского, к-рый считал своей осн. задачей выяснение природы "максимальности" ("Об ученом незнании", 1410, изд. , см. рус. пер. 1937). Максимум есть нечто такое, больше чего ничего не может быть; максимум тождествен единству и бытию. Максимум есть бесконечная истина, к-рая нами "постигается непостигаемо". Бесконечное не может быть познано, ибо всякое познание заключается в установлении отношений, пропорций, а бесконечное ускользает от всяких пропорций: finito od infinitum nulla est proportia. Хотя все изложение у Николая Кузанского в основе своей теологично, но бог играет роль фона, а не осн. стержня умозаключений. Обращает на себя внимание диалектика бесконечного, развиваемая Николаем Кузанским. В Б. совпадают максимум и минимум, сливаются противоположности; бесконечная прямая линия совпадает с бесконечной окружностью, бесконечным треугольником и т.д. Эти диалектич. идеи были восприняты и развиты Джордано Бруно уже на более далекой от теологии основе. Характерно, что Бруно, как это вообще было свойственно материалистам, исследовал не просто понятие Б., а бесконечную Вселенную ("О причине, начале и едином", 1584, см. рус. пер. 1934). Это придало его работе антицерк. направленность. Приняв Б. Вселенной за исходный пункт, Бруно анализировал свойства такой Вселенной и считал ее единой (т.к. бесконечное не имеет частей), неподвижной (т.к. бесконечному некуда двигаться), вечной (т.к. бесконечное не рождается и не умирает). Бытие бесконечной Вселенной заключает в себе все противоречия "в единстве и согласии". В Б. нет различия части и целого, поэтому в вечности час равен дню, день – году и, следовательно, бесконечных часов не больше, чем бесконечных веков. Наконец, в Б. возможность не отличается от действительности. Диалектика бесконечного у Бруно (как и у Николая Кузанского) зачастую носит печать схоластики. Бруно особенно подчеркивал единство, простоту, неподвижность Вселенной, не отмечая того, что в такой же степени бесконечной Вселенной присущи многообразие, сложность, движение. В истории философии нового времени анализ понятия Б. начинается отказом Декарта вступать в споры по поводу бесконечного. Мотивируется это тем ("Начала философии", 1644, см. рус. пер. 1950), что конечный разум человека не в состоянии постичь бесконечное могущество бога. Поэтому там, где мы не видим границ, следует говорить о неопределенном (indefini), а не о бесконечном (infini), к-рое присуще только богу. Формально сохранив лояльность по отношению к теологии, Декарт, тем не менее, определенно высказал мысль о Б. протяженной материальной субстанции, т. е. о Б. материального мира. Это мнение было поддержано и аргументировано Спинозой. Б. субстанции Спиноза основывал на абс. характере ее существования. Бесконечное есть атрибут абсолютного. Ни время, ни число, ни мера не могут быть бесконечными, т.к. они лишь вспомогат. средства воображения; бесконечны протяженность и длительность. В своей классификации бесконечного (Письмо к Мейеру 20 апреля 1663) Спиноза дал определение понятия Б., близкое к развиваемому впоследствии Гегелем. Однако Спиноза не выделял это понимание Б. как истинное. Для него не менее истинной являлась и Б. незавершенного ряда. Осн. мысль Спинозы заключалась в том, что проблема Б. может быть решена лишь тогда, когда станут проводить четкую грань между различными видами бесконечного, ибо свойства этих видов различны. Большое внимание проблеме Б. было уделено в англ. материалистич. философии 17–18 вв. Гоббс отрицал существование бесконечных чисел. Опираясь на свое понимание пространства как "мнимого пространства", он отверг картезианское представление о бесконечной протяженности материальной субстанции ("Основы философии", ч. 1–3, 1642–58, см. рус. пер. 1926). Такую же позицию занял и Локк. Материальность не тождественна протяжению. Вселенная как совокупность материальных тел конечна и погружена в бесконечное пустое пространство (vacuum). Понятия конечного и бесконечного рассматривались Локком как модусы количества ("Опыт о человеческом разуме", 1690, см. рус. пер. 1898). Б. может быть приписана лишь пространству, длительности и числу. Человек воспринимает только конечные вещи, а идея Б. создается в душе из способности неограниченного повторения к.-н. количества. Бесконечное означает движение за любые границы. Крайние границы пространства, длительности и числа находятся за "пределами понимания души". С резкой критикой Локка выступил Толанд. Основываясь на признании самодвижения, внутр. активности материи, он отрицал существование пустого пространства и сводил вопрос о Б. пространства к вопросу о Б. материи. Материя же бесконечна, т.к. "невозможно вообразить" ее границы ("Письма к Серене", 1704, см. рус. пер. 1927). Рассматривая свойства бесконечной материи, Толанд во многом повторял идеи Бруно, но делал упор не на неподвижность бесконечного, а на бесконечное многообразие и вечность развития и движения материи. Как и все его предшественники, Толанд отрицал существование актуальных бесконечно больших чисел. Он указывал на необходимость различать реально бесконечное от того, что может быть лишь продолжаемо без конца. С идеалистич. позиций локковская концепция Б. была подвергнута критике Лейбницем, к-рый утверждал ("Новые опыты о человеческом разуме", 1700–05, изд. 1756, см. рус. пер. 1936), что источник идеи Б. лежит внутри человека и имеет божеств. природу. Истинная Б. заключается в абсолютном и выражается в необходимости бытия божия. Франц. материалисты 18 в. считали бесспорным положение о Б. природы в пространстве и времени, но понимали ее метафизически – как бесконечное повторение одних и тех же объектов в "пустом", повсюду одинаковом пространстве и времени. Не вышел за пределы метафизики и Кант. Для него всякая Б. трансцендентальна, т.е. она никогда не может рассматриваться как данная; она означает только то, что последоват. синтез единиц при измерении величины никогда не может быть завершен ("Критика чистого разума", 1781, см. рус. пер. 1915). То, что безусловное, бесконечное берется как данное, как предмет и ставится в ряд обусловленных и конечных явлений, и является, по Канту, причиной антиномий. То обстоятельство, что линия может быть продолжена до Б. или что ряд изменений может продолжаться вечно, предполагает, что время и пространство зависят только от созерцания, поскольку оно само по себе ничем не ограничено. Так, Б. ряда основывается на априорности пространственно-временных форм. Гегель справедливо упрекал Канта в субъективизме за такое понимание бесконечного прогресса. Но Кант только логически завершил взгляды своих предшественников, к-рые видели основание Б. в способности рассудка к неогранич. повторению любых величин. Кант сделал следующий шаг, "спрятав в человеческую голову" не только Б., но и самые пространство и время. Гегелевское понимание Б. (с его положит. и отрицат. сторонами) представляет закономерное следствие предшествующих филос. идей. Осн. содержание этих идей сводилось к следующему: Б. есть отрицание конечного, абс. противоположность конечному; бесконечное не дано актуально, оно есть процесс, движение, непрерывное возрастание или убывание к.-л. величины; бесконечное есть простое повторение одних и тех же вещей и процессов, оно непознаваемо и не может быть схвачено конечным рассудком. Заслугой Гегеля является то, что он, убежденный в могуществе человеч. разума, обрушился на эти метафизич. и агностич. взгляды. Гегель показал, что Б. может быть понята только в единстве с конечным, что любое конечное содержит в себе бесконечное, что бесконечное осуществляется в конечном. Диалектич. единство конечного и Б. служит тем мостом, по к-рому человечество идет от познания конечного к познанию Б. Гегель высмеивал романтич. преклонение и метафизич. ужас перед Б. С точки зрения Гегеля, конечное не является истинно сущим. Хотя со стороны своего бытия конечное реально, но истина конечного – идеальность (в этом Гегель видел осн. положение своей философии). Поэтому конечное есть лишь отблеск бесконечной идеи, преходящий момент в абсолюте. Бесконечное, абсолютное (бог) превалирует над конечным. Не может быть признана правильной и гегелевская конструкция "истинной" Б. Цель построения "истинной" Б. – получить наличную, данную, посюстороннюю Б. и тем самым опровергнуть мнение о непостижимости Б. Но эта цель была реализована ценой отказа от бесконечного количественного (или качественного) прогресса, рассматриваемого Гегелем как "дурная" Б. Гегель не жалел красок, чтобы обрисовать все убожество такого понимания Б.: "скучная, поверхностная смена", "бессмысленное повторение", "скучное чередование", "повторяющаяся одинаковость" и т.п. Такая Б. не может быть объектом филос. анализа, она непостижима, ее нет в наличии, она не выходит за пределы долженствования и остается в сфере конечного. Иной характер у Гегеля носит "истинная" Б. – категория, лежащая в "основании философии". Прежде всего "истинная" Б. есть отрицание бесконечного прогресса. Она конкретна и всецело налична. Эта конкретность и наличность дается уже в определении, т.к. "истинно" бесконечное состоит в том, что"... оно в своем другом пребывает у самого себя или, выражая то же самое как процесс, состоит в том, что оно в своем другом приходит к самому себе" (Гегель, Соч., т. 1, М.–Л., 1929, с. 161). Замкнутость в самом себе, целостность, завершенность, самодовлеющий характер – таковы осн. черты "истинной" Б. Образом "дурной" Б. является прямая линия, неограниченно продолжающаяся в обе стороны, "...истинная же бесконечность, обратно в себя загибающаяся, имеет своим образом к р у г, достигшую себя линию, которая замкнута и всецело налична..." (Гегель, Соч., т. 5, М., 1937, с. 151–52). Отбрасывая как метафизич. понятие "бесконечный прогресс", "Б. ряда", Гегель не видел, что именно к этим формам сводится в конце концов (но не исчерпывается ими) реальная Б. Энгельс подчеркивал, что бесконечный прогресс не есть просто повторение, а есть развитие, движение вперед или назад, т. е. "необходимая форма движения" ("Диалектика природы", 1955, с. 189). Во всех примерах, к-рыми Гегель и его последователи иллюстрировали понятие "истинной" Б., содержится неявно "дурная" Б. И это понятно, т.к. в противном случае "истинная" Б. потеряла бы свой бесконечный характер. Любой закон природы рассматривался Гегелем как форма выражения "истинной" (качественной) Б., ибо закон есть форма всеобщности, внутр. завершенности, т. е. форма Б. (см. и у Энгельса в "Диалектике природы", 1955, с. 185–86). Однако существо вопроса заключается в том, что закон выступает как форма всеобщности и, следовательно, Б. именно потому, что за ним стоит бесконечный, незавершенный ряд явлений и процессов, протекающих по этому закону. Рациональное содержание учения Гегеля об "истинной" Б. состоит в подчеркивании того, что бесконечный прогресс, бесконечный ряд может быть (правда, не всегда) описан, резюмирован или задан вполне конечным выражением. За пределами этого содержания "истинная" Б. вовсе не является бесконечной. Введением "истинной" Б. Гегель пытался преодолеть противоречивый характер бесконечного и избавиться от затруднений, связанных с анализом Б. Такая попытка не могла увенчаться успехом. Реальная Б. материального мира не может быть правильно понята и отражена в понятиях, если отказаться от бесконечного процесса непрекращающихся изменений и стать на т. зр. "истинной" Б. в ее гегелевской интерпретации. Понятие Б. в диалектич. материализме отличается от "дурной" Б. тем, что оно подразумевает не простое (не имеющее границ) повторение одного и того же, а, напротив, неограниченное многообразие объектов, форм, связей, характеризуемых как бесконечные. От гегелевской "истинной" Б. оно отличается тем, что не отрицает реальности бесконечных процессов, не пытается избавиться от своей внутр. противоречивости. Несмотря на свои отрицат. стороны, гегелевский анализ Б. – лучшее, что дала домарксистская и немарксистская философия по этому вопросу. В буржуазной философии 19 и 20 вв. понятие Б. все более утрачивает свое объективное содержание. Проблема Б. переносится в психологическую плоскость, в сферу сознания, понимаемого в субъективно-идеалистическом смысле. Диалектич. материализм исходит прежде всего из объективного реального характера Б., поскольку в ней объединяются нек-рые общие свойства материального мира, причем различные логически выделяемые виды Б. отражают отд. стороны Б. материального мира. Б. материи во времени может быть охарактеризована как потенциальная Б., т.к. это незавершенный, протекающий ряд изменений. Напротив, Б. мира в пространстве может рассматриваться как актуальная Б., т.к. она наличествует как данная. С другой стороны, количеств. Б., Б. числа материальных объектов, тесно связана с их качеств. Б., с неограниченностью различных форм и свойств материи. Важнейшей чертой Б. является ее противоречивость. Энгельс указывал: "Бесконечность е с т ь противоречие, и она полна противоречий. Противоречием является уже то, что бесконечность слагается из одних только конечных величин, а между тем это именно так... Именно п о т о м у, что бесконечность есть противоречие, она представляет собой бесконечный, без конца развертывающийся во времени и пространстве процесс. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности" ("Анти-Дюринг", 1957, с. 49). Противоречивый характер Б., отражающий единство и борьбу противоположных начал – конечного и бесконечного, – лежит в основе диалектико-материалистич. понимания Б. Бесконечное отрицает конечное, но и сохраняет его как свой базис, как основу своего развертывания. Бесконечное абсолютно, т.к. оно по природе своей всеобще и неисчерпаемо; но оно и относительно, т.к. обусловлено конечным. Конечное относительно, ибо оно неустойчиво, преходяще, временно; но оно и абсолютно, ибо все состоит из конечных явлений и процессов. Б. не есть только сумма своих конечных частей. Б. – это совершенно новое качество, не сводимое к конечным характеристикам. Любая вещь, любой процесс конечны, поскольку они качественно отделены от др. вещей и процессов и поскольку они локализованы во времени и пространстве, но они и бесконечны, поскольку бесконечны их свойства и поскольку бесконечны их связи с окружающим миром. Понятие Б. тесно связано и с др. категориями материалистич. диалектики, что является следствием единства материального мира. Лит.: Энгельс Ф., Диалектика природы, М., 1955; его же, Анти-Дюринг, М., 1957; Мелюхин С. Т., Проблема конечного и бесконечного, М., 1958; Кармин А. С., О диалектико-материалистичесиом понимании бесконечности, "Вестн. Ленингр. ун-та". Сер. экон., филос. и права, вып. 1, 1959, No 5; Свидерский В. И., О диалектико-материалистическом понимании противоречивости бесконечности, там же, 1956, No 5, вып. 1; его же, Пространство и время, М., 1958; Hаан Г. И., О современном состоянии космологической науки, в сб.: Вопросы космогонии, т. 6, М., 1958; Lemaitre G., L´hypoth?se de l´atome primitif, Neuch?tel, 1946; Whittaker E. T., The beginning and the end of the world, L., ; Schatzman E., Sur la dialectique du fini et de l´infini et la cosmologie, "Pens?e", 1954, No 57. А. Бовин. Москва.