Модальная логика. Вероятностная логика

1. Сущность модальной логики

Традиционная или классическая логика, которую мы до сих пор рассматривали, является самой простой и наиболее употребительной логической системой. Она исходит из того, что атомарные (простые) суждения и понятия, из которых строятся рассуждения и которые уже не анализируются, либо истины, либо ложны, но ни то ни другое вместе. Однако многие понятия и суждения повседневных и научных рассуждений не так хорошо укладываются в категории истинных и ложных. Истинностное значение суждения «Вероятно, завтра будет дождь» весьма и весьма не определено. Некоторые логики, начиная с Аристотеля, стали учитывать различие между истинами, являющимися таковыми, так сказать, в силу необходимости, и истинами случайными. Так возникли модальная логика и вероятностная логика.

В отличие от классической логики, приписывающей суждениями и понятием два истинностных значения: истина и ложь, модальная логика оперирует такими истинностными значениями, как «возможно», «необходимо», «невозможно», и т.д. Первую попытку построить модальную логику предпринял Аристотель в своем сочинении «Первая и вторая аналитики» (ей посвящены главы третья и восьмая – двадцать вторая «первой аналитики»). Однако, как подметил Я. Лукосевич (1878–1956), аристотелевское изложение модальной логики не было свободно от недостатков. Ученик Аристотеля Теофраст (370–288 до н. э.) уточнил учение Аристотеля о модальности суждений. Средневековые схоласты развили аристотелевскую модальную силлогистику. Современные исследования в области модальной логики характеризуются стремление построить аксиоматические системы модальной логики. Наиболее известные из них это системы Льюиса, Аккермана и Лукасевича.

Модальная и вероятностная логики – довольно специфические ветви логики. Знакомство с их основами необходимо для понимания методологии научного исследования.

2. Модальность суждений

Под модальностью суждений понимается различия между суждением в зависимости от того, выражают ли они необходимую или вероятностную (случайную) связь между субъектом и предикатом. По модальности суждения делят на три группы: суждения возможности (проблематические), суждения действительности(ассерторические) и суждения необходимости(аподиктические). В суждении возможности отображается возможность наличия или отсутствия признаков у предмета, о котором говорится в данном суждении. Его формула «S возможно есть (не есть) Р ». Таким будет, например, суждение «Возможно в Киеве в апреле этого года будет снег». В суждении действительности констатируется наличие или отсутствие у предмета того или иного признака. Его формулы «S есть (не есть) Р ». Суждение «Киев стоит на Днепре» – это суждение действительности. В суждении необходимости отображается такой признак, который имеется (отсутствует) у предмета при всех условиях. Его формула «S необходимо есть (не есть) Р ». примером суждения необходимости может быть следующее суждение: «Тело, лишенное опоры, падает на Землю».

Суждения возможности, действительности и необходимости делятся по качеству на утвердительные и отрицательные, а также по количеству на частные и общие.

В модальной логики различают логические и физические модальности. Логические модальности – это законы логики и математики. В число физических или каузальных (причинных) модальностей входят все законы экспериментальных наук. Так, суждение «Не верно, что Р и не‑Р », «2+2=4 » и т.п. выражают логические модальности, а суждения «PV=RT », «U=IR » и т.п. – физические.

Различают также абсолютные и относительные модальности. К абсолютным модальностям относят законы логики, математики, других наук необходимые сами по себе, независимые от чего бы то ни было. Это скажем, суждения «А=А », «2+3=5 », «S=Vt » и т.д. Относительные модальности являются таковыми, необходимо или не необходимо зависимы от чего-либо.

Такими модальностями будут, например, суждения: «Прямоугольник является квадратом, если его стороны равны», «Вода кипит при 100 0 С при атмосферном давлении 760 мм ртутного столба» и т.п.

Логические и физические модальности, независимо от того абсолютны они или относительны, объединяются в алетевтические модальности.

Модальности, характеризующие допустимые (или недопустимые) поступки людей, называются деонтологическими. Они выражаются в суждениях, в которых употребляются такие слова (модальные операторы), как «обязательно», «разрешено», «запрещено», «имеют право» и др. Примерами таких модальностей будут суждения: «На Украине пропаганда войны запрещена», «Граждане Украины имеют право исповедовать любую религию или никакую, быть атеистами» и т.п. Деонтологические модальности являются предметом изучения таких наук как этика, юриспруденция.

Модальности, характеризующие доказательность каких-либо суждений, называются эпистемологическими. В суждениях эпистемологической модальности употребляются такие слова (модальные операторы), как «доказуемо», «опровержимо». Примерами таких модальностей могут быть суждения: «Доказуемо, что на Марсе есть жизнь», «Опровержимо, что свет имеет волновую природу» и т.д.

Эпистемологические модальности по своим свойствам близки к алетевтическим модальностям, при чем оператору «доказуемо», соответствует оператор «необходимо», оператору «опровержимо» – оператор «невозможно».

Наконец, иногда различают модальность de dicto («о речи») относящиеся к суждению в целом и de re («о вещи»), которые относятся к предикату. Так, суждение «Возможно, что на Марсе есть жизнь» будет суждением de dicto, а суждение «На Марсе возможна жизнь» – de re. Однако в большинстве современных системах модальной логики модальности интерпретируются как «абсолютные» логические модальности de dicto.

3. Модальная силогистика

Модальная силлогистика Аристотеля является крайне сложной логической системой как по своему содержанию, так и по числу модусов (их по меньшей мере 137) Аристотель последовательно рассматривает силлогизмы, в которых одна из посылок является проблематической (символически обозначается Р r ) или аподиктической (А Р ), или ассерторической (А s ). Возможное в сочетании этих посылок: 1) А р А р ; 2) А р А s ; 3) А s А р ; 4) Р r Р r ; 5) Р r А s ; 6) А s Р r ; 7) Р r А р ; 8) А р Р r . Это следует читать так: «1) большая посылка аподиктическая, меньшая – аподиктическая; 2) большая посылка аподиктическая, меньшая – ассерторическая и т.д.». В каждом из этих случаев он строит модусы, подбирая в качестве посылок общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные суждения. Руководствуясь аналогией с расположением терминов в посылках І, ІІ, ІІІ фигур категорического силлогизма, он решает задачу, какой вывод вытекает из данного сочетания посылок.

Так, подбирая посылки по аналогии с расположением посылок в 1 модусе 1 фигуры АМР Ù ASM→АSP мы получаем задачу: если всякому у необходимо присуще х и всякому z необходимо присуще у , то? в этом случае мы не вправе заменить вопросительный знак общеутвердительным аподиктическим суждением. Мы должны довольствоваться ассерторическим суждением: всякому z присуще х . Еще например, подбирая в четвертой группе (Р r Р r ) посылки согласно модусу АМР Ù YSM→YSP ІІІ фигуры получаем: если всякому у может быть присуще х и некоторым у может присуще z , то? Ответом будет вывод некоторым z может быть присуще х .

В ряде случаев трудно бывает сразу интуитивно решить, какой должен быть вывод при данном подборе посылок, являющимися модальными высказываниями и требуется тщательное изучение этих случаев.

В формализованных аксиоматических системах модальной логики эти вопросы решаются с помощью простой процедуры следования (правда, для введения этой процедуры требуется очень сложный символический язык, который вряд ли смогут понять нематематики).

Имеют место следующие содержательные правила для умозаключений модальности. В каждом истинном модус можно заключать:

1) от необходимости к действительности;

2) от невозможного к недействительному;

3) от необходимого и действительного к возможному;

4) от невозможного и недействительного к не необходимому.

Нельзя заключать:

1) от возможного к действительному;

2) от действительного к необходимому;

3) от не необходимости к недействительности;

4) от недействительности к невозможности.

4. Вероятностная логика

В вероятностной логике исследуются рассуждения с суждениями вероятности. В этих суждениях что-то утверждается или отрицается с известной степенью правдоподобия. При определении вероятностей применяются правила математического исчисления вероятностей. Это делается тремя основными путями.

Индуктивное или классическое определение вероятностей было развито Л. Ферма, Я. Бернули (1654–1705), П. Лапласом (1749–1827) и др. Оно основано на анализе равновероятных исходов мыслимого эксперимента. Если все исходы этого мыслимого эксперимента составляют n , а, m – число тех наступления события А в этом эксперименте, вероятность которого хотят найти, то

Р (А)=

Например, исходя из симметрии игральной кости до ее подбрасывания легко подсчитать, что вероятность выпадения более четырех очков (событие А ) равна 1/3. В самом деле, вероятность выпадения пяти очков равна, вероятность выпадения шести очков-то же. Следовательно,

Р (А)=

В ХХ в. сначала Р. Мизес, а затем Г. Рейхенбах обратили внимание на то, что часто интересуемые нас события опосредованы такой массой обстоятельств, что учесть их и априорно предсказать, с какой вероятностью из них будут вытекать эти события, не представляется возможным. Поэтому на практике приходится ограничиваться приближенной оценкой вероятности, получаемой из обобщения ряда наблюдений или физических экспериментов. Вероятность события А , т.е. Р (А), по Мизесу и Рейхенбаху представляет собой отношения числа m появления события А в n наблюдениях или экспериментов, т.е.

Р (А)=

Формулы вычисления вероятности события А при первом и при втором подходах совпадают. Но смысл их совершенно различен. При первом подходе вероятность вычисляетсяаpriori (до опыта), при втором apasteriori (после опыта), т.е. статистически. При первом подходе вероятностная логика может рассматриваться как расширение логики модальной, при втором – логики индуктивной.

В аксиоматической теории вероятностей вопрос о том, как определяются вероятности основных событий, не играет роли. В основу этой теории, развитой С.Н. Бернштейном, А.Н. Колмогоровым, А.Я. Хичиным лежит некоторая система аксиом, указывающая основные правила составления вероятностей сложных событий. Произведением событий А и В называется событие «А и В », суммой – событие «А или В » и т.д. вероятностью события называется число Р обладающее следующими свойствами: 0≤р(A)≤1 ; р (1)=1 ; р(0)=0 ; если А Ì В , то Р(А) ≤ Р (В) ; если А Ç В=0 , то р (А или В )= Р(А) + Р (В) и т.д.

Аксиоматическое построение теории вероятности превращает ее в раздел чистой математики.

Литература

1. Логика. К. – Хатнюк В.С. 2005 г.

2. Логика – искусство мышления. Тимирязев А.К. – К. 2000 г.

3. Философия и жизнь – журнал – К. 2004 г.

4. История логики и мышления – Касинов В.И. 1999.

5. Логика и человек – М. 2000.

6. Философия жизни. Матюшенко В.М. – Москва – 2003 г.

7. Философия бытия. Марикова А.В. – К. 2000 г.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Многозначные логики - это системы правил и методов исследования логических выражений, которые содержат переменные, принимающие более двух (истина и ложь) значений. Различают логики конечнозначные и бесконечнозначную. К числу первых относятся трехзначная и четырехзначная логики. Бесконечнозначная логика - это логика, в которой для интерпретации высказываний используется бесконечное множество истинностных значений.

Так, трехзначная логика Я. Лукасевича основана на предположении, что высказывания бывают истинными, ложными и возможными или неопределенными. Американский логик Э. Пост подходил к созданию многозначных логик чисто формально. "Пусть 1 означает истину, 0 - ложь. Естественно допустить, что числа между единицей и нулем обозначают какие-то уменьшающиеся к нулю

степени истины" .

Такой подход вполне правомерен на первом этапе. Но для практического использования логики необходимо придать ее символам определенный логический смысл, содержательно ясную интерпретацию. Самая сложная проблема при использовании многозначных логик - интерпретация промежуточных степеней истины. Кроме того. С введением последних возникает необходимость в переистолковании самих понятий истины и лжи .

Один из способов решения этой проблемы - представить истинностное значение вероятностями. Так появились вероятностные логики, оперирующие высказываниями, которые принимают помимо значений истины и лжи промежуточные значения, представляющие собой вероятности истинности высказываний, степени их правдоподобия, степень подтверждения. Они применяются тогда, когда нужно принимать решения при неполной информации или информации, достоверность которой не является стопроцентной. Строящийся при этом логический аппарат используется для выработки приближенных оценок вероятности (правдоподобия, степени подтверждения) гипотез. Вероятностные логики являются одновременно и логиками принятия наиболее подтвержденных гипотез, обоснования статистики . Одной из таких логик является вероятностная логика В.В. Налимова. Она привлекла наше внимание тем, что была разработана для анализа смысловых структур.

Ее теоретической основой является вероятностно ориентированная теория сознания В.В. Налимова - своеобразная, вероятностная интерпретация герменевтических идей .

Излагая основные положения своей теории аксиоматическим образом, В.В. Налимов пишет: «1) Будем считать, что весь воспринимаемый нами эволюционирующий мир можно рассматривать как множество текстов...; 2) Тексты характеризуются дискретной (семиотической) и континуальной (семантической) составляющими; 3) Семантика определяется вероятностно задаваемой структурой смыслов. Смыслы -- это есть то, что делает знаковую систему текстом; 4) Изначально все возможные смыслы мира как-то соотнесены с линейным континуумом Кантора -- числовой осью jli, на которой в порядке возрастания их величин расположены все вещественные числа. Иными словами, смыслы Мира спрессованы так, как спрессованы числа на действительной оси; 5) Спрессованность смыслов -- это нераспакованный (непроявленный) Мир: «семантический вакуум»; 6) Распаковывание (появление текстов) осуществляется не механическим считыванием, а творчески, обращаясь к неформальной, вероятностной логике - «вероятностным взвешиванием оси jli: разным ее участкам приписывается разная мера. Метрика шкалы jli предполагается изначально заданной и остающейся неизменной; 7) Соответственно, семантика каждого конкретного текста задается своей функцией распределения (плотностью вероятности) -- p(jLi). Будем полагать, что функция распределения достаточно гладкая и асимптотически приближается (если иное специально не оговорено) к оси абсцисс. В общем случае можно говорить о текстах, определяемых функцией распределения вероятности, задаваемой на многомерном пространстве. В тексте смыслы всегда оказываются заданными избирательно. Функция р(д) оказывается тем окном, через которое нам дана возможность всматриваться в семантический мир. Изменение текста -- его эволюция -- связано со спонтанным появлением в некой ситуации у фильтра--р(у/), мультипликативно взаимодействующего с исходной функцией р(д). Взаимодействие задается известной формулой Бейеса:

p(ju/y) = Kp(ju)p(y/ju),

где: p(|Li/y) -- условная функция распределения, определяющая семантику нового текста, возникающего после эволюционного толчка у; к -- константа нормировки. Формула Бейеса в нашем случае выступает как силлогизм: из двух посылок р() и р(у/) с необходимостью следует текст с новой семантикой р(|ы /у). В силлогизме Бейеса, в отличие от категорического силлогизма Аристотеля, как обе посылки, так и возникшее из них следствие носят не атомарный, а вероятностно размытый характер. Формула (теорема) Бейеса традиционно используется для вычисления апостериорных событий через априорные вероятности. В.В. Налимов сделал обобщение, придав статистической формуле новое -- логическое значение .

Основные положения вероятностной логики В.В. Налимова сводятся к следующему: 1) признается открытость семантической системы - она открыта спонтанному появлению фильтров; 2) признается трансперсональность сознания: спонтанность появления фильтров связывается с существованием трансличностного космического сознания; 3) бейесовский силлогизм применяется к смыслам, размытым на континууме - возможность появления атомарных (точечных) смыслов исключена; 4) логические операции носят числовой характер - в правой части формулы Бейеса стоит знак умножения, имеющий числовое раскрытие; 5) исключена возможность сильной дизъюнкции; язык оказывается свободным от закона исключения третьего, соответственно он свободен от разграничения истинности и ложности. Отсюда следует вывод В.В. Налимова о том, что творческое (дологическое) мышление по своей природе оказывается мифологичным .

Объясняющая сила модели сознания В.В. Налимова состоит в том, что она позволяет понять, как рождаются новые смыслы. Так, в книге «Вероятностная модель языка» им было показано, что понимание осуществляется через возникновение фильтра р(у/ц), сужающего словарный смысл слова в ситуации, задаваемой некоторым окружающим его контекстом у. «Отсюда, - пишет он, - наша способность понимать строго говоря, бессмысленные фразы» .

Предложенная модель позволяет, по мнению В.В. Налимова, объяснить: 1) понимание текстов, постоянно содержащих слова с размытыми смыслами; 2) процесс творчества - создание новых текстов; 3) поведение человека - изменение его ценностных представлений в новой ситуации; 4) семантическую многомерность личности; 5) смысл таких трудных представлений, как «нирвана», «свобода», «троичная модусность времени» (по Хайдеггеру); и пр.; 6) утверждение о вездесущности слабых форм сознания во всей Вселенной; 7) представление о самоорганизации как творческом процессе, проходящем некоторым единым образом во всем Мироздании - в космическом масштабе (отбор фундаментальных констант) в биологическом эволюционизме, в творчестве человека .

Понимание текстов, по Налимову, - это всегда творческий процесс. Любой текст, считает он, должен быть приближен к человеку, иначе он будет отторгнут. Приближение же текста к себе всегда достигается порождением соответствующих фильтров.

Понимание -это всегда пере-понимание того, что уже ранее как-то было понято - распаковано на семантическом континууме. Творчество - это распаковывание того, что оставалось скрытым на семантическом континууме малым вероятностным весом. Новые смыслы обретают большую вероятностную меру, прежние меркнут. «Это всегда спонтанное озарение, и поэтому здесь все непонятно для постороннего наблюдателя» .

Большая разъясняющая сила теории сознания В.В. Налимова обусловили наше стремление найти объяснение этому факту, а также получить научное обоснование ее положений в трудах ученых-психологов, изучающих познавательную деятельность.

Так, В.В. Налимов подчеркивает, что интерпретация текстов носит творческий, спонтанный, ситуационный, вероятностный характер истолкования текстов. Это вполне согласуется с данными психологии, а также с практикой исторического познания.

Многочисленные исследования специалистов научного творчества показывают, что процесс генерирования гипотез начинается интуитивно. Интуиция - это способность постижения истины путем прямого ее усмотрения без основания с помощью доказательства . Интуитивной способности человека свойственны 1) неожиданность решения задачи, 2) неосознанность путей и средств ее решения и 3) непосредственность постижения истины на сущностном уровне объектов .

Исследователи отмечают, что интуитивная способность образовалась, по-видимому, в результате длительного развития живых организмов вследствие необходимости принимать решения при неполной информации о событиях. Т.е. способность интуитивно познавать можно расценивать как вероятностный ответ на вероятностные условия среды . С этой точки зрения, поскольку ученому для совершения открытия даны не все посылки и средства, постольку он осуществляет именно вероятностный выбор.

К общим условиям формирования и проявления интуиции относятся следующие: 1) основательная профессиональная подготовка человека, глубокое знание проблемы; 2) активность в проблемной ситуации, действие у субъекта поисковой доминанты на основе непрерывных попыток решить проблему, напряженные усилия по решению проблемы или задачи; 3) наличие «подсказки».

Творческая интуиция определяется как специфический познавательный процесс, заключающийся во взаимодействии чувственных образов и абстрактных понятий и ведущий к созданию принципиально новых образов и понятий, содержание которых не выводится путем простого синтеза предшествующих восприятий или путем только логического оперирования имеющимися понятиями .

Так, один из крупнейших отечественных нейрофизиологов П.В. Симонов подчеркивает, что творчество имеет интуитивную, не контролируемую сознанием и волей подсознательную природу. В неосознаваемой деятельности мозга он выделяет три группы принципиально отличных друг от друга явлений. Это: 1) бессознательное (досознательное) - витальные (биологические) потребности; 2) подсознание - все то, что было осознаваемым или может стать осознаваемым в определенных условиях и 3) сверхсознание, механизмами которого представлено творческое начало в деятельности человека, - неосознаваемое рекомбинирование ранее накопленного опыта, которое пробуждается и направляется доминирующей потребностью в поиске средств ее удовлетворения.

Неосознаваемость этих первоначальных этапов всякого творчества представляет, по мнению П.В. Симонова, защиту рождающихся гипотез и замыслов от чрезмерного давления очевидности непосредственных наблюдений, от догматизма прочно усвоенных норм. «За сознанием остаются функции формулировки проблемы, ее постановки перед познающим умом, а также вторичный отбор порождаемых сверхсознанием гипотез, сперва путем их логической оценки, а затем в горниле экспериментальной, производственной и общественной практики» .

Подчеркивая в ер оятно стную природу сверхсознания, П.В. Симонов полагает, что оно не сводится к чисто случайному комбинированию хранящихся в памяти следов. Его деятельность трижды канализирована: 1) ранее накопленным опытом, включая присвоенный опыт предшествующих поколений; 2) задачей, которую перед сверхсознанием ставит сознание, натолкнувшееся на проблемную ситуацию; 3) доминирующей потребностью. Язык сверхсознания, как и всего неосознаваемого психического -переживание чувств, т.е. эмоции.

Основными этапами творческого акта, по Симонову, являются:

Постановка проблемы, задачи, подлежащей решению. Логика возникновения задачи, требующей творческого решения, может быть вполне осознаваемой, но иногда само обнаружение проблемы является подлинным открытием. Но и здесь усматривается определенная закономерность: не может быть гипотезы, свободной от опыта, накопленного сознанием.

Мотивация творчества. П.В. Симонов подчеркивает, что в иерархии мотивов творца решающую роль играет бескорыстная потребность познания истины, стремление к правде и красоте.

Подсказка, аналогия, служащая толчком для мгновенного озарения. Она непосредственно зависит от вышеназванной мотивационной доминанты.

Отбор генерированных сверхсознанием гипотез. Сначала он идет в сверхсознании, где отметаются самые нелепые и нежизнеспособные новации, а затем на уровне сознания правдоподобный вариант отбирается логикой с учетом информации, хранящейся в памяти. Потом этот вариант вносится на суд других людей и проверяется практикой .

Идея Налимова о том, что процедура интерпретации есть по существу вероятностное взвешивание смыслов на континууме посредством фильтров предпочтения перекликается с положениями теории немецкого социолога Г. Зиммеля. Зиммель показал, что прошлое - это тотальность, состоящая из бесконечного числа элементов и связей между ними. Непосредственно освоить эту бесконечность человеческое познание не может. Поэтому историк должен активно формировать объект познания в соответствии со своими познавательными установками, рассматривая историю в определенной, свойственной только ему перспективе. Эта перспектива определяет "световой конус", в который попадают факты прошлого, их анализируемые срезы и проекции, и, в конечном счете, формирует образ истории, обладающий лишь относительной истинностью и лишь частично верифицируемый .

Логико-вероятностный метод

ЛВМ возник в результате исследований проблем безопасности сложных систем. С его помощью можно оценить вероятность отказа сложной системы.

ЛВМ относится к аксиоматическим методам принятия решений в условиях стохастической неопределенности. Он позволяет снизить эту неопределенность своим доказательным подходом и результатами экспериментов – вероятностными характеристиками альтернатив.

В пособии ЛВМ рассмотрен на примере решения задачи выбора наиболее надежной информационной системы.

Пусть множество альтернатив – это множество показателей рисков информационных систем (ИС). Требуется найти такую ИС, риск которой минимален.

Под риском системы рассматривается сумма рисков ресурсов, из которых она состоит:

где R i – риск i -го ресурса, n – количество ресурсов. С каждым ресурсом связано множество опасных состояний (ОС), реализация которых приводит к отказу данного ресурса.

В качестве примеров ресурсов ИС могут выступать информационные ресурсы, сервисы, физические или аппаратные ресурсы, программное обеспечение. Одним из примеров информационного ресурса может выступать база данных ИС.

Под риском i-го ресурса понимается сумма рисков, связанных с реализацией опасных состояний данного ресурса:

где r i j – риск реализации j -го опасного состояния i -го ресурса, ; M i – количество опасных состояний i -го ресурса.

Примерами ОС для ресурса «БД» являются нарушение конфиденциальности информации, полная или частичная потеря информации из-за выхода из строя носителя информации, нарушение доступа.

Под риском реализации j-го опасного состояния i-го ресурса понимается произведение вероятности P ij и стоимости потерь C ij от реализации данного опасного состояния ресурса:

.

Таким образом, задачу оценки риска системы можно разбить на следующие этапы:

1. описание структуры ресурсов системы;

2. описание множества опасных состояний ресурсов системы;

3. оценка вероятностей P ij реализации опасных состояний, в том числе, выявление меры влияния угроз на реализацию опасных состояний;

4. оценка стоимости потерь C ij от реализации опасных состояний.

Основные положения логико-вероятностного метода

Логико-вероятностный метод анализа безопасности сложных технических систем был предложен в 70-х годах 20 века
И. А. Рябининым. Основная идея данного метода состоит в сочетании логического и вероятностного подходов при оценке показателей надежности сложных технических, экономических, социальных систем и других систем .

В ЛВМ в качестве базовых используются понятия опасного состояния системы и опасности – способности системы переходить в опасное состояние. Описание опасного состояния системы начинается с составления сценария опасного состояния (ОС), который строится с использованием операций дизъюнкция и конъюнкция над инициирующими условиями и событиями .

В качестве инициирующих условий и событий выступают отказы одного или нескольких элементов системы. Каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x k () с двумя возможными состояниями (например, работоспособности/отказа, готовности/неготовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p k и q k =1-p k .

Сценарий является основой для составления логической функции, или функции алгебры логики (ФАЛ), описывающей опасное состояние системы.

Следующим шагом является преобразование функции алгебры логики к вероятностной функции, которая в дальнейшем используется для получения количественной оценки вероятности реализации опасного состояния.

Таким образом, с одной стороны, метод предоставляет механизм для формализации множества опасных состояний системы, а, с другой стороны, – теоретически обоснованный подход к количественной оценке риска системы.

Для системы, состоящей из различных ресурсов, ЛВМ используется с целью получения количественных оценок вероятностей реализации опасных состояний для каждого вида ресурсов. В свою очередь, каждый ресурс в ЛВМ также рассматривается как отдельная система.

Постановка задачи оценки вероятностей реализации опасных состояний ресурса

Дано:

1. Ресурс с номером i , для которого выделены опасные состояния S ij , , где m - число возможных состояний.

2. Структура ОС и вероятности инициирующих событий (угроз) x k , .

Требуется найти:

Вероятности P ij реализации опасных состояний S ij , .

Алгоритм решения

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния S ij .

Шаг 2. Построение функции алгебры логики (ФАЛ) с использованием операций конъюнкция и дизъюнкция на основе сценария опасного состояния S ij .

Шаг 3. Построение вероятностной функции (ВФ) на основе функции алгебры логики.

Шаг 4. Расчет вероятности P ij реализации опасного состояния с помощью вероятностной функции.

Теоретические основы ЛВМ

В настоящее время математическая логика и теория вероятностей объединяются на основе логико-вероятностного исчисления . При этом предполагается, что теория вероятностей позволяет количественно оценивать надежность или безопасность систем, структура которых описывается средствами математической логики.

Основной проблемой в практическом применении ЛВМ является преобразование произвольных ФАЛ к формам перехода к полному замещению (ФППЗ). Для того чтобы сделать это преобразование стандартным и математически строгим, необходимо обратиться к специальному теоретическому аппарату, основные понятия и теоремы которого будут приведены ниже.

Будем полагать, что каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x k , () с двумя возможными состояниями (работоспособности/отказа, готовности/не готовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p k и q k =1-p k :

Кроме того, делается предположение, что все события x k являются независимыми в совокупности и что на рассматриваемом интервале времени работы системы исходные параметры законов распределений элементов не изменяются.

Выражение вида называется элементарной конъюнкцией K ранга r . Выражение вида , где – элементарные конъюнкции различных рангов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Если функция записана в ДНФ, причем ранг каждой элементарной конъюнкции равен n , то такая ДНФ называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Выражение вида называется элементарной дизъюнкцией ранга r .

Две элементарные конъюнкции называются ортогональными , если их произведение равно нулю (пример: и ).

ДНФ называется ортогональной дизъюнктивной нормальной формой (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны.

Бесповторной ДНФ (БДНФ) называется такая ДНФ, в которой каждая логическая переменная встречается ровно один раз.

Правила де Моргана позволяют логическое умножение выразить через отрицание логической суммы инверсий высказываний, а логическую сумму – через отрицание логического произведения инверсных высказывания. В дальнейшем они будут использоваться для приведения ФАЛ к специальному виду:

и

Вероятностной функцией (ВФ) будем называть вероятность истинности ФАЛ:

P (f (x 1 , x 2 , …, x h )=1 )

Функции алгебры логики, допускающие непосредственный переход к вероятностной функции заменой логических переменных вероятностями, а логических операций соответствующими арифметическими операциями, назовем формами перехода к замещению (ФПЗ).

Формами перехода к полному замещению (ФППЗ) называются ФПЗ, в которых производится замещение одновременно всех логических переменных.

Булевой разностью функции по аргументу x k называется

где символом « » обозначена логическая операция «сумма по модулю два».

Функция называется монотонной , если для любых наборов (a 1 , …, a h ) и (b 1 , …, b h ), таких, что , (k=1,2,…,h ) имеет место соотношение f (a 1 , …, a h ) f (b 1 , …, b h ). Далее рассмотрим ряд основных теорем.

Теорема 1. Частная производная от вероятности истинности монотонной ФАЛ по вероятности истинности аргумента x k численно равна вероятности истинности булевой разности этой функции по аргументу x k :

Теорема 2. Вероятность истинности произвольной ФАЛ, представленной в ОДНФ, равна сумме вероятностей истинности всех ортогональных членов этой ФАЛ:

,

где O u – не только элементарные конъюнкции ОДНФ, но и любые ФАЛ, попарно ортогональные.

Теорема 3. Дизъюнкция ортогональных бесповторных форм в базисе конъюнкция-отрицание является формой перехода к полному замещению.

В настоящее время известно несколько ФППЗ – это совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), ортогональная дизъюнктивная нормальная форма (ОДНФ) и бесповторные ФАЛ (БФАЛ) в базисе «конъюнкция-отрицание».

Если ФАЛ представлена в ФППЗ, то переход к вероятностной функции осуществляется по следующим правилам:

1. Каждая логическая переменная в ФППЗ заменяется вероятностью ее равенства единице:

, ;

2. Отрицание функции заменяется разностью между единицей и вероятностью равенства этой функции единице;

3. Операции логического умножения и сложения заменяются операциями арифметического умножения и сложения.

Составление сценария опасного состояния

Составления сценария опасного состояния ИС можно представить в виде следующей последовательности шагов:

1. выделение конечного события – опасного состояния (отказа),

2. выделение промежуточных событий, приводящих к реализации опасного состояния и получаемых как комбинация двух или более инициирующих событий,

3. выделение инициирующих событий-угроз.

Для представления опасного состояния используется дерево событий или отказов.

На рис. 5.2 представлен пример сценария опасного состояния в виде дерева событий.

Рис. 5.2. Пример дерева событий для описания опасного состояния системы

Построение функции алгебры логики

С помощью дерева событий составляется функция алгебры логики, описывающая условия перехода системы в опасное состояние.

Для описания условий перехода системы в опасное состояние используется понятие «кратчайший путь опасного функционирования » (КПОФ), под которым понимается конъюнкция минимального набора элементов системы, обеспечивающих вместе переход системы в опасное состояние:

,

где K wl – множество номеров переменных, соответствующих данному пути.

Условие перехода системы в опасное состояние можно представить в виде дизъюнкции всех имеющихся КПОФ:

.

Пример. Пусть дерево событий имеет вид, представленный на рис. 5.2.

Тогда КПОФ являются: , , , .

Условие перехода системы в опасное состояние имеет вид:

Построение вероятностной функции

На предыдущем этапе была получена ФАЛ , описывающая опасное состояние системы как дизъюнкцию всех КПОФ. Следующим шагом является преобразование ФАЛ к ФППЗ – СДНФ, ОДНФ или бесповторной ФАЛ в базисе конъюнкция-отрицание (БФАЛ).

Построение вероятностной функции на основе ФППЗ осуществляется согласно правилам, описанным выше. Результатом данного этапа является вероятностная функция

Расчет оценки вероятности реализации опасного состояния

Подставляя значения в ВФ, полученную на предыдущем этапе, получаем оценку вероятности реализации опасного состояния P ij .

Пример

Рассмотрим пример применения ЛВМ для оценки риска реализации опасного состояния «Нарушение конфиденциальности базы данных ИС (БД ИС)».

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния ресурса (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Сценарий ОС «Нарушение конфиденциальности БД ИС»

Шаг 2. Построение функции алгебры логики.Согласно описанному сценарию, логическая функция принимает вид:

F=X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 12 X 13 X 14 X 15

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ДИАГНОСТИКА ПО БАЙЕСУ

Цели работы

1. Познакомиться с возможностями диагностических систем.

2. Познакомиться с принципом метода вероятностной диагностики.

3. Опробовать на практике метод вероятностной диагностики по Байесу в компьютерном исполнении.

I. Контрольные вопросы

1. В каких случаях целесообразно использовать диагностические системы?

2. Назовите этапы диагностического алгоритма.

3. Назовите основные виды врачебной логики.

4. В чем заключается смысл информационно-вероятностной логики?

5. Как рассчитывается вероятность диагноза по Байесу?

6. Что такое априорная вероятность диагноза?

7. В чем на, Ваш взгляд, заключаются преимущества и недостатки машинных методов диагностики, по сравнению с традиционными?

8. Как Вы считаете, действительно симптомы, перечисленные в диагностической таблице, встречаются с такой вероятностью?

II. Теоретическая часть

В медицине врачи принимают важное решение, которое определяет успех всей работы: ставят диагноз. Точность диагностики зависит от квалификации специалиста (эксперта) – его умения правильно проанализировать имеющуюся информацию. Но бывают ситуации, когда нет высококвалифицированного специалиста по какой-либо специальности. Поэтому, по мере развития вычислительной техники, возникла идея заложить знания специалистов в компьютер и использовать его в качестве электронного эксперта.

По способу решения задачи диагностики различают вероятностные системы и экспертные системы . В вероятностных системах диагностика осуществляется реализацией одного из методов распознавания образов или статистических методов принятия решений. В экспертных системах - реализуется логика принятия диагностического решения опытным врачом.

Применение диагностических систем (вероятностных и экспертных) наиболее важно в следующих случаях:

неотложные и угрожающие состояния;

дефицит времени;

ограниченные возможности обследования;

скудная клиническая симптоматика;

быстрые темпы развития заболевания.

Необходимо отметить, что работа с диагностическими системами может вестись удаленно.

1. Диагностический алгоритм

С точки зрения кибернетики, диагностика - это поэтапный процесс переработки информации в системе “врач - больной“. Первый этап диагностического процесса - сбор информации о состоянии больного; второй этап - отбор из нее наиболее существенных данных и систематизация их в определенный симптомокомплекc; третий этап - сопоставление его с данными об известных заболеваниях. Логическая последовательность правил, в которой информация о состоянии больного сопоставляется с комплексом признаков типичных заболеваний, называется диагностическим алгоритмом. На основании результатов сравнения и принимается решение о диагнозе. Это решение является простым и для врача, и для компьютера, только тогда, когда весь набор симптомов у больного совпадает с симптомокомплексом определенного заболевания. На практике это встречается не столь часто и приходится выбирать несколько возможных диагнозов с указанием их вероятности.

2. Основные виды врачебной логики

Детерминистская логика - это наиболее простой диагностический приём, основанный на прямых связях между наличием у больного определенных симптомов и диагнозом заболевания. Есть симптом - 1, нет - 0. И затем количество “единичек” у больного сравнивается с количеством их у эталона диагноза.

Метод фазового интервала - это приём, при котором в многомерном пространстве симптомов заранее строятся области различных заболеваний. Сущность диагностического процесса состоит в том, чтобы определить, к какой из выделенных областей ближе всего находится точка, представляющая симптомокомплекс данного больного.

Информационно-вероятностная логика- это диагностический приём, в котором при вычислении вероятностей нескольких диагнозов при данном симптомокомплексе учитывается разная вероятность каждого симптома при разных заболеваниях (а не просто “да - нет”, как в детерминистском).

Метод экспертных систем - это такой диагностический алгоритм, при котором знания опытных специалистов, экспертов представлены в виде программы с ветвлениями типа “если..., то...”, а на концах этих ветвей расположены диагнозы. Компьютер при опросе больного проходит по той или иной ветви и в завершение выставляет диагноз. Такие программы при постановке диагноза в трудных случаях действуют на уровне специалиста высшей медицинской категории.

Целью данной работы является более подробное ознакомление с информационновероятностным подходом при машинной постановке диагноза.

3. Метод информационно-вероятностной логики

Данный метод предложен М.Л. Быховским. В основе метода лежит диагностическая таблица, составленная для определённого класса заболеваний. Составление таких таблиц - сложная задача. Для её решения изучается и обрабатывается большое количество историй болезней с проверенными диагнозами, что стало возможным только благодаря применению для этих целей компьютера. А именно, на компьютере вычисляются условные вероятности наличия симптомов Si при заболевании Dj , которые обозначаются P(Si /Dj ) (читается: “Вероятность Si при Dj ”).

Условная вероятность P(Si /Dj ) означает, что если у больного установлено заболевание с диагнозом Dj , то симптомы Si , относящиеся к данному заболеванию, имеют вероятность P (Si /Dj ). Например, берется 1000 историй болезней с диагнозом “туберкулёз лёгких”. Из историй болезней выписываются все симптомы, встретившиеся при этом заболевании. Так повышение температуры встретилось у 980 больных, значит вероятность этого симптома равна 980/1000 = 0,98. Повышение давления встретилось в 30 случаях при данном диагнозе, вероятность этого симптома равна 30/1000 = 0,03 и т.д. Эти вероятности сводятся в таблицу, которая является основой метода. В диагностическую таблицу, входит: набор симптомов Si , относящихся к определенному классу заболеваний (по вертикали), болезни данного класса (по горизонтали), и набор P(Si /Dj ) для различных заболеваний. Диагноз ставится не по одному, а по нескольким симптомам, обнаруженным у больного. Например, S2 , S7 , S9 , S14 , S19 - этот набор симптомов называется симптомокомплексом. Будем обозначать его Sci .

4. Вероятность диагноза

Первое, что делается при рассматриваемом диагностическом методе - это выборка вероятностей всех симптомов для предполагаемых заболеваний. Так как одни и те же симптомы могут с разной вероятностью проявляться при разных диагнозах, то должно появиться четыре группы чисел, если заболеваний четыре:

P(S2 /D1 ), …		P(S2 /D4 )
P(S7 /D1 ), …		P(S7 /D4 )

…. … … ….

P(S19 /D1 ), … …. P(S19 /D4 )

Если симптомов много и много возможных диагнозов, что и бывает на практике, то один этот этап выборки осуществить без привлечения компьютера трудно.

Второе: условную вероятность симптомокомплекса вычисляют по формуле:

P(Sci /Dj )=P(S1 /Dj )*P(S2 /Dj )*…..*P(Sn /Dj )

То есть перемножают вероятности симптомов последовательно во всех группах чисел.

Третье: задача диагностики заключается в том, чтобы на основании симптомокомплекса, установленного у больного, и данных диагностической таблицы определить вероятности P(Dj /Sci ) каждой из имеющихся в таблице болезней Dj , т.е. по сути дела нужно перейти от P(Sci /Dj ) к P(Dj /Sci ). Этот переход осуществляется по известной в теории вероятностей формуле Байеса:

P(Dj /Sci ) = P(Sci /Dj )*P(Dj )/P(Sc).

В эту формулу входит P(Dj ), которую называют априорной вероятностью некоторого заболевания Dj . Вероятность P(Dj ) характеризует распределение болезней в данной группе населения. Такой группой может быть контингент данной больницы, данного района, данного города. Априорной (доопытной) она называется потому, что уже известна до получения симптомокомплекса, т.е. к ней новый больной никакого отношения не имеет. Смысл введения в диагностику величины P(Dj ) состоит в том, что она непостоянна и зависит от географических, сезонных, эпидемиологических и других факторов, которые должны быть учтены при постановке диагноза. Например, в какой-либо больнице наугад было выбрано 100 больных, 70 из них оказались больны гриппом. Значит, вероятность заболевания гриппом у всех пациентов в данной больнице будет равна 70/100 = 0,7, когда эпидемия гриппа будет ликвидирована, естественно и P(Dj ) для гриппа в этой больнице будет другой.

Знаменатель формулы Байеса представляет полную вероятность наличия комплекса при всех болезнях:

P(Sc) = ∑ P(Sci /Dj )*P(Dj )

Этот сомножитель вводится в формулу Байеса для нормировки, т.е. чтобы получающиеся вероятности были выражены в процентах. Суммирование здесь производится по индексу j (номер диагноза). В нашем примере в этой сумме окажется четыре слагаемых.

Диагноз, имеющий наибольшую вероятность, и будет рассматриваться как искомый диагноз. Оценить достоверность результата и поставить окончательный диагноз может только врач. Например, если полученный диагноз имеет вероятность меньше 60%, то результат не является достоверным и необходимо повторить процедуру диагностики, увеличив число симптомов.

Cтраница 1

Вероятностная логика - логика, в к-рой высказывания имеют на только значения истины и лжи, но и промежуточное значение, наз. Строящийся на этом фундаменте логический аппарат применяется для приближенной оценка гипотез не путем их соотнесения с действительностью, а через др. высказывания, выражающие наши знания. Если ft логически следует из k, то она истинна в той же мере, что и k; если ft противоречит k, то она ложна; во всех остальных случаях р получает промежуточное значение.  

Вероятностная логика - логика, в к-рой высказывания имеют не только значения истины и лжи, но и промежуточное значение, наз. Строящийся на этом фундаменте логический аппарат применяется для приближенной оценки гипотез не путем их соотнесения с действительностью, а через др. высказывания, выражающие наши знания. Если h логически следует из k, то она истинна в той же мере, что и k; если h противоречит k, то она ложна; во всех остальных случаях р получает промежуточное значение.  

Вероятностная логика - это непрерывная логика, в которой всем логическим формулам приписывается вероятность. Здесь вероятность вновь соответствует законам Байеса.  

Нейман, Вероятностная логика и синтез надежных организмов из ненадежных компонент, Сб.  

Нейман, Вероятностная логика и синтез надежных организмов из ненадежных компонент, в сб.  

Нейман, Вероятностная логика и синтез надежных организмов из ненадежных компонент.  

В концепции вероятностной логики, сформулированной Фон Нейманом 21 ], вероятность появления события рассматривается как вероятность истинности функции алгебры логики. Как показывает Д. А. Поспелов 18 ], это положение вытекает из следующих рассуждений.  

С позиции вероятностной логики, понятие риск в классическом определении характеризуется сочетанием вероятностей: вероятностью возникновения неблагоприятного воздействия; вероятностью того, что возникает неблагоприятное воздействие именно данного типа и масштаба; вероятностью того, что именно данный тип воздействия вызывает определенную величину отклонений состояния субъекта от его динамического равновесия.  

Одним из преимуществ вероятностной логики является использование признаков с малой вероятностью, каждый из которых, взятый в отдельности, не решает вопроса о диагнозе.  

Эти критерии аналогичны порогам в вероятностной логике и так же подбираются машиной (процесс самообучения) из условия максимального качества.  

Близки к этому методу исследования по вероятностной логике , где развиваются частотная концепция интерпретации вероятности и концепция индуктивной вероятности. Основной идеей такого направления является распространение вероятностной схемы на процедуры индуктивного характера.  

Таким образом, детерминистская логика установления диагноза является частным случаем вероятностной логики. Формула Байеса может использоваться и в том случае, когда часть признаков имеет дискретное распределение, а другая часть - непрерывное. Для непрерывного распределения используются плотности распределения. Однако в расчетном плане указанное различие признаков несущественно, если задание непрерывной кривой осуществляется с помощью совокупности дискретных значений.  

Учение о доводах, которое, с иной точки зрения, заключает в себе элементы вероятностной логики, нашло некоторое продолжение в попытках Кондорсе [ 68, с.